华师大版（2024）八年级下册 17.1 平行四边形的性质 题型专练
【题型1】利用平行四边形的对边平行且相等求解
【典例】 如图， ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝3 cm，AB＝4 cm，则 ABCD的周长是( )
A. 20 cm B. 21 cm C. 22 cm D. 23 cm
【强化训练1】已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为( )
A. 4 B. 12 C. 24 D. 28
【强化训练2】平行四边形ABCD的周长为36 cm，AB﹣BC＝2 cm，则AD、CD的长度分别是（ ）
A.12 cm，6 cm B.8 cm，10 cm C.6 cm，12 cm D.10 cm，8 cm
【强化训练3】 如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【强化训练4】 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A. m＋n B. mn C. 2(m＋n) D. 2(n－m)
【强化训练5】 如图，在 ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__________．
【强化训练6】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________.
【强化训练7】一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是____________米．
【题型2】利用平行四边形的对边平行且相等证明
【典例】如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【强化训练1】如图，在 中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接、，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①≌；②；③是等边三角形；④．
A.只有①② B.只有①②③ C.只有③④ D.①②③④
【强化训练2】在中，延长AB到E，使，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，在 ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论：①BO＝OH；②DF＝CE；③DH＝CG；④AB＝AE；正确的是 ．（填序号）
【强化训练4】 在 ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝AD.求证：∠BAE＝∠CDF.
【题型3】利用平行四边形的对角相等求解
【典例】 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为( )
A. 66° B. 104° C. 114° D. 124°
【强化训练1】 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于( )
A. 105° B. 15° C. 30° D. 25°
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______.
【强化训练3】 如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数．
【题型4】利用平行四边形的对角相等证明
【典例】如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，AB=BH，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论①∠A=∠BHE；②BD=BE；③∠BDE=45°；④∠BHD=∠BDG，其中正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是（ ）
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角
【强化训练2】如图，四边形是平行四边形，以下四个结论中：
①；
②；
②；
④．
正确的有（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 ．（只需写一种情况）
【强化训练4】如图，在平行四边形中，，分别平分和，交对角线于点E，F．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【强化训练5】 如图，在 ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF.
【题型5】求平行线间的距离
【典例】如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C是DA延长线与BC的交点，BCOM，则CD的最小值是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【强化训练1】已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm，则m与n之间的距离（ ）
A.等于5 cm B.等于6 cm C.等于4 cm D.小于或等于4 cm
【强化训练2】如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5 cm，BC=3 cm，那么平行线a，b之间的距离为（ ）
A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.不能确定
【强化训练3】如图，在中，点是定点，点、是直线和上两动点，，且点到直线和的距离分别是1和4，则对角线长度的最小值是 ．
【强化训练4】如图，已知，，于点，于，．
（1）求证：；
（2）求点到的距离．
【题型6】利用平行线间的距离解决问题
【典例】如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】如图，，AC与BD相交于点O．若三角形AOB的面积为4，则三角形COD的面积为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【强化训练2】如图，，，点在上，，的面积为6，则的面积为（ ）
A.6 B.12 C.16 D.20
【强化训练3】如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于 ．
【强化训练4】如图：已知，点在上，，的面积为6，则平行四边形的面积为 ．
【强化训练5】如图①，我们知道若直线．则三角形与三角形的面积相等；反之，若三角形与三角形的面积相等，则也可得到直线，利用此知识解答以下问题：
如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，连接，若三角形的面积是4．
(1)求四边形的面积；
(2)求证：．
【强化训练6】如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在格点上．
(1)将平移，使得格点M、N在的内部，画出平移后的图形；
(2)利用格点画出的高线，中线；
(3)若的面积与的面积相等，满足条件的格点P有__________个．
【题型7】利用平行四边形的对角线互相平分求解
【典例】如图，对角线和相交于点 O，过点O，且与，分别相交于点E，F．若，，，则四边形的周长是____________.
【强化训练1】如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是 ．
【强化训练2】如图，的对角线交于点O，，，且．
(1)求的长；
(2)求的面积．
【强化训练3】综合与实践：
如图，已知中，对角线，交于点，过点任作直线分别交，于点，．
(1)请判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，，，求四边形的周长；
(3)若，，，，请直接写出的长．
【题型8】利用平行四边形的对角线互相平分证明
【典例】如图，平行四边形的对角线、交于点O，平分交于点E，，，连接OE．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】如图O为对角线、的交点，经过点O且与边、分别交于点E、F，则图中的全等三角形最多有（ ）
A.2对 B.3对 C.5对 D.6对
【强化训练2】如图，在中，对角线，交于点O，过点O作交，于点E，F，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，平行四边形的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：① ；②平分；③ ；④，其中正确的有 （写序号即可）．
【强化训练4】如图，的对角线相交于点分别是的中点，求证：．
【强化训练5】[教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
[性质应用]如图2，在中，对角线相交于点，过点且与边分别相交于点．
求证：．
[拓展提升]在[性质应用]的条件下，连结．若，的周长是，则的周长是________．华师大版（2024）八年级下册 17.2 平行四边形的判定 题型专练（参考答案）
【题型1】根据定义判定平行四边形
【典例】如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】由平移的性质可知，，故①正确；
由平移的性质可知，，因此，故②正确；
平移的方向是点C到点F的方向，故③错误；
由平移的性质可知，，，，
因此四边形为平行四边形，故④正确；
综上可知，正确的有①②④，共3个．
故选C．
【强化训练1】如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求；
C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
∵，
∴，
D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
故选：B．
【强化训练2】在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC AD，则四边形ABCD为平行四边形．
【答案】∥
【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：
∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：∥．
【强化训练3】如图，四边形ABCD中，AB＝CB，AC与BD交于点F，F为AC的中点，E为四边形ABCD外一点，且ABDE，∠EAC＝90°．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形．
(2)若DA平分∠BAE，AB=10，AD=12，求AC的长．
【答案】解：（1）∵AB=CB，F为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∵∠EAC=90°
∴AC⊥AE，
∴，
∵，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）∵DA平分∠BAE，
∴∠DAE=∠BAD，
∵，
∴∠EAD=∠BDA=∠BAD，
∴BD=AB=10，
设BF=x，则DF=10﹣x，
∴AD2﹣DF2=AB2﹣BF2，
∴122﹣（10﹣x）2 =102﹣x2，
∴x=，
∴，
∴AC=2AF=．
【题型2】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【典例】如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（ ）
A.△ABD≌△ECD
B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形
C.DA＝DE
D.CE＝CD
【答案】D
【解析】∵CE∥AB，
∴∠B=∠DCE，∠BAD=∠E，
在△ABD和△ECD中，
,
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴DA=DE，AB=CE，
∵AD=DE，BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
故选：D．
【强化训练1】要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,,
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是平行四边形，
故选：B．
【强化训练2】若四边形中，，相交于点，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足 ，从对角线的关系看应满足 ．
【答案】；
【解析】四边形中，，相交于点，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足，从对角线的关系看应满足，
故答案为：；．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD的中，AD//BC，，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F，连接BD，CF．
(1)求证：四边形BCFD是平行四边形；
(2)若，，求四边形ABCF的面积．
【答案】（1）证明：∵AD//BC，F在AD的延长线上，
∴DF//CB，
∴∠EDF＝∠ECB，
∵E是CD的中点，则DE＝CE，
又∠DEF＝∠CEB，
∴△DEF≌△CEB（ASA），
∴DF＝CB，
∴四边形BCFD是平行四边形．
（2）解：∵∠BAD＝90°，AD＝5，BD＝BC＝13，
∴在Rt△BDA中，由勾股定理得：AB2＝BD2－AD2，
即AB2＝169－25＝144，
∴AB＝12．
∴△ABD的面积为，
平行四边形BCFD的面积为，
∴四边形ABCF的面积为：30＋156＝186．
【强化训练4】如图，四边形的对角线相交于点O，，过点O且与，分别相交于点E，F，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若，的周长是15，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即，
的周长．
【题型3】判定能否构成平行四边形
【典例】下列说法错误的是（ ）
A.对角分别相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.相邻的角互补的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】A选项：对角分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意；
B选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意；
C选项：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，符合题意；
D选项：相邻的角互补的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意.
故选：C.
【强化训练1】如图，是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.，
，
又，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
.不能判断四边形是平行四边形，
故本选项符合题意；
.，
，
又，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
.，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意．
故选：．
【强化训练2】有4张大小相同的正方形纸片，按图中的虚线剪开（同一图形中，作相同标记的两条线段相等），利用剪下来的两部分图形能拼成三角形和平行四边形的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】图（1）能拼成平行四边形，不能拼成三角形，
图（2）能拼成平行四边形，能拼成三角形，
图（3）能拼成平行四边形，不能拼成三角形，
图（4）能拼成平行四边形，能拼成三角形，
利用剪下来的两部分图形能拼成三角形和平行四边形的有：（2）、（4），共2个，
故选：B．
【强化训练3】下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 （填上正确答案的序号）
①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等．
【答案】②③④
【解析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①错误，②正确；
③两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确；
④两组对边分别平行，符合平行四边形的判定条件，故④正确；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤错误；
故答案为：②③④．
【强化训练4】图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上，请图1、图2中各画一个四边形，满足以下要求：
（1）在图1中，以AB、BC为边画平行四边形ABCD，点D在小正方形的顶点上；
（2）在图2中，以AB、BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，且此四边形有一组对边平行，而另一组对边不平行，并直接写出四边形ABCE的面积．
【答案】解：（1）如图所示：即为所求.
（2）如图所示，此时CE∥AB，BC与AE不平行，满足题意，即为所求.
四边形ABCE的面积=.
【题型4】添加一个条件成为平行四边形
【典例】如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形为平行四边形，故，，，
A. 添加，则，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形；
B. 添加，则又∵，
∴四边形是平行四边形，
故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形；
C. 添加，则，，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
故添加该选项的条件能使四边形成为平行四边形；
D. 添加，无法证明四边形是平行四边形，
故添加该选项的条件不能使四边形成为平行四边形；
故选：D．
【强化训练1】如图，在正六边形中，，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是（ ）
A.①②④ B.①③④ C.①②③④ D.①④
【答案】A
【解析】① 如图，连接，交于点，
∵正六边形中，，
∴和是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，故①符合题意；
②在正六边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故② 符合题意；
③∵，，，
∴与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意；
④在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故④符合题意．
故选：A．
【强化训练2】如图，木棒平行于木棒，当木棒 木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形．
【答案】平行
【解析】∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴当木棒平行木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形，
故答案为：平行．
【强化训练3】如图，E，F是对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形．
【答案】或或．
【解析】使四边形是平行四边形．就要使，，就要使，而在平行四边形中已有，，再加一个或可用证，或用证．
故答案为：或或．
【强化训练4】如图，E、F是四边形的对角线上的两点．
(1)若，只添加一个条件： ，使四边形为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】解：（1）或（填写一个答案即可），
当添加时，
∵，
∴四边形为平行四边形．
当添加时，
∵，
∴四边形为平行四边形．
故答案为：或（填写一个答案即可）
（2）如图，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
【强化训练5】在①AD＝BC，②，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，_______（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形．
【答案】解：补充条件②，
∵，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
又∵OA=OC，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
条件① ③无法证明四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：②.
【题型5】平行四边形的个数问题
【典例】如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A.7个 B.8个 C.9个 D.11个
【答案】C
【解析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形，共9个，
故选：C．
【强化训练1】数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ）
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
【答案】C
【解析】如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，可得OA=OE=AF=EF，所以四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABOD都是平行四边形，共6个，
故答案选C.
【强化训练2】如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．
【答案】3
【解析】依题意，，则四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，
∴有个平行四边形,
故答案为：．
【强化训练3】如图所示，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，图中有 个平行四边形．
【答案】3
【解析】依据已知条件，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，
能够判断四边形ABCB′，C′BCA，ABA′C都是平行四边形．
所以有3个平行四边形．
故答案：3．
【强化训练4】已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为．
(1)作出经平移后所得的图形．
(2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）．
【答案】解：（1）如图所示；
（2）由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，．
【题型6】动点中的平行四边形判定问题
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A. B. C.或 D.或
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD∥BQ．
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．
设运动时间为t．
当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t，
∴10﹣t＝10﹣2.5t，
1.5t＝0，
∴t＝0（舍去）；
当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10，
∴10﹣t＝2.5t﹣10，
解得：t；
当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t，
∴10﹣t＝30﹣2.5t，
解得：t（舍去）；
综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．
故选：B．
【强化训练1】如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（ ）
A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s
【答案】D
【解析】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2 s或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故选：D．
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（ ）
A.3 s B.6 s C.3 s或5 s D.4 s或6 s
【答案】C
【解析】由已知梯形，当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
2t6﹣t，
解得：t＝5，
当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：2t＝6﹣t，
解得：t＝3，
故当运动时间t为3或5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故选：C．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6 cm，AD＝12 cm，BC＝15 cm．点P从A点出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，规定其t＝ s时，PQ∥CD且PQ＝CD．
【答案】4
【解析】根据题意得：PA＝t，CQ＝2t，则PD＝AD﹣PA＝12﹣t．
∵PQ∥CD且PQ＝CD，
∴四边形PQCD为平行四边形，
即12﹣t＝2t，
解得：t＝4，
即当t＝4时，PQ∥CD且PQ＝CD．
故答案为：4．
【强化训练4】如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27 cm，BC＝36 cm，点P从A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
【答案】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，
根据题意可得：AP＝t cm，PD＝（27﹣t）cm，CQ＝2t cm，BQ＝（36﹣2t）cm，
①若四边形ABQP是平行四边形，
则AP＝BQ，
∴t＝36﹣2t，
解得：t＝12，
∴12s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形，
则PD＝CQ，
∴27﹣t＝2t，
解得：t＝9，
∴9s后四边形PQCD是平行四边形；
综上所述：当P，Q两点同时出发，12秒或9秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．
【强化训练5】如图，长方形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝9 cm，点E、F分别在AD、BC上，且BF＝DE＝3 cm，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中：已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥CB，
∵BF＝DE，
∴AD﹣DE＝CB﹣BF，
∴AE＝FC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形（如图），
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，
∵AB＝4 cm，BF＝3 cm，
∴AF5（cm），FC＝9﹣3＝6（cm），
∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，
∴PC＝5t﹣5+6，QA＝13﹣4t，
∴5t﹣5+6＝13﹣4t，解得t，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t秒．
【题型7】综合运用平行线的性质与判定进行求解
【典例】如图，在四边形中，，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【强化训练1】如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由旋转的性质可得，，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，解得，
故选：A．
【强化训练2】在四边形中，，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：C．
【强化训练3】如图，在四边形中，，，，点O为的中点，则 ．
【答案】
【解析】∵点O为的中点，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是直角三角形，即,
∴，
故答案为：．
【强化训练4】已知：如图，E、F是对角线上的两点．
(1)若，求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数．
【答案】解：（1）连接交于O，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形,
∴．
【题型8】综合运用平行线的性质与判定进行证明
【典例】如图所示，已知与关于点中心对称，过任作直线分别交，于点，，下面的结论：
①点和点，点和点是关于中心的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与成中心对称．
其中正确的是 ．
【答案】①②③④
【解析】∵与关于点中心对称，
∴，，，
∴,
∴四边形是平行四边形，
在与中，
∵，
∴，
∴点和点，点和点是关于中心的对称点，
∴与成中心对称，直线必经过点,
∴四边形与四边形也关于点对称，
∴，
综上，正确的是①②③④,
故答案为：①②③④.
【强化训练1】如图，在中，E，F是对角线上的两点，，下列结论：①；②；③四边形为平行四边形；④；正确的是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【解析】连接交于O，过D作于M，过B作于N，
∵四边形是平行四边形，
∴，， ，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴①正确；③正确；
∵E是对角线上的点，
∴的长度可变化，而相对不变，
∴，
∴，故②错误，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴④正确；
故答案为：①③④.
【强化训练2】如图，在平行四边形 中，分别平分和，交于点E，交于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接分别交于点G、H，连接与交于点M，与交于点N，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形除外）．
【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别平分和，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴图中所有的平行四边形（平行四边形除外）为平行四边形、平行四边形、平行四边形、平行四边形．
【强化训练3】如图，在中，E、F分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)对角线分别与交于点M、N，求证：．
【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形，
．
分别是的中点，
，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是平行四边形，
．
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
．
