高考数学专题讲义全国通用版——外接球与内切球解题几类模型

空间几何体的外接球与内切球
一、有关定义
1.球的定义: 空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面, 简称球。
2. 外接球的定义: 若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上, 则称这个多面体是这个球的内接多面体, 这个球是这个多面体的外接球。
3.内切球的定义: 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体, 这个球是这个多面体的内切球。
二、外接球的有关知识与方法
1.性质:
性质 1: 过球心的平面截球面所得圆是大圆, 大圆的半径与球的半径相等;
性质 2: 经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心, 该平面截球所得圆是大圆;
性质 3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面(类比:圆的垂径定理)； 性质 4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；
性质 5:在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心(类比: 在同圆中, 两相交弦的中垂线交点是圆心).
初图1
初图2
2.结论:
结论 1: 长方体的外接球的球心在体对角线的交点处, 即长方体的体对角线的中点是球心;
结论 2: 若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点, 则所得多面体与原长方体的外接球相同；
结论 3: 长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是:底面的一条对角线与一条高(棱)构成的直角三角形的外接圆是大圆；
结论 4: 圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处;
结论 5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线(外接圆直径)是球的直径;
结论 6: 直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球;
结论 7: 圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上;
结论 8: 圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆, 该三角形的外接圆直径是球的直径;
结论 9: 侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.
3.终极利器:勾股定理、正弦定理及余弦定理(解三角形求线段长度)；
三、内切球的有关知识与方法
1.若球与平面相切, 则切点与球心连线与切面垂直。(与直线切圆的结论有一致性)
2.内切球球心到多面体各面的距离均相等, 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。(类比: 与多边形的内切圆)
3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。
4.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上, 但不一定重合。
5.基本方法:
(1)构造三角形利用相似比和勾股定理;
(2)体积分割是求内切球半径的通用做法(等体积法).
四、八大模型
类型一、墙角模型(三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径)
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
方法: 找三条两两垂直的线段,直接用公式 ,即 ,求出
例 1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为 16 ，则这个球的表面积是
A. B. C. D.
解: ,选 C; (2)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是
(3)题-1(引理)
解: ;
(3)在正三棱锥 中， 、 分别是棱 、 的中点,且 ,若侧棱 ,则正三棱锥 外接球的表面积是_____.
解: 引理: 正三棱锥的对棱互相垂直. 证明如下: 如
图(3)-1,取 的中点 ,连接 交于 ,连接 ,则 是底面正三角形 的中心,
平面 ,
平面 ,
，同理: ， ，即正三棱锥的对棱互垂直，
(3)题-2 (解答图)
本题图如图(3)-2, ，
平面 ，
,
平面 ， ，
故三棱锥 的三棱条侧棱两两互相垂直，
,即 正三棱锥 外接球的表面积是 .
(4)在四面体 中， 平面 ，则该四面体的外接球的表面积为
B.
C. D.
解: 在 中, 的
外 接 球 直 径 为 ,
，选 D
(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6、4、3，那么它的外接球的表面积是_____
解: 由已知得三条侧棱两两垂直,设三条侧棱长分别为 ,则
,
(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为 1 的正方形，则该几何体外接球的体积为_____
解:
类型二、对棱相等模型(补形为长方体)
题设: 三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径( , ， )
第一步:画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
图2-1
第二步: 设出长方体的长宽高分别为 , ，列方程组，
补充: 图 2-1 中, .
,求出 .
思考: 如何求棱长为 的正四面体体积,如何求其外接球体积
例 2(1)如下图所示三棱锥 ，其中 ， 则该三棱锥外接球的表面积为_____.
解: 对棱相等,补形为长方体,如图 2-1,设长宽高分别为 ,
(2)在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为_____.
解: 如图 2-1,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为 ,则 ,
(3)正四面体的各条棱长都为 ，则该正面体外接球的体积为_____
(3)解答题
解: 正四面体对棱相等的模式,放入正方体中, ,
(4)棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是_____.
(4)题
(4)题解答图
解: 如解答图,将正四面体放入正方体中,截面为 ,面积是 .
类型三、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)
图3-1
图3-2
图3-3
题设: 如图 3-1, 图 3-2, 图 3-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,
棱柱的上下底面可以是任意三角形)
第一步: 确定球心 的位置, 是 的外心,则 平面 ;
第二步: 算出小圆 的半径 也是圆柱的高); 第三步: 勾股定理: ,解出
例 3(1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3,则这个球的体积为_____
解: 设正六边形边长为 ,正六棱柱的高为 ,底面外接圆的半径为 ,则 , 正六棱柱的底面积为 ,
也可 ,球的体积为 ;
(2) 直三棱柱 的 各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于_____.
解: ;
(3) 题
(3)已知 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ， 则多面体 的外接球的表面积为_____.16π
解: 折叠型,
法一: 的外接圆半径为 ， ， ；
法二: ;
法三:补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略. 换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径: ;
(4) 在直三棱柱 中， ，则直三棱柱 的外接球的表面积为_____.
解: 法一: , ;
法二: 求圆柱的轴截面的对角线长得球直径, 此略.
类型四、切瓜模型(两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法)
图4-1
图4-2
图4-3
图4-4
1. 如图 4-1，平面 平面 ，且 (即 为小圆的直径)，且 的射影是 的外心 三棱锥 的三条侧棱相等 三棱 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点.
解题步骤:
第一步: 确定球心 的位置,取 的外心 ,则 三点共线;
第二步: 先算出小圆 的半径 ,再算出棱锥的高 (也是圆锥的高); 第三步: 勾股定理: ,解出 ;
事实上, 的外接圆就是大圆,直接用正弦定理也可求解出 .
2. 如图 4-2,平面 平面 ,且 (即 为小圆的直径),且 ,则
利 用 勾 股 定 理 求 三 棱 锥 的 外 接 球 半 径 :
① ;
②
3. 如图 4-3,平面 平面 ,且 (即 为小圆的直径)
4. 题设: 如图 4-4,平面 平面 ,且 (即 为小圆的直径) 第一步: 易知球心 必是 的外心，即 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 ；
第二步: 在 中,可根据正弦定理 ,求出 .
例 4 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 1,底面边长为 , 则该球的表面积为_____.
解: 法一: 由正弦定理(用大圆求外接球直径); 法二: 找球心联合勾股定理, ;
(2)正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，各顶点都在同一球面上， 则此球体积为_____
解: 方法一: 找球心的位置,易知 ,故球心在正方形的中心 处,
方法二:大圆是轴截面所的外接圆,即大圆是 的外接圆,此处特殊, 的斜边是球半径, .
(3)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
解: 高 ,底面外接圆的半径为 ,直径为 ,
设底面边长为 ,则 ,三棱锥的体积为 ;
(4)在三棱锥 中， 与底面 所成的角为 ，则该三棱锥外接球的体积为( )
A.
B. C.
D.
解: 选 D,由线面角的知识,得 的顶点 在以 为半径的圆上, 在圆锥中求解, ;
(5)已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边长为 1 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为( )A
A. B. C. D.
解:
类型五、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)
1. 题设: 如图 5, 平面 ,求外接球半径.
图5
解题步骤:
第一步:将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ， 连接 ,则 必过球心 ;
第二步: 为 的外心,所以 平面 ,算出小圆 的半径 三角形的外接圆直径算法: 利用正弦定理,得 ,
第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径: ① ； ② .
2. 题设: 如图 5-1 至 5-8 这七个图形, 的射影是 的外心 三棱锥 的三条侧棱相等 三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点.
图5-1
图5-2
图5-3
图5-4
图5-6
图5-7
图5-8
解题步骤:
第一步: 确定球心 的位置,取 的外心 ,则 三点共线;
第二步: 先算出小圆 的半径 ,再算出棱锥的高 (也是圆锥的高);
第三步: 勾股定理: ,解出
方法二:小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.
例 5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C
A. B.
C. D. 以上都不对
解答图
解: 选 C,
法一:(勾股定理)利用球心的位置求球半径, 球心在圆锥的高线上,
;
法二:(大圆法求外接球直径)如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形 的外接圆是大圆,于是 ,下略;
类型六、折叠模型
题设: 两个全等三角形或等腰三角形拼在一起, 或菱形折叠(如图 6)
图6
第一步: 先画出如图 6 所示的图形,将 画在小圆上,找出 和 的外心 和 ;
第二步: 过 和 分别作平面 和平面 的垂线,两垂线的交点即为球心 ,连接 ;
第三步: 解 ,算出 ,在 中,勾股定理: 注: 易知 四点共面且四点共圆,证略.
例 6(1)三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均为边长为 2 的正三角形，则三棱锥 外接球的半径为_____.
解: 如图, ,
(1)题
法二: ,
(2)在直角梯形 中， ， ， ， ，沿对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，若四面体 的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为_____
(2)题-1 (2)题-2
(3)题
解: 如图,易知球心在 的中点处, ;
(3)在四面体 中， ， ，二面角 的余弦值为 ，则四面体 的外接球表面积为_____
解: 如图,法一: ,
;
法二: 延长 到 使 ,由余弦定理得 ,大圆直径为 ；
(4)在边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折成二面角 为 的四面体 ，则此四面体的外接球表面积为
解: 如图,取 的中点 和 的外接圆半径为 和 的外心 到弦 的距离(弦心距)为 ,
法一:四边形 的外接圆直径 ;
法二: ;
法三: 作出 的外接圆直径 ,则 ,
(5)在四棱锥 中， ， ， ， ， 二面角 的平面角的大小为 ，则此四面体的外接球的体积为_____ 解: 如图, 过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心,
(5)题解答图-1
(5)题解答图-2
,弦心距 ,弦心距 ,
,
法一: ;
法二: , .
类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三
棱锥模型）
图7
题设: 如图 7, ,求三棱锥 外接球半径(分析: 取公共的斜边的中点 ,连接 ,则 为三棱锥 外接球球心,然后在 中求出半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关, 只要不是平角球半径都为定值.
例 7(1)在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一个直二面角 ，则四面体 的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
解: (1) ,选 C
(2)在矩形 中， ，沿 将矩形 折叠，连接 ，所得三棱锥 的外接球的表面积为_____.
解: 的中点是球心 .
类型八、锥体的内切球问题
1.题设: 如图 8-1,三棱锥 上正三棱锥,求其内切球的半径.
第一步: 先现出内切球的截面图, 分别是两个三角形的外心;
第二步: 求 是侧面 的高;
图8-1
第三步: 由 相似于 ,建立等式: , 解出
2.题设: 如图 8-2,四棱锥 是正四棱锥,求其内切球的半径
第一步:先现出内切球的截面图， 三点共线；
图8-2
第二步: 求 是侧面 的高;
第三步: 由 相似于 ,建立等式: , 解出
3. 题设: 三棱锥 是任意三棱锥，求其的内切球半径方法:等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步:先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第 二 步 : 设 内 切 球 的 半 径 为 , 建立 等 式:
第三步: 解出
例 8 (1)棱长为 的正四面体的内切球表面积是_____ ，
解: 设正四面体内切球的半径为 ,将正四面体放入棱长为 的正方体中(即补形为正方体),如图,则
(1)题
又 ,
内切球的表面积为
(注: 还有别的方法,此略)
(2)正四棱锥 的底面边长为 2，侧棱长为 3，则其内切球的半径为
解: 如图,正四棱锥 的高 ,正四棱锥 的体积为
侧面斜高 ，正四棱锥 的表面积为 ，
正 四 棱 锥 的 体 积 为
,
(3)三棱锥 中，底面 是边长为 2 的正三角形， 底面 ， ，则该三棱锥的内切球半径为
解: 如图, ,
三棱锥 的体积为 ,
另一表达体积的方式是 ,
习题:
1. 若三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且 ，则该三棱锥的外接球半径为( )
A. 3 B. 6 C. 36 D. 9
解:【A】
【三棱锥有一侧棱垂直于底面, 且底面是直角三角形】【共两种】
2. 三棱锥 中，侧棱 平面 ，底面 是边长为 的正三角形， ，则该三棱锥的外接球体积等于_____.
解: ,外接球体积 【外心法(加中垂线)找球心; 正弦定理求球小圆半径】
3. 正三棱锥 中，底面 是边长为 的正三角形，侧棱长为 2,则该三棱锥的外接球体积等于_____.
解: 外接圆的半径为,三棱锥 的直径为 ,外接球半径 ,
或 ,外接球体积 ,
4. 三棱锥 中，平面 平面 ， 边长为 2 的正三角形， ，则三棱锥 外接球的半径为_____.
解: 的外接圆是大圆, ,
5. 三棱锥 中，平面 平面 ， 则三棱锥 外接球的半径为_____.
解 : ,
6. 三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， 则三棱锥 外接球的半径为_____.
解: 是公共的斜边, 的中点是球心 ,球半径为