广东省广州市普通高中2016-2017学年上学期高二数学期中模拟试题02 Word版含答案

广州市2016-2017学年上学期高二数学期中模拟试题02
第Ⅰ卷(本卷共50分)
一、选择题：(本大题共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.
曲线y＝－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝x－1
B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2
D．y＝－2x＋2
2．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2，1)，那么(
)
A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P既在圆M上，又在直线l上
D．点P既不在圆M上又不在直线l上
3．如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为(
)
A．(1，0)
B．(2，0)
C．(3，0)
D．(－1，0)
4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为
(　　)
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
6.
若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
.
A.
B.
C.
D.
7.
观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义
在R上的函数f(x)
满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则
g(－x)等于(　　)
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，PA⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)
A．4
B．8
C．8
D．16
9．设函数f(x)在R上可导，其导函数为，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝的图象可能是(　　)
10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷(本卷共计100分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知命题p：x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则p是______________________________.
12.若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则m＝__________.
13.已知双曲线
(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为__________．
14.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)
=
__________.
三、解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤)
15.
（本小题12分）已知的必要条件，求实数m的取值范围.
16.
（本小题12分）过双曲线的右焦点F，倾斜角为的直线交此双曲线于A,B两点，求︱AB︱.
.
17.
（本小题14分）设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
18.（本小题14分）已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率
e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；
19．（本小题14分）已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2
(e＝2.718
28…是自然对数的底数)．
(1)求实数b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)(x∈[，e])都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．
20．（本小题14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2=2px(p＞0)的准线的距离为．点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分于点（即点Q的坐标是实数m的表达式）．
(1)
求p，t的值；
(2)
用m表示△ABP
的面积S；
（3）求△ABP面积S的最大值．
参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
A
B
B
D
B
C
C
二、填空题：
11．p：x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0．
12．-3；
13．；
14．-2。
三、解答题：
15.解：
….3分
……6分
………………12分
16.解：双曲线右焦点F（3,0），AB方程…………………4分
……………………………
10分
………………………12分
17.
解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a，
(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9…………6分
(2)由Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)＞0，
所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．………………12分
18.
解：(1)设椭圆E的方程为，
由e＝，即＝，a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2.
∴椭圆方程具有形式
将A(2,3)代入上式，得，解得c＝2，
∴椭圆E的方程为………………………………8分
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1的方程为y＝
(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.
直线AF2的方程为x＝2.
由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数．.
设P(x，y)为l上任一点，则＝|x－2∣
若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率为负，舍去)．
于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10得2x－y－1＝0，
所以直线l的方程为2x－y－1＝0…………………………14分
19．
解：(1)由f(e)＝2得b＝2…………………………..2分
(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx.
从而f′(x)＝alnx.
因为a≠0，故：
①当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞1，由f′(x)＜0得0＜x＜1；
②当a＜0时，由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1.
综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；
当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．………8分
(3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xlnx，f′(x)＝lnx.
由(2)可得，当x在区间内变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
1
－
0
＋
单调递减
极小值1
单调递增
2
又的值域为[1，2]．
据此可得，若则对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线都有公共点．并且对每一个t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直线y＝t与曲线都没有公共点．
综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线都有公共点．……….……..14分
20．
解：(1)由题意知得……………………………………………4分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为OM过AB的中点，而且直线
OM的方程为x－y=0，所以设线段AB的中点为Q(m，m)．
由题意，设直线AB的斜率为k(k≠0)．
由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1．
所以直线AB方程为y－m＝(x－m)，
即x－2my＋2m2－m＝0．
由
消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
所以y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m．
由＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1．
从而|AB|＝·|y1－y2|＝．
设点P到直线AB的距离为d，
则．设△ABP的面积为S，则
S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·（0＜m＜1）．………..10分
（3）令u＝，0＜u≤，则S＝u(1－2u2)．
设S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤，则S′(u)＝1－6u2．
由S′(u)＝0，得，所以S(u)max＝．
故△ABP面积的最大值为．……………………….………14分
x
y
o
F
B
A