第8课时 幂函数
1．幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是]
常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
2.幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点 ；
（2）当时，幂函数在上 ；当时，幂函数在上 ；
（3）当时，幂函数是 ；当时，幂函数是 ．
3．幂函数的性质：
（1）都过点 ；
（2）任何幂函数都不过 象限；
（3）当时，幂函数的图象过 ．
4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；
（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限
关于 对称．
]
例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：（1）此函数的定义域为R，
∴此函数为奇函数．
（2）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数．
（3）
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（4）
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（5）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
（6）
∴此函数的定义域为
∴此函数既是奇函数又是偶函数
变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：
（1） （2） （3）（4）（5）
分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．]
解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．
（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，
在 上单调递减．
（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增．
（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减．
（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减．
例2比较大小：
（1） （2）
（3）
（4）
解：（1）∵在上是增函数，，∴
（2）∵在上是增函数，
，∴
（3）∵在上是减函数，
，∴；
∵是增函数，，
∴；
综上，
（4）∵，，，
∴
变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
例3已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合，便可逐步确定的值．
解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，又函数图象关于原点对称，
∴是奇数，∴或．
变式训练3：证明幂函数在上是增函数．
分析：直接根据函数单调性的定义来证明．
证明：设，
则
即
此函数在上是增函数
1．注意幂函数与指数函数的区别．
2.幂函数的性质要熟练掌握
课件26张PPT。高中数学老师欧阳文丰2010.10 .15课题: 2.3幂函数我国著名数学家华罗庚教授在其《数学的用场与发展》中指出: “宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = ______
w 元(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = ____(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = ____
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=__________
____是____的函数a2 a3 V是a的函数t?1 km/s v是t 的函数(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长_________a是S的函数以上问题中的函数具有什么共同特征?思考:Pwy=xy=x2y=x3y=xy=x-1____是____的函数Sa问题提出上述这些函数的解析式结构有何共同特点？其一般形式如何？(1)都是函数；(2) 指数为常数.(3) 均是以自变量为底的幂；知识探究(一)一般地，函数 叫做幂函数(power fun_ction) ，
其中x为自变量， 为常数。[定义:]问题:你能说出幂函数与指数函数的区别吗?注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式， 其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”．指数函数：解析式 ，底数为常数a，a>0，a≠1，指数为自变量x；幂函数：解析式 ，底数为自变量x，指数为常数α， α∈R；练一练下面研究幂函数在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象.
结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。研究: y=x知识探究(二)y=x在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?在第一象限内，
当k>0时，图象随x增大而上升。
当k<0时，图象随x增大而下降
不管指数是多少,图象都经过哪个定点?在第一象限内，
当k>0时，图象随x增大而上升。
当k<0时，图象随x增大而下降。图象都经过点（1，1）K>0时,图象还都过点(0,0)点奇偶
奇非奇
非偶奇(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）在R上增在（-∞，0)上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:在R上增在［0，+∞）上增，在（-∞，0]上减,在［0，+∞）上增，在(0，+∞)上减 (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图 象都通过点(1,1); (2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数； (3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．幂函数的性质1.判断正误:1.函数f(x)=x+ 为奇函数.2.函数f(x)=x2,x?[-1,1)为偶函数.3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-?,0]上是递增的,则f(x)在[0,+ ?)上也是递增的.4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在(-?,0]上是递减的,则f(x)在[0,+ ?)上也是递减的.练一练思考4：根据上述五个函数的图象，你能归纳出幂函数 在第一象限的图象特征吗？（0
例1.如果函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。解:依题意,得解方程,得 m=2或m=-1检验:当 m=2时,函数为符合题意.当m=-1时,函数为不合题意,舍去.所以m=2理论迁移
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5＜＜＞≤练一练2.判断下列各值的大小练习3.如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的图象，已知 k分别取 四个值，则相应图象依次为:________ 一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x =1之间正好相反。 C4C2C1C3111,1,2 , 2-证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.复习用定义证明函数的单调性的步骤:(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2;(2). 作差 f(x1)－f(x2)，变形 ;(3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号；(4). 下结论.例3证明:任取所以幂函数 在［0，+∞）上是增函数. 证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ； 证明:幂函数 在［0，+∞）上是增函数.(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。
(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出ｆ(x1)<ｆ(x2)。即所以幂函数定义五个特殊幂函数图象基本性质知识结构:作业：三维题目. P79习题§2.3 幂函数
一．教学目标：
1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.
3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
5．学法与教具
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;
（2）教学用具：多媒体
三．教学过程：
引入新知
阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
（1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论
答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方
（4）求算术平方根 （5）求－1次方
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：，其中是自变量，是常数.
探究新知
1．幂函数的定义
一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.
如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
2．研究函数的图像
（1） （2） （3）
（4） （5）
一．提问：如何画出以上五个函数图像
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图像，填P91探究中的表格
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限单调增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
定点
（1，1）
（1，1）
（1，1）
（1，1）
（1，1）
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；
（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
当∠α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
例题：
1．证明幂函数上是增函数
证：任取＜则
=
=
因＜0，＞0
所以，即上是增函数.
思考：
我们知道，若得，你能否用这种作比的方法来证明上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？
2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小
（1） （2） （3）
分析：利用幂函数的单调性来比较大小.
5．课堂练习
画出的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.
6．归纳小结：提问方式
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？
作业：P92 习题 2.3 第2、3 题
