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2026年山东中考数学模拟题（二）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在这四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）将数据﹣789000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．7.89×105 B．﹣7.89×105 C．﹣789×103 D．﹣7.89×106
4．（3分）如图是由5个同样大小的正方体搭成的立体图形，将正方体①移走后，所得立体图形（ ）
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a3 a2＝a6 C．a4+a4＝a8 D．（a5）3＝a15
6．（3分）如图，是甲、乙两同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率是（ ）
A． B． C． D．1
7．（3分）关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则a的取值范围为（ ）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜﹣2
8．（3分）下面说法正确的有（ ）个．
（1）圆、长方形、正方形、半圆、平行四边形、等边三角形都是轴对称图形．
（2）吨可以改成25%吨．
（3）已知a：b＝c，则an：bn＝c（b、n均不为0）．
（4）非零自然数按因数的个数可以分为质数、合数和1．
（5）只要是穿过圆心的直线就是圆的对称轴．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）如图，数轴上的两点A，B对应的实数分别是a，b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a＜﹣2 B．﹣a＜﹣b C．b＞3 D．|a|＜b
10．（3分）如表是声音在空气中传播的速度（简称声速）v（m/s）与温度t（℃）的数量关系，则下列说法错误的是（ ）
温度t/℃ … ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 …
声速v/（m/s） … 318 324 330 336 342 348 …
A．自变量是温度t，因变量是声速v
B．当温度为10℃时，声速为336m/s
C．声速v（m/s）与温度t（℃）之间的函数表达式为vt+330
D．当温度为40℃时，声速为350m/s
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）将多项式6x2y﹣12xy2+3xy提公因式3xy后，另一个因式为 ．
12．（3分）关于x的方程mx2+4x+2＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于120，BD＝24，则EF+GH的值为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN，交边BC于点P．若∠C＝45°，∠B＝30°，，则BP的长为 ．
15．（3分）已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则1； ②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b≥a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b； ④若|a﹣4|＞1，则a＞5，其中正确的 ．
三．解答题（共8小题）
16．先化简，再求代数式的值，其中x＝6sin45°﹣（﹣1）0．
17．某次语文测试中，有一道满分为10分的语文小作文题，其评分标准为：
A．未清楚表达，评为1分；
B．略有错误，评为3分；
C．正确阐明观点，评为5分；
D．简明地表达观点，评为8分；
E．完整、精准地表达出观点，评为满分10分
为了解九年级学生语文小作文的写作情况，该校对九年级学生以20人为一组进行了随机分组，并从中随机抽取了3个小组学生的答卷进行统计分析，过程如下：
【整理与描述】
（1）请补全第1小组得分条形统计图；
（2）在第2小组得分扇形统计图中，求“得分为8分”这一项所对应的圆心角度数；
【分析与估计】
平均数（分） 众数（分） 中位数（分）
第1小组 7.5 a 8
第2小组 b 1 3
第3小组 5.9 5 c
（3）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（4）若该校九年级有600名学生，请你估计该校九年级学生在测试中得分为10分的人数；
18．“鸭翼”是指设计在飞机前部的水平翼，又称为前翼，因早期鸭式飞机的前翼很像鸭子的蹼而得名，除了增加升力，它还有利于保持飞机的飞行稳定性和可控性．小慧在学习过锐角三角函数的相关知识后，想利用所学知识制作出一个简易飞机模型．该模型的鸭翼部分如图所示，已知AB＝35cm，CE＝30cm，且∠DAB＝45°，∠CBE＝70°，请帮助小慧计算出CD的长度．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin70°≈0.94．cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
19．猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
类别/价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 40 35
销售价（元/个） 58 45
（1）第一次小李用1900元购进了A，B两款玩偶共50个，求两款玩偶各购进多少个？
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
20．如图1，已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E（0，4），且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点P在双曲线上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点P为对角线AB上一动点，连接PH，过点P作PM⊥PH．交BF于点M，以PH、PM为邻边作矩形PMNH，连接BN．试探究：BP+BN的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请BP+BN值的范围．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切：
（2）若∠CAB＝30°，AB＝6，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求的长．
22．掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：m）可近似看作水平距离x（单位：m）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当x＝2与x＝6时实心球在同一高度，当x＝4时y＝3.6，当x＝5时y＝3.5，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 m．
（2）求满足条件的抛物线的解析式．
（3）根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10m时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
23．【背景】数学兴趣小组发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，并对此展开探究．
【探索】（1）如图1，在△ABE和△DCE中，点E为AC与BD的交点．
①若∠A+∠B＝100°，则∠C+∠D＝ ；
②若∠B＝∠C，则∠A与∠D之间的数量关系是 ；
【应用】（2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D是BC边上一点，将△ABD沿AD折叠至△ADE，AB的对应边AE与BC交于点F，当△ADF为等腰三角形时，求∠CDE的度数；
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AD＝2，E是△ABC外一点且满足．记BD＝x，y＝S△ABD﹣S△BDE，求y与x的关系式．中小学教育资源及组卷应用平台
2026年山东中考数学模拟题（二）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A． A B． D D C A C D D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在这四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵，
∴最大的数是：．
故选：A．
2．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：A．
3．（3分）将数据﹣789000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．7.89×105 B．﹣7.89×105 C．﹣789×103 D．﹣7.89×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：﹣789000＝﹣7.89×105．
故选：B．
4．（3分）如图是由5个同样大小的正方体搭成的立体图形，将正方体①移走后，所得立体图形（ ）
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
【分析】分别得到将正方体①移走前后的三视图，依此即可作出判断．
【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为2，1；发生改变．
将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1；没有发生改变．
将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，2；发生改变．
故选：D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．a3 a2＝a6 C．a4+a4＝a8 D．（a5）3＝a15
【分析】利用同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则逐个计算得结论．
【解答】解：A．a6÷a2＝a4≠a3，故选项A计算错误；
B．a3 a2＝a5≠a6，故选项B计算错误；
C．a4+a4＝2a4≠a8，故选项C计算错误；
D．（a5）3＝a15，故选项D计算正确．
故选：D．
6．（3分）如图，是甲、乙两同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据题意画出相应的树状图，然后即可得到甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率．
【解答】解：树状图如下，
由上可得，一共有4种等可能性，其中甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的可能性有2种，
∴甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率为，
故选：C．
7．（3分）关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则a的取值范围为（ ）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜﹣2
【分析】先求不等式组的解集，然后根据不等式组的解集确定a的取值范围即可．
【解答】解：，
解不等式①得：y＜﹣2，
解不等式②得：y≤a，
∵不等式组的解集为y＜﹣2，
∴a≥﹣2（根据不等式组的解集的规律：同小取小）．
即a的取值范围为a≥﹣2．
故选：A．
8．（3分）下面说法正确的有（ ）个．
（1）圆、长方形、正方形、半圆、平行四边形、等边三角形都是轴对称图形．
（2）吨可以改成25%吨．
（3）已知a：b＝c，则an：bn＝c（b、n均不为0）．
（4）非零自然数按因数的个数可以分为质数、合数和1．
（5）只要是穿过圆心的直线就是圆的对称轴．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】按照百分数的意义，比的性质，质数和合数的定义，一一判断即可得出答案．
【解答】解：（1）平行四边形不是轴对称图形，故该选项说法错误，不符合题意；
（2）吨不可以改成25%吨，根据百分数的意义可知，百分数不能表示某一具体数量，故原说法错误，不符合题意；
（3）已知a：b＝c，则an：bn＝c（b、n 均不为 0）原说法正确，符合题意；
（4）非零自然数按因数的个数可以分为质数、合数和1．原说法正确，符合题意；
（5）只要是穿过圆心的直线就是圆的对称轴，原说法正确，符合题意；
综上所述，（3）（4）（5）说法正确，共3个，
故选：C．
9．（3分）如图，数轴上的两点A，B对应的实数分别是a，b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a＜﹣2 B．﹣a＜﹣b C．b＞3 D．|a|＜b
【分析】根据实数与数轴的对应关系进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
则A，C不符合题意；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
则B不符合题意；
∵﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜|a|＜2，
∴|a|＜b，
则D符合题意；
故选：D．
10．（3分）如表是声音在空气中传播的速度（简称声速）v（m/s）与温度t（℃）的数量关系，则下列说法错误的是（ ）
温度t/℃ … ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 …
声速v/（m/s） … 318 324 330 336 342 348 …
A．自变量是温度t，因变量是声速v
B．当温度为10℃时，声速为336m/s
C．声速v（m/s）与温度t（℃）之间的函数表达式为vt+330
D．当温度为40℃时，声速为350m/s
【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，
在这个变化过程中，自变量是温度t，因变量是声速v，则v是t的函数，故选项A正确，不符合题意；
根据表格数据可得，当温度为10℃时，声速为336m/s，故选项B正确，不符合题意；
由题意，设v与t之间的函数关系式为v＝kt+b（k、b为常数，且k≠0），
将t＝0，v＝330和t＝10，v＝336分别代入v＝kt+b，
∴．
∴
∴v与t之间的函数关系式为，
∴选项C正确，不符合题意；
由题意，结合选项C正确，v与t之间的函数关系式为，
∴当温度为40℃，声速为354m/s，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）将多项式6x2y﹣12xy2+3xy提公因式3xy后，另一个因式为 2x﹣4y+1 ．
【分析】找出多项式的公因式3xy，提取公因式即可得到结果．
【解答】解：6x2y﹣12xy2+3xy＝3xy（2x﹣4y+1），
则多项式6x2y﹣12xy2+3xy提公因式3xy后，另一个因式为2x﹣4y+1．
故答案为：2x﹣4y+1．
12．（3分）关于x的方程mx2+4x+2＝0有两个相等的实数根，则m的值是 2 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为关于x的方程mx2+4x+2＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝42﹣4×m×2＝0，
解得m＝2．
故答案为：2．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于120，BD＝24，则EF+GH的值为 10 ．
【分析】连接AC，过F作FM∥AB交AC于M，推出∠CFM＝∠ABC，由菱形的性质推出AB＝BC＝CD＝AD，∠GDH＝∠EBF，AC⊥BD，BD平分∠ABC，得到∠CFM＝∠GDH，由等腰三角形的性质推出BD⊥EF，判定EF∥AC，推出四边形AEFM是平行四边形，得到AM＝EF，FM＝AE，判定△FCM≌△DGH（SAS），推出CM＝GH，因此EF+GH＝AM+CM＝AC，由菱形的面积AC BD＝120，求出AC＝10，即可得到FE+GH的值．
【解答】解：连接AC，过F作FM∥AB交AC于M，
∴∠CFM＝∠ABC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠GDH＝∠EBF，AC⊥BD，BD平分∠ABC，
∴∠CFM＝∠GDH，
∵BE＝BF，
∴BD⊥EF，
∴EF∥AC，
∴四边形AEFM是平行四边形，
∴AM＝EF，FM＝AE，
∵BE＝BF＝CG＝AH，
∴CF＝GD＝HD＝AE，
∴FM＝FC＝DH＝DG，
∵∠CFM＝∠GDH，
∴△FCM≌△DGH（SAS），
∴CM＝GH，
∴EF+GH＝AM+CM＝AC，
∵菱形的面积AC BD＝120，BD＝24，
∴AC＝10，
∴EF+GH＝10．
故答案为：10．
14．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN，交边BC于点P．若∠C＝45°，∠B＝30°，，则BP的长为 4 ．
【分析】根据题意得到MN是线段AC的垂直平分线，由勾股定理计算即可得到答案．
【解答】解：连接AP，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴PC＝AP，
∴∠CAP＝∠C＝45°，
∴∠APC＝∠APB＝90°，
∴AP2+CP2＝AC2，即：，
∴AP＝CP＝4，
∵∠B＝30°，
在Rt△APB中，，
解得．
故答案为：．
15．（3分）已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则1； ②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b≥a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b； ④若|a﹣4|＞1，则a＞5，其中正确的 ②③ ．
【分析】根据0的相反数是0判断①；对条件进行变形，根据绝对值的性质判断②；根据乘法和加法法则确定a＜0，b＜0，由负数的绝对值等于它的相反数判断③；通过分类讨论可判断④．
【解答】解：①若a＝b＝0，则没有意义，
故①错误；
②∵|a﹣b|+a﹣b＝0，
∴|a﹣b|＝b﹣a，
∴b≥a，
故②正确；
③∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴3a+4b＜0，
∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，
故③正确；
④若|a﹣4|＞1，则a＞5或a＜3，
故④错误；
故答案为：②③．
三．解答题（共8小题）
16．先化简，再求代数式的值，其中x＝6sin45°﹣（﹣1）0．
【分析】先根据特殊角的三角函数值和零指数幂的性质求出x，再把所求分式括号内的1化成分母是x+2的分式，把分子分解因式，除法化成乘法进行约分，最后把x的值代入化简后的式子进行计算即可．
【解答】解：x＝6sin45°﹣（﹣1）0，
原式
．
17．某次语文测试中，有一道满分为10分的语文小作文题，其评分标准为：
A．未清楚表达，评为1分；
B．略有错误，评为3分；
C．正确阐明观点，评为5分；
D．简明地表达观点，评为8分；
E．完整、精准地表达出观点，评为满分10分
为了解九年级学生语文小作文的写作情况，该校对九年级学生以20人为一组进行了随机分组，并从中随机抽取了3个小组学生的答卷进行统计分析，过程如下：
【整理与描述】
（1）请补全第1小组得分条形统计图；
（2）在第2小组得分扇形统计图中，求“得分为8分”这一项所对应的圆心角度数；
【分析与估计】
平均数（分） 众数（分） 中位数（分）
第1小组 7.5 a 8
第2小组 b 1 3
第3小组 5.9 5 c
（3）由上表填空：a＝ 10 ，b＝ 3.35 ，c＝ 5 ；
（4）若该校九年级有600名学生，请你估计该校九年级学生在测试中得分为10分的人数；
【分析】（1）求出第1小组得分条形统计图中，“得分为8分”这一项的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以“得分为8分”所占的百分比即可；
（3）根据中位数、平均数、众数的定义计算即可得出答案；
（4）用总人数乘以得分为10分的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）第1小组得分条形统计图中，“得分为8分”这一项的人数为：20﹣1﹣2﹣3﹣8＝6 （人），
所以补全的条形统计图如下：
（2）360°×10%＝36°，
答：“得分为8分”这一项所对应的圆心角度数为36°；
（3）第1小组得分出现次数最多的是10分，共出现8次，因此众数a＝10，
第2小组得分的平均数b＝1×40%+3×30%+5×15%+8×10%+10×5%＝3.35，
第3小组得分的中位数为；
（4）（人），
答：估计该校九年级学生在测试中得分为10分的人数为110人．
18．“鸭翼”是指设计在飞机前部的水平翼，又称为前翼，因早期鸭式飞机的前翼很像鸭子的蹼而得名，除了增加升力，它还有利于保持飞机的飞行稳定性和可控性．小慧在学习过锐角三角函数的相关知识后，想利用所学知识制作出一个简易飞机模型．该模型的鸭翼部分如图所示，已知AB＝35cm，CE＝30cm，且∠DAB＝45°，∠CBE＝70°，请帮助小慧计算出CD的长度．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin70°≈0.94．cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【分析】过点D作DF⊥AE，垂足为F，根据题意可得：DF＝CE＝30cm，EF＝CD，然后分别在Rt△ADF和Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出AF和BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AE，垂足为F，
由题意得：DF＝CE＝30cm，EF＝CD，
在Rt△ADF中，∠A＝45°，
∴AF30（cm），
在Rt△CBE中，∠CBE＝70°，
∴BE（cm），
∵AB＝35cm，
∴CD＝EF＝AB+BE﹣AF＝3530≈15.9（cm），
∴CD的长度约为15.9cm．
19．猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
类别/价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 40 35
销售价（元/个） 58 45
（1）第一次小李用1900元购进了A，B两款玩偶共50个，求两款玩偶各购进多少个？
（2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个，根据第一次小李用1900元购进了A，B两款玩偶共50个，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进（30﹣a）个，根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，列出一元一次不等式，解得a≤10，再设利润为y元，由题意列出y关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个，
由题意得：，
解得：，
答：A款玩偶购进30个，B款玩偶购进20个；
（2）设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进（30﹣a）个，
由题意得：a（30﹣a），
解得：a≤10，
设利润为y元，
由题意得：y＝（58﹣40）a+（45﹣35）（30﹣a）＝8a+300，
∵8＞0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a＝10时，y有最大值，y最大＝8×10+300＝380，
此时，30﹣a＝20，
答：A款玩偶购进10个，B款玩偶购进20个才能获得最大利润，最大利润是380元．
20．如图1，已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E（0，4），且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点P在双曲线上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点P为对角线AB上一动点，连接PH，过点P作PM⊥PH．交BF于点M，以PH、PM为邻边作矩形PMNH，连接BN．试探究：BP+BN的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请BP+BN值的范围．
【分析】（1）求解xD＝2，设D（2，t），结合DC∥AB，可得C（4，t﹣4），可得2t＝4（t﹣4），进一步可得答案；
（2）如图2.1，当AQ为对角线时，四边形ABQP为平行四边形；如图2.2，当AP为对角线时，四边形AQPB为平行四边形，如图2.3，当PQ为对角线时，四边形ABPQ为平行四边形，进一步结合平移性质与平行四边形的性质求解即可；
（3）如图3，作PQ⊥BF于Q，PG⊥BH于G，证明四边形PQBG为正方形，可得∠QPG＝90°，证明△PQM≌△PGH（ASA），可得PM＝PH，证明矩形PMNH为正方形，证明△AHP≌△BHN（SAS），可得AP＝BN，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），E为AD中点，
∴xD＝2，
设D（2，t），
又∵DC∥AB，
∴C（4，t﹣4），
∵点C（4，t﹣4），D（2，t）都在双曲线上，将点C，点D的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴反比例函数表达式为：；
（2）如图2.1，当AQ为对角线时，四边形ABQP为平行四边形；
∴AB∥PQ，AB＝PQ，
设，Q（m，0），
∴，
解得：，
∴Q（6，0）；
如图2.2，当AP为对角线时，四边形AQPB为平行四边形，
∴AB∥PQ，AB＝PQ，
设，Q（m，0），
∴，
解得：，
∴Q（﹣6，0）；
如图2.3，当PQ为对角线时，四边形ABPQ为平行四边形，
∴AP∥BQ，AP＝BQ，
设，Q（m，0），
∴，
解得：，
∴Q（2，0）；
综上所述，点Q的坐标为（6，0）或（﹣6，0）或（2，0）；
（3）BP+BN的值为定值；理由如下：
如图3，作PQ⊥BF于Q，PG⊥BH于G，
∵点P是正方形AFBH对角线上的点，
∴∠FBH＝90°，∠PBQ＝∠PBG＝45°，
∴PQ＝PG，
∵∠PQB＝∠QBG＝∠PGB＝90°，
∴四边形PQBG为正方形，
∴∠QPG＝90°，
∵PM⊥PH，
∴∠MPH＝90°，
∴∠QPM+∠MPG＝∠MPG+∠HPG＝90°，
∴∠QPM＝∠HPG，
在△PQM和△PGH中，
，
∴△PQM≌△PGH（ASA），
∴PM＝PH，
∴矩形PMNH为正方形，
∵正方形AFBH和正方形PMNH，
∴AH＝BH，PH＝NH，∠AHB＝∠PHN＝90°，
∴∠AHP＝∠BHN，
∴△AHP≌△BHN（SAS），
∴AP＝BN，
∴是定值．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切：
（2）若∠CAB＝30°，AB＝6，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求的长．
【分析】（1）连接OE，由AB是⊙O的直径可得∠ACB＝90°，进而可得，再根据圆周角定理可得∠AOE＝2∠ACE＝90°，进而可证OE⊥AB，OE⊥EF，即可证明EF与⊙O相切；
（2）连接OG，OC，先证△OBC是等边三角形，推出∠AOC＝180°﹣∠COB＝120°，再根据圆周角定理证明∠GOC＝2∠MEC＝90°，进而可得∠AOG＝30°，再根据弧长公式即可求解．
【解答】（1）证明：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，如图1，连接OE，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，
∴OE⊥AB，
∵EF∥AB，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接OE，OG，OC，
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝120°，
∵∠ACE＝45°，EG⊥AC，
∴∠MEC＝45°，
∴∠GOC＝2∠MEC＝90°，
∴∠AOG＝∠AOC﹣∠GOC＝30°，
∵AB＝6，AB是⊙O的直径，
∴OA＝OG＝3，
∴．
即的长为．
22．掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：m）可近似看作水平距离x（单位：m）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当x＝2与x＝6时实心球在同一高度，当x＝4时y＝3.6，当x＝5时y＝3.5，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 3.6 m．
（2）求满足条件的抛物线的解析式．
（3）根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10m时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到抛物线的对称轴为直线x＝4，根据顶点坐标公式求得顶点坐标，即可求得实心球在空中的最大高度；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）令y＝0，计算出实心球落地距离，然后作出判断即可．
【解答】解：（1）∵当 x＝2与 x＝6时实心球在同一高度，
∴对称轴为直线x＝4，
∴当x＝4时，实心球在空中的高度最大，
∴此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是3.6m，
故答案为：3.6；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，把x＝5，y＝3.5代入得
3.5＝a（5﹣4）2+3.6，
解得a＝﹣0.1，
∴y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；
（3）王阳在此次投掷中得到满分，理由：
令y＝0，则﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0
解得 x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴王阳在此次投掷中得到满分．
23．【背景】数学兴趣小组发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，并对此展开探究．
【探索】（1）如图1，在△ABE和△DCE中，点E为AC与BD的交点．
①若∠A+∠B＝100°，则∠C+∠D＝ 100° ；
②若∠B＝∠C，则∠A与∠D之间的数量关系是 ∠A＝∠D ；
【应用】（2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D是BC边上一点，将△ABD沿AD折叠至△ADE，AB的对应边AE与BC交于点F，当△ADF为等腰三角形时，求∠CDE的度数；
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AD＝2，E是△ABC外一点且满足．记BD＝x，y＝S△ABD﹣S△BDE，求y与x的关系式．
【分析】（1）①求出∠DEC＝∠AEB＝80°，得∠C+∠D＝100°；
②根据∠AEB＝∠DEC，∠B＝∠C，得∠A＝∠D；
（2）设∠BAD＝x，则∠DAF＝x，∠FAC＝120°﹣2x．∠ADF＝30°+x，∠AFD＝150°﹣2x．当∠ADF＝∠AFD时，30°+x＝150°﹣2x，解得x＝40°．得∠CDE＝40°．当∠DAF＝∠AFD时，x＝150°﹣2x，解得x＝50°．得∠CDE＝20°；
（3）由题意可得：，在 BD 上截 BM＝DE，证明∠E＝∠C，∠ABD＝∠C，得∠ABD＝∠E，可得△ABM≌△BED（SAS），得，得．
【解答】解：（1）①在△ABE中，∠A+∠B＝100°，∠A+∠B+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣100°＝80°，
∴∠DEC＝∠AEB＝80°，
在△DCE中，∠C+∠D＝180°﹣∠DEC＝100°，
故答案为：100°；
②在△ABE中，∠A+∠B+∠AEB＝180°；
在△DCE中，∠C+∠D+∠DEC＝180°，
且∠AEB＝∠DEC，∠B＝∠C，
∴∠A＝∠D，
故答案为：∠A＝∠D；
（2）∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，
设∠BAD＝x，则∠DAF＝x，∠ADF＝∠B+∠BAF＝30°+x，
∴∠FAC＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣2x，
∴∠AFD＝∠C+∠CAF＝30°+（120°﹣2x）＝150°﹣2x，
∵△ADF为等腰三角形，且∠ADF＞∠BAD＝∠DAF，
分两种情况讨论：
①当∠ADF＝∠AFD时，30°+x＝150°﹣2x，
解得：x＝40°，
∴∠ADE＝180°﹣∠E﹣∠DAE＝110°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝40°；
②当∠DAF＝∠AFD时，x＝150°﹣2x，
解得：x＝50°，
∴∠ADE＝180°﹣∠E﹣∠DAE＝100°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝20°，
综上所述，∠CDE的度数为20°或40°；
（3）∵BD⊥AC，AD＝2，BD＝x，
∴，
如图3，∠EDC＝∠CBE，在 BD 上截取 BM＝DE，
结合（1）可得：∠E＝∠C，
∵∠ABD+∠CBD＝∠C+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠C＝∠E，
在△ABM和△BED中，
，
∴△ABM≌△BED（SAS），
∵，
∴，
∴，
∴．
