华师大版（2024）八年级下册 16.3 一次函数 题型专练
【题型1】正比例函数的定义与识别
【典例】下列函数中，y是x的正比例函数的是( )
A.y＝2x－1 B.y＝ C.y＝2x2 D.y＝－2x＋1
【强化训练1】下列是正比例函数的是( )
A.y＝ B.y＝ C.y＝x2 D.y＝x－3
【强化训练2】下列式子中，表示y是x的正比例函数的是( )
A.y＝ B.y＝x＋2 C.y＝x2 D.y＝2x
【强化训练3】下面各组变量的关系中，成正比例关系的是( )
A.正方形的周长与它的边长 B.人的身高与年龄 C.圆的面积与它的直径 D.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
【题型2】根据正比例函数的定义求字母的值
【典例】已知函数y＝x＋－m2是正比例函数，那么m的取值是( )
A. B.－ C.± D.任意实数
【强化训练1】已知函数y＝x－n－4是正比例函数，则m，n的值为( )
A.m≠2，n＝－4 B.m＝2，n＝4 C.m＝2，n＝－4 D.m≠2，n＝4
【强化训练2】若函数y＝x＋－2是正比例函数，则常数m的值是 .
【强化训练3】若y＝(m+1)x|m+2|﹣2n+8是正比例函数，求m，n的值．
【题型3】一次函数的识别
【典例】下列问题中，两个变量之间是一次函数关系但不是正比例函数关系的是( )
A.菱形的周长C与边长a之间的关系
B.等腰三角形的周长为16 cm，底边长y(单位：cm)与腰长x(单位：cm)之间的关系
C.铅笔每支2元，购买铅笔的总价y(单位：元)与购买支数n之间的关系
D.小明进行100 m短跑训练，跑完全程所需时间t(单位：s)与速度v(单位：m/s)之间的关系
【强化训练1】下列函数中是一次函数的是( )
A.y＝－2x＋1 B.y＝5x2－4x＋1 C.y＝ D.y＝－3－m
【强化训练2】①y＝kx；②yx；③y＝x2﹣(x﹣1)x；④y＝x2+1；⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有 个．
【强化训练3】下列哪些函数是一次函数？如果是，请分别写出k，b是多少.
(1)y＝3x＋2；(2)y＝4(x＋1)；(3)y＝＋3；(4)y＝x(3x＋2)；(5)y＝.
【题型4】根据一次函数的定义求字母的值或取值范围
【典例】若函数y＝－5是关于x的一次函数.则k的值是( )
A.－1 B.－3 C.－1或－3 D.无法确定
【强化训练1】函数是一次函数，则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【强化训练2】若关于x的函数是一次函数，则m的值为 ．
【强化训练3】已知函数y＝－n是关于x的一次函数，则m＝ ，若该函数是正比例函数，则m＝ ，n＝ .
【强化训练4】当m取何值时，函数是一个一次函数？
【强化训练5】当为何值时，函数是一次函数？求该一次函数的表达式．
【题型5】求一次函数自变量的值或函数值
【典例】在关系式中，当因变量时，自变量x的值为( )
A. B.－4 C.－12 D.12
【强化训练1】在关系式中，当因变量时，自变量的值为( )
A. B. C. D.
【强化训练2】已知函数，则x=-5时的函数y的值为( )
A.-15 B.15 C.-19 D.21
【强化训练3】一次函数 ，当时， ．
【强化训练4】已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.
(1)若该函数是正比例函数，求m的值；
(2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值；
(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(4)若这个函数图象过点 (1，4)，求这个函数的解析式.
【强化训练5】已知与的函数解析式是.
(1)求当时，函数的值；
(2)求当时，函数自变量的值．
【题型6】根据实际问题抽象一次函数关系式
【典例】嘉嘉买了6支笔花了9元钱，琪琪买了同样售价的支笔，还买了单价为5元的三角尺两幅，用(元)表示琪琪花的总钱数，那么与之间的关系式应该是( )
A. B. C. D.
【强化训练1】一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，那么电阻欧表示为温度t℃的函数关系为( )
A.. B. C. D.
【强化训练2】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数关系及自变量的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【强化训练3】说出下面两个问题中两个量的函数关系，并指出它们是不是正比例函数，是不是一次函数．
①汽车以40千米/小时的平均速度从A站出发，行驶了t小时，那么汽车离开A站的距离s(千米)和时间t(小时)之间的函数关系是什么？的函数关系式为 ，它是 函数；
②汽车离开A站4千米，再以40千米／小时的平均速度行驶了t小时，那么汽车离开A站的距离s(千米)与时间t(小时)之间的函数关系是什么？的函数关系式为 ，它是 函数.
【强化训练4】学校里现有粉笔15000盒，如果每个星期领出60盒子，则仓库内余下的粉笔的盒数Q与星期数t之间的函数关系式 .
【强化训练5】某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数(人与这趟公交车每月的利润(利润收入费用支出费用)(元的变化关系如表所示(每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的)
请回答下列问题：
(1)自变量为 ，因变量为 ；
(2)与之间的关系式是 ；
(3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
【强化训练6】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x(h)表示火车行驶的时间，y(km)表示火车与甲地的距离．
(1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
(2)当x=0.5时，求y的值．
【题型7】一次函数图象的画法
【典例】已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝－kx＋k的图象大致是( )
A. B. C. D.
【强化训练1】对于函数y＝－5x＋1，下列结论中：①它的图象必经过点(－1，5)；
②它的图象经过第一、第二、第三象限；
③当x>1时，y<0；
④y的值随x值的增大而增大，正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【强化训练2】在平面直角坐标系中，若点P(m，n)在第二象限，那么一次函数y＝mx－n的图象大致是( )
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，一次函数y＝－2x＋1的图象可以是( )
A.直线l1 B.直线l2 C.直线l3 D.直线l4
【强化训练4】已知函数y＝(2m－2)x＋m＋1，
①当m为何值时，图象过原点？
②已知y随x的增大而增大，求m的取值范围；
③函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；
④图象过第一、第二、第四象限，求m的取值范围.
【强化训练5】填表，并在如图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象．
(1)列表.
(2)描点、连线.
【题型8】一次函数图象的平移规律
【典例】在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线．则下列平移作法正确的是( )
A.将向右平移2个单位长度
B.将向右平移6个单位长度
C.将向上平移2个单位长度
D.将向上平移6个单位长度
【强化训练1】在平面直角坐标系中，将一次函数y＝kx－1(k≠0)的图象向上平移2个单位长度后经过点(2，3)，则k的值为( )
A.1 B.－1 C.－2 D.2
【强化训练2】把函数y＝－2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数 的图象.
【强化训练3】(1)在直角坐标系中画出直线：；
(2)将直线向下平移个单位得到直线，请直接写出直线的函数解析式为： ．
【题型9】一次函数图象上点的坐标特征
【典例】直线y＝2x＋2沿y轴向下平移6个单位长度后与x轴的交点坐标是( )
A.(－4，0) B.(－1，0) C.(0，2) D.(2，0)
【强化训练1】如图，直线y＝－x＋3与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，点C为AB的中点，则直线OC的解析式为( )
A.y＝x B.y＝－x C.y＝x D.y＝－x
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动.如图(1)所示，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图(2)所示，则图(2)中Q点的坐标是( )
A.(4，4) B.(4，3) C.(4，6) D.(4，12)
【强化训练3】点P在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式3a－b＋2 025的值等于 .
【强化训练4】函数y＝3－2x的图象与坐标轴的交点坐标分别为 ， .
【强化训练5】已知函数是关于的一次函数．
(1)求的值；
(2)判断点、是否在此函数图象上，并说明理由．
【题型10】实际问题中的一次函数图象
【典例】如图，等边的边长为4，点P在BC上，连接AP．则的面积y与BP的长x的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
【强化训练1】一个长方形的周长为12cm，一边长为x(cm)，则它的另一条边长y关于x的函数关系用图象表示为( )
A. B. C. D.
【强化训练2】一个面积等于3的三角形被平行于一边的直线截成一个小三角形和梯形，若小三角形和梯形的面积分别是y和x，则y关于x的函数图象大致是图中的( )
A. B. C. D.
【强化训练3】汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内的余油量(升)与行驶时间(小时)之间的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
【强化训练4】若腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长(单位：)与底边长(单位：)之间的函数关系式的图象是( )
A. B. C. D.
【强化训练5】已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数．
写出这个函数关系式；
求自变量的取值范围；
画出这个函数的图象．
【强化训练6】“黄金１号”玉米种子的价格为5元／千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折：
(1)观察下表：
完成填空：a＝ ，b＝ ；
(2)写出付款金额y(元)关于购买量x(千克)的函数关系，并画出函数图象．
【题型11】判断一次函数的增减性
【典例】对于一次函数，甲、乙作出以下判断：
甲：y的值随着x的值的增大而增大；
乙：它的图象与y轴的交点坐标为．正确的是( )
A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲乙都对 D.甲乙都错
【强化训练1】通过描点画图，画出了函数的图象如图所示，可以看到直线从左到右上升，即当自变量由小变大时，函数随的增大而( )
A.增大 B.减小 C.不变 D.有时增大有时减小
【强化训练2】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，下列说法错误的是( )
A.点A的坐标是 B.的面积是3 C.当时，函数值 D.y随x的增大而减小
【强化训练3】已知一次函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是 ．
【强化训练4】已知一次函数，当时，的取值范围是 ．
【强化训练5】已知函数．
(1)在直角坐标系中画出函数图象；
(2)指出y随x的增大变化情况．
【题型12】比较一次函数值的大小
【典例】已知关于的一次函数的图象经过点，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【强化训练1】已知A(－1，a)，B(2，b)两点都在关于x的一次函数y＝－x＋m的图象上，则a，b的大小关系为( )
A.a≥b B.a>b C.a【强化训练2】已知直线y＝kx＋2(k<0)经过点(k－1，y1)和(－k＋2，y2)，则y1，y2的大小关系为 .
【强化训练3】已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)若，点，都在一次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由．
【强化训练4】已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)若点和都在一次函数的图象上，试比较的大小，并说明理由．
【题型13】根据一次函数的增减性判断自变量的取值情况
【典例】已知一次函数为整数)的图象与轴正半轴相交，随的增大而减小，当时，的取值范围是( )
A. B. C. D.
【强化训练1】若点A、B、C在一次函数的图象上，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
【强化训练2】已知：点A(，2)，B(，3)是一次函数图象上的两点，则 0．(填“＞”、或“＜”)
【强化训练3】已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数．
(1)求m的值；
(2)当时，求x的取值范围．
【强化训练4】小慧同学根据学习函数的经验，对函数y＝|x﹣1|的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数y＝|x﹣1|的自变量x的取值范围是 ．
(2)列表，找出y与x的几组对应值．
其中，b＝ ．
(3)在所给的平面直角坐标系xoy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)请根据你画出的函数图象，完成：当x＝﹣5时．y＝ ．当2012≤|y|≤2019时，x的取值范围是 ．
【题型14】待定系数法求一次函数解析式
【典例】已知y是x的一次函数，表中列出了部分对应值，则a等于( )
A.－1 B.0 C.－2 D.
【强化训练1】已知一次函数的图象过点和点，则这个函数的解析式为( )
A.y＝－2x－1 B.y＝2x－7 C.y＝－2x＋1 D.y＝2x＋5
【强化训练2】若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，则a的值等于( )
A.－1 B.0 C.3 D.4
【强化训练3】若直线y＝kx＋b与直线y＝－2x＋1平行，且过点(3，4)，则直线解析式为 .已知一次函数与y轴的交点为(0，－4)，且图象过点A(－6，－1)，则一次函数解析式为 .
【强化训练4】点A(－1，3)，B(1，－1)，C(3，－5)是否在同一条直线上？
【强化训练5】已知直线y＝ax＋3经过点P(－1，4).
(1)求a的值；
(2)将该直线向下平移k个单位长度使其成为正比例函数，求k的值.华师大版（2024）八年级下册 16.3 一次函数 题型专练（参考答案）
【题型1】正比例函数的定义与识别
【典例】下列函数中，y是x的正比例函数的是( )
A.y＝2x－1 B.y＝ C.y＝2x2 D.y＝－2x＋1
【答案】B
【强化训练1】下列是正比例函数的是( )
A.y＝ B.y＝ C.y＝x2 D.y＝x－3
【答案】B
【强化训练2】下列式子中，表示y是x的正比例函数的是( )
A.y＝ B.y＝x＋2 C.y＝x2 D.y＝2x
【答案】D
【解析】选项A，y＝，自变量次数不为1，错误；
选项B，y＝x＋2，是和的形式，错误；
选项C，y＝x2，自变量次数不为1，错误；
选项D，y＝2x，符合正比例函数的定义，正确.
【强化训练3】下面各组变量的关系中，成正比例关系的是( )
A.正方形的周长与它的边长 B.人的身高与年龄 C.圆的面积与它的直径 D.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
【答案】A
【题型2】根据正比例函数的定义求字母的值
【典例】已知函数y＝x＋－m2是正比例函数，那么m的取值是( )
A. B.－ C.± D.任意实数
【答案】B
【解析】由正比例函数的定义可得－m2＝0且1－3m≠0，
解得m＝－.
【强化训练1】已知函数y＝x－n－4是正比例函数，则m，n的值为( )
A.m≠2，n＝－4 B.m＝2，n＝4 C.m＝2，n＝－4 D.m≠2，n＝4
【答案】A
【解析】∵函数y＝x－n－4是正比例函数，
∴m－2≠0且－n－4＝0，
解得m≠2，n＝－4.
【强化训练2】若函数y＝x＋－2是正比例函数，则常数m的值是 .
【答案】－2
【解析】∵函数y＝x＋－2是正比例函数，
∴－2＝0，2－m≠0，
解得m＝±2，m≠2，
∴m＝－2.
【强化训练3】若y＝(m+1)x|m+2|﹣2n+8是正比例函数，求m，n的值．
【答案】解：∵y＝(m+1)x|m+2|﹣2n+8是正比例函数，
∴m+1≠0且|m+2|＝1，﹣2n+8＝0，
解得m＝﹣3，n＝4，
所以m的值为﹣3，n的值为4．
【题型3】一次函数的识别
【典例】下列问题中，两个变量之间是一次函数关系但不是正比例函数关系的是( )
A.菱形的周长C与边长a之间的关系
B.等腰三角形的周长为16 cm，底边长y(单位：cm)与腰长x(单位：cm)之间的关系
C.铅笔每支2元，购买铅笔的总价y(单位：元)与购买支数n之间的关系
D.小明进行100 m短跑训练，跑完全程所需时间t(单位：s)与速度v(单位：m/s)之间的关系
【答案】B
【解析】选项A，C＝4a，两个变量之间是一次函数关系，也是正比例函数关系；
选项B，y＝16－2x，两个变量之间是一次函数关系，不是正比例函数关系；
选项C，y＝2n，两个变量之间是一次函数关系，也是正比例函数关系；
选项D，t＝，两个变量之间既不是一次函数关系，也不是正比例函数关系.
【强化训练1】下列函数中是一次函数的是( )
A.y＝－2x＋1 B.y＝5x2－4x＋1 C.y＝ D.y＝－3－m
【答案】D
【强化训练2】①y＝kx；②yx；③y＝x2﹣(x﹣1)x；④y＝x2+1；⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有 个．
【答案】3
【解析】①当k＝0时原式不是一次函数；
②yx是一次函数；
③由于y＝x2﹣(x﹣1)x＝x，则③是一次函数；
④自变量次数不为1，故不是一次函数；
⑤y＝22﹣x是一次函数，
综上，正确的有②③⑤，共3个．
故答案为：3．
【强化训练3】下列哪些函数是一次函数？如果是，请分别写出k，b是多少.
(1)y＝3x＋2；(2)y＝4(x＋1)；(3)y＝＋3；(4)y＝x(3x＋2)；(5)y＝.
【答案】解 (1)是一次函数，k＝3，b＝2.
(2)是一次函数，k＝4，b＝4.
(3)不是一次函数.
(4)不是一次函数.
(5)是一次函数，k＝，b＝－.
【题型4】根据一次函数的定义求字母的值或取值范围
【典例】若函数y＝－5是关于x的一次函数.则k的值是( )
A.－1 B.－3 C.－1或－3 D.无法确定
【答案】A
【解析】∵函数y＝－5是关于x的一次函数，
∴＝1且k＋3≠0，
解得k＝－1.
【强化训练1】函数是一次函数，则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：，
解得：.
故选：D．
【强化训练2】若关于x的函数是一次函数，则m的值为 ．
【答案】1
【解析】∵关于x的函数是一次函数，
∴，
∴.
故答案为：1．
【强化训练3】已知函数y＝－n是关于x的一次函数，则m＝ ，若该函数是正比例函数，则m＝ ，n＝ .
【答案】－1 －1 0
【解析】当函数y＝－n是关于x的一次函数时，m－1≠0，且＝1，解得m＝－1；
当函数y＝－n是关于x的正比例函数时，m－1≠0，＝1，且n＝0，解得m＝－1，n＝0.
【强化训练4】当m取何值时，函数是一个一次函数？
【答案】解：∵函数是一个一次函数，
∴可分为三种情况：
①当2m﹣1≠0时，
则m+5＝0，解得m＝﹣5；
此时函数为：y＝7x﹣3，为一个一次函数；
②当2m﹣1＝0时，即m＝，
此时函数为：，为一个一次函数；
③2m﹣1＝1，解得m＝1，
此时函数为：，为一个一次函数；
综上：当m取或﹣5或1时，函数是一个一次函数．
【强化训练5】当为何值时，函数是一次函数？求该一次函数的表达式．
【答案】解：由题意得：，解得或，
当时，，
所以应舍去，
所以，
这个一次函数表达式为．
【题型5】求一次函数自变量的值或函数值
【典例】在关系式中，当因变量时，自变量x的值为( )
A. B.－4 C.－12 D.12
【答案】D
【解析】时，，解得.
故选：D．
【强化训练1】在关系式中，当因变量时，自变量的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，解得.
故选：C．
【强化训练2】已知函数，则x=-5时的函数y的值为( )
A.-15 B.15 C.-19 D.21
【答案】D
【解析】当x=-5时，y=-4x+1=-4×(-5)+1=21．
故选：D．
【强化训练3】一次函数 ，当时， ．
【答案】
【解析】当时，.
故答案为：.
【强化训练4】已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.
(1)若该函数是正比例函数，求m的值；
(2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值；
(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(4)若这个函数图象过点 (1，4)，求这个函数的解析式.
【答案】解 (1)∵函数是正比例函数，
∴m－3＝0，且2m＋1≠0，解得m＝3.
(2)∵函数的图象平行于直线y＝3x－3，
∴2m＋1＝3，解得m＝1.
(3)∵y随着x的增大而减小，
∴2m＋1<0，解得m<－.
(4)∵该函数图象过点(1，4)，代入得2m＋1＋m－3＝4，
解得m＝2，
∴该函数的解析式为y＝5x－1.
【强化训练5】已知与的函数解析式是.
(1)求当时，函数的值；
(2)求当时，函数自变量的值．
【答案】解：(1)当时，.
(2)当时，，解得：．
【题型6】根据实际问题抽象一次函数关系式
【典例】嘉嘉买了6支笔花了9元钱，琪琪买了同样售价的支笔，还买了单价为5元的三角尺两幅，用(元)表示琪琪花的总钱数，那么与之间的关系式应该是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵每支笔的价格=9÷6=1.5元/支，
∴y与x之间的关系式为：y=1.5x+10.
故选：A.
【强化训练1】一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，那么电阻欧表示为温度t℃的函数关系为( )
A.. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，
∴电阻欧表示为温度t℃的函数关系为.
故选：B.
【强化训练2】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数关系及自变量的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵汽车行驶的路程为：，
∴汽车距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数关系为：，
∵，
∴自变量t的取值范围是.
故选：A．
【强化训练3】说出下面两个问题中两个量的函数关系，并指出它们是不是正比例函数，是不是一次函数．
①汽车以40千米/小时的平均速度从A站出发，行驶了t小时，那么汽车离开A站的距离s(千米)和时间t(小时)之间的函数关系是什么？的函数关系式为 ，它是 函数；
②汽车离开A站4千米，再以40千米／小时的平均速度行驶了t小时，那么汽车离开A站的距离s(千米)与时间t(小时)之间的函数关系是什么？的函数关系式为 ，它是 函数.
【答案】①S=40t；正比例；②S=40t+4；一次
【解析】①由题意可得汽车离开A站的距离s(千米)和时间t(小时)之间的函数关系为：S=40t，它是正比例函数；
②由题意可得汽车离开A站的距离s和时间t之间的函数关系为：S=40t+4，它是一次函数.
故答案为：①S=40t；正比例；②S=40t+4；一次.
【强化训练4】学校里现有粉笔15000盒，如果每个星期领出60盒子，则仓库内余下的粉笔的盒数Q与星期数t之间的函数关系式 .
【答案】Q=15000-60t
【解析】由题意可得：Q=15000-60t．
故答案为：Q=15000-60t．
【强化训练5】某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数(人与这趟公交车每月的利润(利润收入费用支出费用)(元的变化关系如表所示(每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的)
请回答下列问题：
(1)自变量为 ，因变量为 ；
(2)与之间的关系式是 ；
(3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
【答案】解：(1)由题意可知：自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润．
故答案为：每月的乘车人数；公交车每月的利润．
(2)从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元，
每位乘客坐一次车需要(元)，
即函数关系式为：．
(3)当时，
(元)．
答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元．
【强化训练6】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x(h)表示火车行驶的时间，y(km)表示火车与甲地的距离．
(1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
(2)当x=0.5时，求y的值．
【答案】解：(1)根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x(km)，
∵甲、乙两地相距120km，
∴火车与甲地的距离表示为：(km)，即；
当火车到达甲地时，即，
∴，即火车行驶1.5h到达甲地，
∴，
y是x的一次函数.
(2)根据(1)的结论，得：．
【题型7】一次函数图象的画法
【典例】已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝－kx＋k的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴－k>0，
∴一次函数y＝－kx＋k的图象经过一、三、四象限.
【强化训练1】对于函数y＝－5x＋1，下列结论中：①它的图象必经过点(－1，5)；
②它的图象经过第一、第二、第三象限；
③当x>1时，y<0；
④y的值随x值的增大而增大，正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】∵当x＝－1时，y＝－5×(－1)＋1＝6≠5，
∴点(－1，5)不在一次函数的图象上，故①错误；
∵k＝－5<0，b＝1>0，
∴此函数的图象经过第一、第二、第四象限，故②错误；
∵当x＝1时，y＝－5×1＋1＝－4.
又∵k＝－5<0，∴y随x的增大而减小，
∴当x>1时，y<－4，则y<0，故③正确，④错误.
【强化训练2】在平面直角坐标系中，若点P(m，n)在第二象限，那么一次函数y＝mx－n的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵点P(m，n)在第二象限，
∴m<0，n>0，
∴－n<0，
∴一次函数y＝mx－n的图象经过第二、第三、第四象限.
【强化训练3】如图，一次函数y＝－2x＋1的图象可以是( )
A.直线l1 B.直线l2 C.直线l3 D.直线l4
【答案】B
【强化训练4】已知函数y＝(2m－2)x＋m＋1，
①当m为何值时，图象过原点？
②已知y随x的增大而增大，求m的取值范围；
③函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；
④图象过第一、第二、第四象限，求m的取值范围.
【答案】解 ①∵函数图象过原点，∴m＋1＝0，
即m＝－1.
②∵y随x增大而增大，∴2m－2>0，
解得m>1.
③∵函数图象与y轴交点在x轴上方，
∴m＋1>0，
解得m>－1.
④∵图象过第一、第二、第四象限，
∴
解得－1【强化训练5】填表，并在如图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象．
(1)列表.
(2)描点、连线.
【答案】解：(1)当时，，
当时，.
故答案为：1，2.
(2)图象如下：
【题型8】一次函数图象的平移规律
【典例】在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线．则下列平移作法正确的是( )
A.将向右平移2个单位长度
B.将向右平移6个单位长度
C.将向上平移2个单位长度
D.将向上平移6个单位长度
【答案】D
【解析】∵直线向上平移6个单位长度，得到直线，
∴下列平移作法正确的是将向上平移6个单位长度.
故选：D．
【强化训练1】在平面直角坐标系中，将一次函数y＝kx－1(k≠0)的图象向上平移2个单位长度后经过点(2，3)，则k的值为( )
A.1 B.－1 C.－2 D.2
【答案】A
【解析】根据一次函数的平移，
可知平移后的解析式为y＝kx－1＋2＝kx＋1，
将点(2，3)代入y＝kx＋1，
得2k＋1＝3，
解得k＝1.
【强化训练2】把函数y＝－2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数 的图象.
【答案】y＝－2x＋3
【强化训练3】(1)在直角坐标系中画出直线：；
(2)将直线向下平移个单位得到直线，请直接写出直线的函数解析式为： ．
【答案】解：(1)令，则，令，则，
直线：过和两点，可根据和画出函数图象，
如图所示.
(2)将直线向下平移个单位得到直线，
直线的函数解析式为.
故答案为：．
【题型9】一次函数图象上点的坐标特征
【典例】直线y＝2x＋2沿y轴向下平移6个单位长度后与x轴的交点坐标是( )
A.(－4，0) B.(－1，0) C.(0，2) D.(2，0)
【答案】D
【解析】直线y＝2x＋2沿y轴向下平移6个单位长度后解析式为y＝2x＋2－6＝2x－4，
当y＝0时，x＝2，
因此与x轴的交点坐标是(2，0).
【强化训练1】如图，直线y＝－x＋3与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，点C为AB的中点，则直线OC的解析式为( )
A.y＝x B.y＝－x C.y＝x D.y＝－x
【答案】C
【解析】∵直线y＝－x＋3与 y 轴相交于点 A，与 x 轴相交于点 B，
令x＝0，解得y＝3，即A(0，3)，
令y＝0，解得x＝5，即B(5，0)，
又∵C为AB的中点，
∴C，
设OC解析式为y＝kx，把点C坐标代入解析式得k＝，
解得k＝，
∴OC的解析式为y＝x.
【强化训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动.如图(1)所示，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图(2)所示，则图(2)中Q点的坐标是( )
A.(4，4) B.(4，3) C.(4，6) D.(4，12)
【答案】B
【解析】根据题意和图象可得
BC＝4，AC＝7－4＝3，
∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴当x＝4时，S△DPB＝，
∴y＝×＝3，
即点Q(4，3).
【强化训练3】点P在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式3a－b＋2 025的值等于 .
【答案】2 023
【解析】∵点P在函数y＝3x＋2的图象上，
∴b＝3a＋2，即3a－b＝－2，
∴3a－b＋2 025＝－2＋2 025＝2 023.
【强化训练4】函数y＝3－2x的图象与坐标轴的交点坐标分别为 ， .
【答案】(0，3)
【强化训练5】已知函数是关于的一次函数．
(1)求的值；
(2)判断点、是否在此函数图象上，并说明理由．
【答案】解：(1)因为函数是关于的一次函数，
所以，所以，
又因为当时，，不合题意，舍去；
所以的值为．
(2)由(1)可知，此函数的表达式为，
当时，，
所以点不在此函数图象上；
当时，，
所以点在此函数图象上．
【题型10】实际问题中的一次函数图象
【典例】如图，等边的边长为4，点P在BC上，连接AP．则的面积y与BP的长x的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是以4位边长的等边三角形，
∴BD=CD=2，
∴，
∴，
∴当x=4时，，
∴该函数图象为一次函数图象的一段，且y随x的增大而增大，且过点．
故选：C.
【强化训练1】一个长方形的周长为12cm，一边长为x(cm)，则它的另一条边长y关于x的函数关系用图象表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得：x+y=6，
∴y=-x+6，
∵，
∴，
∴y关于x的函数图象是一条线段(不包括端点)，即B选项符合题意.
故选：B.
【强化训练2】一个面积等于3的三角形被平行于一边的直线截成一个小三角形和梯形，若小三角形和梯形的面积分别是y和x，则y关于x的函数图象大致是图中的( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴y与x满足一次函数关系，且y随x增大而减小，
∴只有A选项符合题意.
故选：A．
【强化训练3】汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内的余油量(升)与行驶时间(小时)之间的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，油箱内余油量Q(升)与行驶时间t(小时)的关系式为：Q=40-5t(0≤t≤8)，
结合解析式可得出图象.
故选：B．
【强化训练4】若腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长(单位：)与底边长(单位：)之间的函数关系式的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，x+2y=10，
所以，，
根据三角形的三边关系，x＞y-y=0，
x＜y+y=2y，
所以，x+x＜10，
解得x＜5，
所以，y与x的函数关系式为(0＜x＜5)，
纵观各选项，只有D选项符合．
故选：D．
【强化训练5】已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数．
写出这个函数关系式；
求自变量的取值范围；
画出这个函数的图象．
【答案】解：(1)这个函数关系式为.
(2)由题意得，即，
解得，
所以自变量的取值范围为.
(3)当时，；当时，，函数关系式)的图象如图所示.
【强化训练6】“黄金１号”玉米种子的价格为5元／千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折：
(1)观察下表：
完成填空：a＝ ，b＝ ；
(2)写出付款金额y(元)关于购买量x(千克)的函数关系，并画出函数图象．
【答案】解：(1)，
.
故答案为：12；16.
(2)当时，，
当时，，
综上所述，付款金额y元关于购买数量x千克的函数关系为：，
画出函数图象，如下图.
【题型11】判断一次函数的增减性
【典例】对于一次函数，甲、乙作出以下判断：
甲：y的值随着x的值的增大而增大；
乙：它的图象与y轴的交点坐标为．正确的是( )
A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲乙都对 D.甲乙都错
【答案】C
【解析】根据题意，一次函数，，
y的值随着x的值的增大而增大，
令，则，
故一次函数图象与y轴的交点坐标为，
故甲乙都对.
故选：C．
【强化训练1】通过描点画图，画出了函数的图象如图所示，可以看到直线从左到右上升，即当自变量由小变大时，函数随的增大而( )
A.增大 B.减小 C.不变 D.有时增大有时减小
【答案】A
【解析】∵函数的图象从左到右上升，即当自变量由小变大时，函数随的增大而增大.
故选：A．
【强化训练2】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，下列说法错误的是( )
A.点A的坐标是 B.的面积是3 C.当时，函数值 D.y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】A．当时，，解得：，∴点A的坐标为，选项A不符合题意；
B．当时，，∴点B的坐标为，∴的面积为，选项B不符合题意；
C．当时，，∴当时，，选项C不符合题意；
D．∵，∴y随x的增大而增大，选项D符合题意．
故选：D．
【强化训练3】已知一次函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是 ．
【答案】全体实数
【解析】∵，∴无论x取何值，随的增大而减小，
∴的取值范围是全体实数．
故答案为：全体实数.
【强化训练4】已知一次函数，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
∵一次函数中，，
∴s随t的增大而增大，
∴当时，s的取值范围是.
故答案为：．
【强化训练5】已知函数．
(1)在直角坐标系中画出函数图象；
(2)指出y随x的增大变化情况．
【答案】解：(1)列表如下：
在平面直角坐标系中描出，，并连接两点所在直线，如图，即为所求.
(2)由图象可知：y随x的增大而减小．
【题型12】比较一次函数值的大小
【典例】已知关于的一次函数的图象经过点，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵k2≥0，∴k2+3＞0，∴y随x的增大而增大．
又∵2＞-3，∴m＞n．
故选：C．
【强化训练1】已知A(－1，a)，B(2，b)两点都在关于x的一次函数y＝－x＋m的图象上，则a，b的大小关系为( )
A.a≥b B.a>b C.a【答案】B
【解析】∵k＝－1<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵A(－1，a)，B(2，b)两点都在关于x的一次函数y＝－x＋m的图象上，且－1<2，
∴a>b.
【强化训练2】已知直线y＝kx＋2(k<0)经过点(k－1，y1)和(－k＋2，y2)，则y1，y2的大小关系为 .
【答案】y1>y2
【强化训练3】已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)若，点，都在一次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】解：(1)对于，
当时，即，
∴；
当时，即．
∴函数的图象经过点(2，0)、(0，4)；
∴函数的图象如图所示．
(2)∵，
∴，
∴．
∵，，
∴y随x的增大而减小．
∵点，都在一次函数的图象上，
∴．
【强化训练4】已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)若点和都在一次函数的图象上，试比较的大小，并说明理由．
【答案】解：(1)对于，
当时，，
当时，，
过点和作直线即为一次函数的图象．
(2)解法一：，理由如下：
对于，y随x的增大而减小，
∵点和中，，
∴．
解法二：理由如下：
将点和分别代入，
得，
∴．
【题型13】根据一次函数的增减性判断自变量的取值情况
【典例】已知一次函数为整数)的图象与轴正半轴相交，随的增大而减小，当时，的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵一次函数图象与轴正半轴相交，
∴，
∴，
∵随的增大而减小，
∴，
∴，
∴，
∵为整数，
∴，
∴一次函数解析式为，
∴当时，的取值范围是.
故选：B.
【强化训练1】若点A、B、C在一次函数的图象上，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
随着的增大而减小，
，
.
故选：B．
【强化训练2】已知：点A(，2)，B(，3)是一次函数图象上的两点，则 0．(填“＞”、或“＜”)
【答案】
【解析】∵一次函数，，
∴随的增大而增大，
点A(，2)，B(，3)是一次函数图象上的两点，
，
．
故答案为：．
【强化训练3】已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数．
(1)求m的值；
(2)当时，求x的取值范围．
【答案】解：(1)∵一次函数的图象不经过第三象限，
∴
解得：
∵m为正整数，
∴
(2)当时，函数为：
当时，
解得：
当时，
解得：
∵且y随x的增大而减小，
∴
【强化训练4】小慧同学根据学习函数的经验，对函数y＝|x﹣1|的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数y＝|x﹣1|的自变量x的取值范围是 ．
(2)列表，找出y与x的几组对应值．
其中，b＝ ．
(3)在所给的平面直角坐标系xoy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)请根据你画出的函数图象，完成：当x＝﹣5时．y＝ ．当2012≤|y|≤2019时，x的取值范围是 ．
【答案】解：(1)∵x无论为何值，函数均有意义，
∴x为任意实数．
故答案为：任意实数.
(2)∵当x＝0时，y＝|0﹣1|＝1，
∴b＝1．
故答案为：1.
(3)如图所示.
(4)当x＝﹣5时．y＝|﹣5﹣1|＝6．
当y＝2012时，|x﹣1|＝2012，解得x＝2013或x＝﹣2011，
当y＝2019时，|x﹣1|＝2019，解得x＝2020或x＝﹣2018，
由函数图象可知，当2012≤|y|≤2019时，x的取值范围是﹣2018≤x≤﹣2011或2013≤x≤2020.
故答案为：6；﹣2018≤x≤﹣2011或2013≤x≤2020.
【题型14】待定系数法求一次函数解析式
【典例】已知y是x的一次函数，表中列出了部分对应值，则a等于( )
A.－1 B.0 C.－2 D.
【答案】C
【解析】设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将x＝－1，y＝1；x＝1，y＝－5代入得
解得
∴一次函数解析式为y＝－3x－2，
令x＝0，得到y＝－2，则a＝－2.
【强化训练1】已知一次函数的图象过点和点，则这个函数的解析式为( )
A.y＝－2x－1 B.y＝2x－7 C.y＝－2x＋1 D.y＝2x＋5
【答案】C
【解析】设该一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把点和点分别代入
解析式得
解得
故该函数的解析式为y＝－2x＋1.
【强化训练2】若三点(1，4)，(2，7)，(a，10)在同一直线上，则a的值等于( )
A.－1 B.0 C.3 D.4
【答案】C
【解析】设经过(1，4)，(2，7)两点的直线解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∴
∴
∴y＝3x＋1，
将点(a，10)代入解析式，
得a＝3.
【强化训练3】若直线y＝kx＋b与直线y＝－2x＋1平行，且过点(3，4)，则直线解析式为 .已知一次函数与y轴的交点为(0，－4)，且图象过点A(－6，－1)，则一次函数解析式为 .
【答案】y＝－2x＋10 y＝－x－4
【强化训练4】点A(－1，3)，B(1，－1)，C(3，－5)是否在同一条直线上？
【答案】解 设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
由题意得
解得
∴直线AB的解析式为y＝－2x＋1；
当x＝3时，y＝－2×3＋1＝－5，
∴点C(3，－5)在直线AB上，
因此，A，B，C三点共线.
【强化训练5】已知直线y＝ax＋3经过点P(－1，4).
(1)求a的值；
(2)将该直线向下平移k个单位长度使其成为正比例函数，求k的值.
【答案】解 (1)把P(－1，4)代入y＝ax＋3，
可得4＝－a＋3，
解得a＝－1.
(2)因为正比例函数的图象经过原点，
所以将该直线向下平移3个单位长度使其成为正比例函数，
所以k＝3.
