华师大版（2024）八年级下册 18.1 矩形 题型专练
【题型1】矩形性质的理解
【典例】如图，在矩形中，对角线、相交于点，以下结论错误的是( )
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
【强化训练2】已知在矩形中，对角线，相交于点O，则与相等的角有（不包括）（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练3】如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
【强化训练4】如图，在矩形中，对角线、相交于点，以下结论错误的是( )
A. B. C. D.
【强化训练5】矩形是 的平行四边形．因此它具有平行四边形的一切性质，此外矩形还具有的性质是四个角 和对角线 ．
【强化训练6】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ．（填代号）
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形．
【强化训练7】矩形的对角线 ．
【强化训练8】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ．（填代号）
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形．
【题型2】利用矩形的性质求角度
【典例】如图，是矩形的对角线交点，平分，，的度数为( )
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数是( )
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，矩形的对角线交于点O，点E在线段上，且，若，则 ．
【强化训练4】如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数．
【强化训练5】如图，在矩形中，，于点F.
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数.
【题型3】利用矩形的性质求线段的长度
【典例】如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（ ）
A. B. C.1 D.
【强化训练1】如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，，，E为上一点，平分，则的长为（ ）
A.12 B.5 C.1 D.3
【强化训练3】在矩形中，E、F分别在和上，，若，，则___________．
【强化训练4】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E在边BC上，若EA平分∠BED，则EC= ．
【强化训练5】如图，在矩形中，是的平分线，过点D作，交的延长线于F，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【题型4】利用矩形的性质求面积
【典例】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是( )
A.16 B. C.32 D.
【强化训练1】如图，矩形的长为6，宽为3，O为对角线交点，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为( )
A.9 B.18 C.12 D.15
【强化训练2】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝5，∠BOC＝120°，则ABC的面积为（ ）
A. B. C.5 D.10
【强化训练3】如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
【强化训练4】已知矩形中，，，，则矩形的面积为 ．
【强化训练5】如图，在矩形中，点在边上，，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
【强化训练6】如图，矩形中，点E在上，且平分，若，
(1)求证：；
(2)求的面积．
【题型5】利用矩形的性质证明
【典例】如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（ ）
A.四边形的面积是定值
B.的值不变
C.的值不变
D.
【强化训练1】如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】证明：矩形的对角线相等．
已知：如图，在矩形中，连接，．求证：．
证明：四边形是矩形，，______．
又，，．
则“______”在处应该补充的证明过程是( )
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，E，F是矩形ABCD的边AD和BC上的两点，连接BE，DF，BD，请添加一个适当的条件，使△BED≌△DFB， （填一个即可）．
【强化训练4】小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．
证明：四边形是矩形，
，，
① °．
，
，
，
② ．
又， ③ ，
④ ．
⑤ ．
又，
．
【强化训练5】如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
【强化训练6】如图，四边形是矩形，对角线、相交于点O，交的延长线于点E，求证：．
【题型6】用定义判定矩形
【典例】在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【强化训练1】如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是( )
①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角．
A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④②
【强化训练2】已知Rt△ABC，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为 .
【强化训练3】补全下列解题过程．
如图，点为的边上的中点，且．求证：是矩形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点是的中点，
∴．
又∵，
∴．
∴ ．
∵，∴．
∴．
∴是矩形（ ）．
【强化训练4】如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【强化训练5】如图，在 ABCD中，点O是边AB的中点，且OD＝OC．
（1）求证：∠ADO＝∠BCO；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
【题型7】用角判定矩形
【典例】下列各图中，是矩形的是( )
A. B. C. D.
【强化训练1】求证：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知：如图，在四边形中，．
求证：四边形是矩形．
证明：∵，
…
∵，
∴四边形是矩形．
下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是( )
A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③
【强化训练2】工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是 ．
【强化训练3】如图，在中，，于点，过点作的平行线交的外角的平分线于点．求证：四边形是矩形．
【强化训练4】如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形.
【题型8】矩形判定定理的理解
【典例】如图，的对角线，相交于点，添加下列条件后，不能得出四边形是矩形的是( )
A.
B.
C.
D.
【强化训练1】依据所标数据，下列一定为矩形的是( )
A.只有③ B.只有①② C.只有②③ D.①②③
【强化训练2】有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【强化训练3】下列能够判断四边形是矩形的是( )
A.两组对角相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相平分且相等
【强化训练4】下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A.AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD
B.∠A＝∠B＝∠D＝90°
C.AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90°
D.AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
【强化训练5】用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有 ．（只要填序号即可）
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长、以及和这两边组成三角形的那条对角线的长，计算是否有．
④量出两条对角线长，看是否相等．
【强化训练6】用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有 ．（只要填序号即可）
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长、以及和这两边组成三角形的那条对角线的长，计算是否有．
④量出两条对角线长，看是否相等．
【强化训练7】给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是 .
【题型9】添一条件使四边形是矩形
【典例】如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有( )
A.
B.，，
C.
D.
【强化训练1】如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是( )
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，四边形中，，，请添加一个条件 ，使四边形是矩形．
【强化训练4】如图，在中，D是边上一点，E是的中点，过C作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接．若D是的中点，在中添加什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论．
【题型10】综合利用矩形的判定与性质进行求解
【典例】如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8 cm，则平行四边形ABCD的面积是( )cm2 ．
A.16 B.4 C.8 D.16
【强化训练1】如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
【强化训练2】如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ．
【强化训练3】如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．华师大版（2024）八年级下册 18.1 矩形 题型专练（参考答案）
【题型1】矩形性质的理解
【典例】如图，在矩形中，对角线、相交于点，以下结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形为矩形，
∴，，，
故A，B，D正确，
而不一定成立，故C不正确；
故选：C．
【强化训练1】如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在矩形中，对角线，交于点，
∴，，，
矩形不一定有，
∴四个选项中只有D选项说法错误，
故选：D．
【强化训练2】已知在矩形中，对角线，相交于点O，则与相等的角有（不包括）（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】四边形是矩形，
，，，，
，，
，，
，
故选：C．
【强化训练3】如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵在矩形中，对角线，交于点，
∴，，，
矩形不一定有，
∴四个选项中只有D选项说法错误，
故选：D．
【强化训练4】如图，在矩形中，对角线、相交于点，以下结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形为矩形，
∴，，，
故A，B，D正确，
而不一定成立，故C不正确；
故选：C．
【强化训练5】矩形是 的平行四边形．因此它具有平行四边形的一切性质，此外矩形还具有的性质是四个角 和对角线 ．
【答案】有一个角是直角；都是直角；相等
【解析】矩形是有一个角是直角的平行四边形．因此它具有平行四边形的一切性质，还具有自己的性质：
①矩形的每个角都是直角；
②矩形的对角线相等．
故答案为：有一个角是直角，都是直角，相等．
【强化训练6】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ．（填代号）
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形．
【答案】④⑤⑥
【解析】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是：
④对角线相等；
⑤4个角都是90°；
⑥轴对称图形．
故答案为：④⑤⑥．
【强化训练7】矩形的对角线 ．
【答案】相互平分且相等
【解析】矩形的对角线相互平分且相等．
故答案为：相互平分且相等．
【强化训练8】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ．（填代号）
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形．
【答案】④⑤⑥
【解析】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是：
④对角线相等；
⑤4个角都是90°；
⑥轴对称图形．
故答案为：④⑤⑥．
【题型2】利用矩形的性质求角度
【典例】如图，是矩形的对角线交点，平分，，的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】四边形是矩形，
，，
，
，
，
是等边三角形．
，
平分，
，
，
，
，
，
又 ，
，
．
故选D．
【强化训练1】如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，
四边形是矩形，
，，，，
，
∵，，，
∴，
∴,
，
，
，
,
，
，
．
故选：B．
【强化训练2】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】四边形是矩形，
，
故选C．
【强化训练3】如图，矩形的对角线交于点O，点E在线段上，且，若，则 ．
【答案】
【解析】四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【强化训练4】如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数．
【答案】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
．
【强化训练5】如图，在矩形中，，于点F.
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数.
【答案】解：（1）在矩形中，，
∴.
在和中，
,
∴.
∴.
（2）在矩形中，
∴.
又∵，
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
【题型3】利用矩形的性质求线段的长度
【典例】如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（ ）
A. B. C.1 D.
【答案】A
【解析】如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
又∵，
∴线段是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：A.
【强化训练1】如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】A
【解析】四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
故选：A．
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，，，E为上一点，平分，则的长为（ ）
A.12 B.5 C.1 D.3
【答案】C
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选C．
【强化训练3】在矩形中，E、F分别在和上，，若，，则___________．
【答案】
【解析】，
是等腰直角三角形，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：．
【强化训练4】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E在边BC上，若EA平分∠BED，则EC= ．
【答案】
【解析】如图，作AF⊥ED于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵EA平分∠BED，BE⊥AB，EF⊥AF，
∴∠AEB＝∠AEF，BA＝FA=4，
∴∠AEF＝∠DAE，
∴AD＝DE＝8，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（HL），
∴BE＝EF，
∵AF⊥FD，
∴DF，
∴FE＝DE﹣DF＝，
∴BE＝，
故答案为：．
【强化训练5】如图，在矩形中，是的平分线，过点D作，交的延长线于F，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
由（1）得，，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，连接，
由（2）知，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
【题型4】利用矩形的性质求面积
【典例】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是( )
A.16 B. C.32 D.
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∠ABC=90°，
∴AO=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB，
∴AC=2AO=8，
∴，
∴矩形ABCD的面积=AB BC=．
故选：B．
【强化训练1】如图，矩形的长为6，宽为3，O为对角线交点，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为( )
A.9 B.18 C.12 D.15
【答案】A
【解析】因为矩形的面积为18，O为对角线交点，过点O任画一条直线，将矩形分成面积相等的两部分，所以阴影部分的面积为9．
故选A．
【强化训练2】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝5，∠BOC＝120°，则ABC的面积为（ ）
A. B. C.5 D.10
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴OB＝OA＝OC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝OC，
∴，
在中，
∵AB2+BC2＝AC2，BC＝5，
∴AB2+＝（2AB）2，
解得：AB＝5，
∴△ABC的面积是，
故选：A．
【强化训练3】如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】24
【解析】由题意，空白部分是矩形，长为6﹣2＝4（cm），宽为4﹣1＝3（cm），
∴阴影部分的面积＝6×4×2﹣2×4×3＝24（cm2），
故答案为：24．
【强化训练4】已知矩形中，，，，则矩形的面积为 ．
【答案】20
【解析】连接，相交于点M，过A作轴，过C作轴，过B作轴，交于点G，交于点F，
，
∵矩形，
∴M为，的中点，
又，，，
∴，
解得，
∴，，
∴矩形的面积为．
故答案为：20．
【强化训练5】如图，在矩形中，点在边上，，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】解：（1）四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）由（1）得，，
，
，
．
【强化训练6】如图，矩形中，点E在上，且平分，若，
(1)求证：；
(2)求的面积．
【答案】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积=．
【题型5】利用矩形的性质证明
【典例】如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（ ）
A.四边形的面积是定值
B.的值不变
C.的值不变
D.
【答案】C
【解析】过点C作，交的延长线于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形的面积是定值，故A正确；
∵，
∴的值不变，故B正确；
∵，
∴，故D正确；
∴的值不变不成立，
故选：C．
【强化训练1】如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.由矩形，可得，，
．
又，
，故A正确；
B.由，可得，
由矩形，可得，
又，
，故B正确；
C.由，可得，
由矩形，可得，
，故C正确；
D.不一定等于，
直角三角形中，不一定等于的一半，故D错误；
故选：D．
【强化训练2】证明：矩形的对角线相等．
已知：如图，在矩形中，连接，．求证：．
证明：四边形是矩形，，______．
又，，．
则“______”在处应该补充的证明过程是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
则在“______”处应该补充的证明过程是，
故选：C．
【强化训练3】如图，E，F是矩形ABCD的边AD和BC上的两点，连接BE，DF，BD，请添加一个适当的条件，使△BED≌△DFB， （填一个即可）．
【答案】ED＝FB（答案不唯一）
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
所以添加ED＝FB，
利用SAS即可使△BED≌△DFB．
故答案为：ED＝FB（答案不唯一）．
【强化训练4】小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．
证明：四边形是矩形，
，，
① °．
，
，
，
② ．
又， ③ ，
④ ．
⑤ ．
又，
．
【答案】①90； ②；③；④；⑤
【解析】四边形是矩形，
，，
°（直角三角形两锐角互余）．
，
，
，
（同角的余角相等）．
又， （已知），
．
（全等三角形的对应边相等）．
又，
．
【强化训练5】如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
【答案】证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
又∵，，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）∵，
∴．
又∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
【强化训练6】如图，四边形是矩形，对角线、相交于点O，交的延长线于点E，求证：．
【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【题型6】用定义判定矩形
【典例】在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【答案】B
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=BC，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形,
故选：B.
【强化训练1】如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是( )
①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角．
A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④②
【答案】B
【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
A：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故④不能推导出②，故A错误；
B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．故B正确；
C：矩形本身就是平行四边形，不需要由矩形去证明它本身平行四边形，故C错误；
D：应先确定该四边形是平行四边形，故D错误．
故选：B．
【强化训练2】已知Rt△ABC，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为 .
【答案】矩形
【解析】根据小明的作图方法可知：AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，
∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩形．
【强化训练3】补全下列解题过程．
如图，点为的边上的中点，且．求证：是矩形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点是的中点，
∴．
又∵，
∴．
∴ ．
∵，∴．
∴．
∴是矩形（ ）．
【答案】；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点是的中点，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，∴．
∴．
∴是矩形（有一个角是角的平行四边形是矩形）．
故答案为 ；有一个角是角的平行四边形是矩形.
【强化训练4】如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【答案】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
∴，
又，
四边形是平行四边形．
．
（2），平分，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
【强化训练5】如图，在 ABCD中，点O是边AB的中点，且OD＝OC．
（1）求证：∠ADO＝∠BCO；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵点O是边AB的中点，
∴AO＝BO，
在△ADO与△BCO中，
，
∴△ADO≌△BCO（SSS），
∴∠ADO＝∠BCO；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠A+∠B＝180°，
∵△AOD≌△BOC，
∴∠A＝∠B，
∵∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝∠B＝90°，
即平行四边形ABCD是矩形．
【题型7】用角判定矩形
【典例】下列各图中，是矩形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意；
B.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意；
C.不是四边形，即不是矩形，不符合题意；
D.该四边形是有三个直角的四边形，则该四边形为矩形，符合题意；
故选：D．
【强化训练1】求证：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知：如图，在四边形中，．
求证：四边形是矩形．
证明：∵，
…
∵，
∴四边形是矩形．
下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是( )
A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③
【答案】A
【解析】∵，
③∴，．
②∴，．
①∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
所以，顺序为③②①．
故选：A．
【强化训练2】工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是 ．
【答案】三个角是直角的四边形为矩形
【解析】用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．
故答案为：三个角是直角的四边形为矩形.
【强化训练3】如图，在中，，于点，过点作的平行线交的外角的平分线于点．求证：四边形是矩形．
【答案】证明：∵，，
∴，．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
【强化训练4】如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形.
【答案】证明：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
【题型8】矩形判定定理的理解
【典例】如图，的对角线，相交于点，添加下列条件后，不能得出四边形是矩形的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A.∵四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=∠DCB，
∵∠DAB+∠DCB=180°，
∴∠DAB=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形；
B.∵AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形；
C.∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故能得出四边形ABCD是矩形；
D.∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故不能得出四边形ABCD是矩形；
故选：D．
【强化训练1】依据所标数据，下列一定为矩形的是( )
A.只有③ B.只有①② C.只有②③ D.①②③
【答案】C
【解析】图②可根据有三个角是直角的四边形是平行四边形证明该四边形是矩形，符合题意；
图③可由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明该四边形是矩形，符合题意；
根据现有条件无法证明图①中的四边形是矩形，不符合题意；
故选C．
【强化训练2】有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【答案】B
【解析】①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本条件不合题意；
②对角线互相垂直的四边形不一定互相平分，不一定是平行四边形，故本条件不合题意；
③对角线相等的平行四边形是矩形，故本条件合题意；
④有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本条件合题意；
故选：B．
【强化训练3】下列能够判断四边形是矩形的是( )
A.两组对角相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相平分且相等
【答案】D
【解析】.两组对角相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；
.对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；
.对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；
.对角线互相平分且相等四边形是矩形，故此选项能判定四边形是矩形，符合题意；
故选：．
【强化训练4】下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A.AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD
B.∠A＝∠B＝∠D＝90°
C.AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90°
D.AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
【答案】C
【解析】A.∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误；
B.∵∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误；
C.根据AB＝BC，AD＝DC，∠C＝90°不能推出平行四边形ABCD是矩形，错误，故本选项正确；
D.∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误；
故选：C．
【强化训练5】用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有 ．（只要填序号即可）
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长、以及和这两边组成三角形的那条对角线的长，计算是否有．
④量出两条对角线长，看是否相等．
【答案】①②
【解析】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定是否是矩形，故此选项正确；
②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确；
③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c,计算是否有a2+b2=c2.可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误；
④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等且互相平分才是矩形；故此选项错误；
综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②.
故答案为①②.
【强化训练6】用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有 ．（只要填序号即可）
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长、以及和这两边组成三角形的那条对角线的长，计算是否有．
④量出两条对角线长，看是否相等．
【答案】①②
【解析】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定是否是矩形，故此选项正确；
②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确；
③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c,计算是否有a2+b2=c2.可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误；
④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等且互相平分才是矩形；故此选项错误；
综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②.
故答案为①②.
【强化训练7】给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是 .
【答案】（1）、（2）、（4）
【解析】（1）对角线相等的平行四边形是矩形，则原命题错误；（2）对角相等的四边形是平行四边形，则原命题错误；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；（4）一个角为直角,两条对角线互相平分的四边形是矩形，则原命题错误；（5）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，则原命题错误，所以错误的命题有（1）、（2）、（4），故答案为（1）、（2）、（4）.
【题型9】添一条件使四边形是矩形
【典例】如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有( )
A.
B.，，
C.
D.
【答案】D
【解析】A.正确．对角线相等的平行四边形是矩形．
B.正确．，，，
，
，
平行四边形为矩形．
C.正确，，
，
，
平行四边形是矩形，
D.错误．对角线垂直的平行四边形是菱形．
故选：D
【强化训练1】如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
观察各选项只有添加B选项时可以，
∵，
∴四边形是矩形，
故选B．
【强化训练2】如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是平行四边形，补充，
∴四边形是矩形，故A不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，补充，
∴，
∴四边形是矩形，故B不符合题意；
∵四边形是平行四边形，补充，
∴四边形是矩形，故C不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴不能判定四边形是矩形，故D符合题意；
故选：D．
【强化训练3】如图，四边形中，，，请添加一个条件 ，使四边形是矩形．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵，且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
故答案为：．
【强化训练4】如图，在中，D是边上一点，E是的中点，过C作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接．若D是的中点，在中添加什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论．
【答案】解：（1）∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，是矩形．
连接，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【题型10】综合利用矩形的判定与性质进行求解
【典例】如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8 cm，则平行四边形ABCD的面积是( )cm2 ．
A.16 B.4 C.8 D.16
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD，
∵△ABO是等边三角形，AC=8 cm，
∴AO=OB=AB=4 cm，
∴AC=BD，
∴四边形是ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，BC=，
∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)，
故答案为：D．
【强化训练1】如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【强化训练2】如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴、为等边三角形，
∴，，
∵E、F为的中点，
∴垂直平分，垂直平分，，
∴，
∴四边形为矩形，
又，
∴，
∴，，
∴四边形的面积为：，
故答案为：.
【强化训练3】如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵于点E，于点F，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
