极化恒等式及最值范围问题
(1)概念:设 、 是两个平面向量，则有恒等式:
运算 图形语言 符号语言 坐标语言
加减法 记 则 设 ,则:
实数与向量的乘积 记 ,则
向量数量积 记 ,则
向量夹角 设 ,则:
向量模长
(2)几何意义:向量的数量积为和对角线与差对角线平方差的 .
(3)空间几何与极化恒等式:在矩形 中，若对角线 和 交于点 为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系:
① ； ② .
(1) 三点共线 . 证明方法:
坐标方法: 设 三点共线,则: ,
(2)定理应用:平面上 三点不共线， 在直线
上，且 ，令 ，则有 . 其表达意思就是从一个顶点 引出三个向量,且它们共线,每一个向量 分别乘它对面的比值.
平面内一组基底 及任一向量 ， 若点 在直线 上或平行于 的直线上,则 (定值),反之也成立, 把直线 以及与直线 平行的直线称为等和线.
①当等和线恰为直线 时， ；
② 当等和线在 点和直线 之间时， ；
③ 当直线 在 点和等和线之间时， ；
④ 当等和线过 点时, ;
(1)重心:
①概念:三角形三条边中线的交点.
②重心向量表达: 为 的重心 .
③重心的性质:
1) 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 : 1.
2) 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等.
3) 中 ,重心的坐标是
(2)内心:
①概念:三角形内切圆圆心. 三内角角平分线交点.
②内心向量表达: 为 的内心 .
③内心的性质: 1) 内心到三角形边的距离相等
2) 三角形面积与内切圆半径关系:
(3)外心:
①概念:三角形外接圆圆心. 三条边垂直平分线交点.
②外心向量表达: 为 的外心 .
③外心的性质: 1) 外心到三角形三顶点的距离相等
2) 三角形面积与外接圆半径关系:
1.极化恒等式: .
几何意义: 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 “和对角线” 与 “差对角线” 平方差的 .
2. 平行四边形 是对角线交点. 则:
(1) (平行四边形模式)；(2) (三角形模式).
3. 平面向量中的最值(范围)问题
(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).
题型一 极化恒等式的应用
【例 1】(1)在 中， 是 的中点， ，则 ____
(2)已知正三角形 内接于半径为 2 的圆 ,点 是圆 上的一个动点，则 的取值范围是_____.
【训练 1】(1)已知正方形 的边长为 1，点 是 边上的动点， 则 的值为_____.
(2)若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上的任意一点，则 的最大值为( )
A. 2 B. 3
C. 6 D. 8
题型二 平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
【例 2-1】(1)设 为两个非零向量 的夹角，已知对任意实数 ， 的最小值为 1，则()
A. 若 确定，则 唯一确定
B. 若 确定，则 唯一确定
C. 若 确定，则 唯一确定
D. 若 确定，则 唯一确定
(2)已知 是两个非零向量，且 ，则 的最大值为( )
A. B.
C. 4 D. 5
【训练 2-1】( 1 ) 已知向量 满足 ，则 的最小值是_____，最大值是_____.
(2)如图，在边长为 1 的正方形 中， 为 的中点， 为以 为圆心， 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点， 则 的取值范围是_____；若向量 ，则 的最小值为_____.
类型 2 利用不等式型
【例 2-2】(1)已知边长为 1 的正方形 分别是边 上的两个动点, ，若 ，则 的最小值为_____.
(2)(一题多解)已知平面向量 满足 ，则 的最小值为( )
A. B. 2
C. D.
(3) 已知向量 . 若对任意单位向量 ， 均有 ，则 的最大值是_____.
【训练 2-2】(1)若非零向量 满足 ，则 的最小值为_____.
(2) 已知向量 满足 ， 则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(3) 已知平面向量 满足: ， ，则 的最小值为( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
类型 3 利用向量平行(垂直)、向量的投影型
【例 2-3】(1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1， 正六边形的顶点称为 “晶格点”. 若 四点均位于图中的 “晶格点” 处，且 ， 的位置如图所示，则 的最大值为_____.
(2)已知 ， ，则 的最大值为_____，最小值_____. 值为_____.
【训练 2-3】(1)已知向量 满足 ，则 一 b )的最大值是_____，最小值是_____.
(2)已知 ，且 ，记 的最大值为 ，最小值为 ，则 ( )
A. 6 B. 4
C. -2 D. -4
类型 4 利用轨迹图形性质(数形结合)型
【例 2-4】( 1 )(一题多解)(2018 浙江卷)已知 是平面向量， 是单位向量. 若非零向量 与 的夹角为 ,向量 满足 , 则 的最小值是( )
A. B.
C. 2 D.
(2)已知向量 ， ，则 (其中 )的最小值是_____.
【训练 2-4】(1)已知 ，向量 满足 ，则 的最大值为_____.
(2)(一题多解)已知向量 满足 ，则 的取值范围为_____.
一、选择题
1. 在 中， 是边 上一定点，满足 ， 且对于边 上任一点 ，恒有 ，则( )
A. B.
C. D.
2.已知 是圆 的直径， 长为 2， 是圆 上异于 的一点, 是圆 所在平面上任意一点,则 的最小值为( )
A. B. C. D. -1
3. (一题多解)如图， ， 是半径为 1 的圆 的两条直径， ， 则 ( )
A. B.
C. D.
4. 如图，在 中，点 ， 是线段 上两个动点，且 ,则 的最小值为 ( )
B. 2
A.
C. D.
5. 在 中, 为锐角,点 是 外接圆的圆心，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6. 记 在 中， 为斜边 上一动点. 设 ,则当 取最小值时, ( )
A. B.
C. D.
7.已知 是单位向量，向量 满足 ,则 的最大值为 ( )
A. 2 B.
C. 3 D.
8.在矩形 中, ,动点 在以 为圆心且与 相切的圆上,若 ，设 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为( )
A. B.
C. D.
9.如图，在平面四边形 中， ， . 若点 为边 上的动点，则 的最小值为( )
A. B.
C. D. 3
二、填空题
10. 在 中, ,则 边上的中线 的长是_____.
11. 在面积 的 中, 分别是 的中点,点 在直线 上,则 的最小值是_____.
12. 在 Rt 中, 是斜边 上的两个动点,且 ，则 的取值范围是_____.
13.在 中, ，则 _____；当 取到最小值时，则 _____.
14. 若非零向量 和 满足 ，则 的取值范围是_____， 的取值范围是_____.
15.如图,圆 是半径为 1 的圆, ,设 为圆上的任意 2 个点,则 的取值范围是_____.
16. 已知平面向量 满足 ,则 的最小值为_____，此时 _____.
17. 已知正三角形 的边长为 是平面 内的动点,且 ，则 的最大值为_____.
18. 已知正方形 的边长为 1，当每个 ， 4,5,6) 取遍 时， 的最小值是_____，最大值是_____.极化恒等式及最值范围问题
(1)概念:设 、 是两个平面向量，则有恒等式:
运算 图形语言 符号语言 坐标语言
加减法 记 则 设 ,则:
实数与向量的乘积 记 ,则
向量数量积 记 ,则
向量夹角 设 ,则:
向量模长
(2)几何意义:向量的数量积为和对角线与差对角线平方差的 .
(3)空间几何与极化恒等式:在矩形 中，若对角线 和 交于点 为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系:
① ； ② .
(1) 三点共线 . 证明方法:
坐标方法: 设 三点共线,则: ,
(2)定理应用:平面上 三点不共线， 在直线
上，且 ，令 ，则有 . 其表达意思就是从一个顶点 引出三个向量,且它们共线,每一个向量 分别乘它对面的比值.
平面内一组基底 及任一向量 ， 若点 在直线 上或平行于 的直线上,则 (定值),反之也成立, 把直线 以及与直线 平行的直线称为等和线.
①当等和线恰为直线 时， ；
② 当等和线在 点和直线 之间时， ；
③ 当直线 在 点和等和线之间时， ；
④ 当等和线过 点时, ;
(1)重心:
①概念:三角形三条边中线的交点.
②重心向量表达: 为 的重心 .
③重心的性质:
1) 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 : 1.
2) 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等.
3) 中 ,重心的坐标是
(2)内心:
①概念:三角形内切圆圆心. 三内角角平分线交点.
②内心向量表达: 为 的内心 .
③内心的性质: 1) 内心到三角形边的距离相等
2) 三角形面积与内切圆半径关系:
(3)外心:
①概念:三角形外接圆圆心. 三条边垂直平分线交点.
②外心向量表达: 为 的外心 .
③外心的性质: 1) 外心到三角形三顶点的距离相等
2) 三角形面积与外接圆半径关系:
1.极化恒等式: .
几何意义: 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 “和对角线” 与 “差对角线” 平方差的 .
2. 平行四边形 是对角线交点. 则:
(1) (平行四边形模式)；(2) (三角形模式).
3. 平面向量中的最值(范围)问题
(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).
题型一 极化恒等式的应用
【例 1】(1)在 中， 是 的中点， ，则
(2)已知正三角形 内接于半径为 2 的圆 ,点 是圆 上的一个动点，则 的取值范围是_____.
解析 (1)因为 是 的中点,由极化恒等式得
(2) 取 的中点 ,连接 ,因为三角形 为正三角形,所以 为三角形 的重心, 在 上,且 ,所以 , .
又由极化恒等式得 ,
因为 在圆 上,所以当 在点 处时, ,
当 在 的延长线与圆 的交点处时, ,
所以 .
答案
【训练 1】(1)已知正方形 的边长为 1，点 是 边上的动点， 则 的值为_____.
(2)若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上的任意一点，则 的最大值为( )
A. 2 B. 3
C. 6 D. 8
解析 (1) 取 中点 ,设 ，则 ，
(2)如图，由已知 ，取 中点 ，连接 ，由极化恒等式得
的最大值为 6 .
答案 (1)1 (2)C
题型二 平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
【例 2-1】(1)设 为两个非零向量 的夹角，已知对任意实数 ， 的最小值为 1，则()
A. 若 确定，则 唯一确定
B. 若 确定，则 唯一确定
C. 若 确定，则 唯一确定
D. 若 确定，则 唯一确定
(2)已知 是两个非零向量，且 ，则 的最大值为( )
A. B.
C. 4 D. 5
解析 (1) 由 的最小值为 1 知 的最小值为 1,令 ,即 ,则对于任意实数 的最小值为 ,化简得 1,观察此式可知,当 确定时, 唯一确定,选 B.
(2) 因为 ,所以 ,所以 ,所以 . 令 ,则 . 由 ,得 ,所以当 时, 时,当 时, ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 ,故选 B.
答案 (1)B (2)B
【训练 2-1】( 1 ) 已知向量 满足 ，则 的最小值是_____，最大值是_____.
(2)如图，在边长为 1 的正方形 中， 为 的中点， 为以 为圆心， 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点， 则 的取值范围是_____；若向量 ，则 的最小值为_____.
解析 (1) 由题意,不妨设 , 则 .
令
则 .
由此可得 ,
即 的最小值是 4,最大值是 .
(2)以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴、 轴建立平面直角坐标系,则易得 , , 则 ,又因为 ,所以 . 由 得 ,所以 ,当 时, ,当 时, ,设 ,则 ,所以函数 在 上单调递增,则当 时, 取得最小值 . 综上所述， 的最小值为 .
答案
类型 2 利用不等式型
【例 2-2】(1)已知边长为 1 的正方形 分别是边 上的两个动点, ，若 ，则 的最小值为_____.
(2)(一题多解)(2019·七彩阳光联盟三联)已知平面向量 满足 ，则 的最小值为( )
A. B. 2
C. D.
(3) 已知向量 . 若对任意单位向量 ， 均有 ，则 的最大值是_____.
解析 (1)因为四边形 是正方形,以 为坐标原点建立平面直角坐标系,则 . 设 ,则 , . 所以 因为 ,所以有 . 因为 ,所以 . 所以 ,所以 ,当且仅当 时取到最小值.
(2)法一 因为 ，且 . 所以通过计算有 ,故选 A.
法二 因为 ,且 ,所以可设 , ,则有 ,所以 (3)由已知可得
(3)由已知可得
由于上式对任意单位向量 都成立.
成立.
.
即 .
答案
【训练 2-2】(1)若非零向量 满足 ，则 的最小值为_____.
(2) 已知向量 满足 ， 则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(3) 已知平面向量 满足: ， ，则 的最小值为( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析 (1) 由 得 ,则 ,当且仅当 时等号成立,所以 的最小值为 .
(2)因为 ，所以 . 两边平方得 ,又 ,所以 ,又因为 ,即 ,所以 的取值范围是 ,故选 A.
(3) (其中 为 与 的夹角),因为 ,所以 ,则由 ,得 ,解得 ,即 的最小值为 6,此时向量 的方向与向量 的方向相反，故选 B.
答案
类型 3 利用向量平行(垂直)、向量的投影型
【例 2-3】(1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1， 正六边形的顶点称为 “晶格点”. 若 四点均位于图中的 “晶格点” 处，且 ， 的位置如图所示，则 的最大值为_____.
(2)已知 ， ，则 的最大值为_____，最小值_____. 值为_____.
解析 (1)先建立平面直角坐标系如图, 因为正六边形的边长均为 1 , 所以 ，当 在 方向上的投影最大时， 最大，此时取 ， ，即 ，
(2) 设 ,则 . 而 当 时， ， ；当 ， 共线且同向时, b) .
答案 (1)
【训练 2-3】(1)已知向量 满足 ，则 一 b )的最大值是_____，最小值是_____.
(2)已知 ，且 ，记 的最大值为 ，最小值为 ，则 ( )
A. 6 B. 4
C. -2 D. -4
解析 (1) 由题意得 ,则 ,则当向量 同向共线时, 取得最大值 ,当 时, 取得最小值 .
(2) 因为 ,令 ，如图，设 与 夹角为 . 因为 . 所以 ,又因为 ,所以 在 方向上的投影 ,即 ,所以 ,故选 C.
答案
类型 4 利用轨迹图形性质(数形结合)型
【例 2-4】( 1 )(一题多解)(2018 浙江卷)已知 是平面向量， 是单位向量. 若非零向量 与 的夹角为 ,向量 满足 , 则 的最小值是( )
A. B.
C. 2 D.
(2)已知向量 ， ，则 (其中 )的最小值是_____.
解析 (1)法一 设 为坐标原点, , ,由 得 ,即 ,所以点 的轨迹是以 为圆心,1 为半径的圆. 因为 与 的夹角为 , 所以不妨令点 在射线 上,如图,数形结合可知 . 故选 A.
法二 由 得 .
设 ，所以 ，所以 ,取 的中点为 ,则 在以 为圆心, 为直径的圆上,如图,设 ,作射线 ,使得 ,所以 . 故选 A.
(2)由 得 的夹角为 ，又因为 ,所以 为直角三角形, . 如图,令 , ，则 ， ,问题转化为当点 在线段 上运动时, 求 的最小值. 作点 关于线段 对称的点 ,连接 ,则 即为所求的最小值. 在 中, , 则 ,在 中, , ,由余弦定理得 .
D E G
-
答案 (1)A (2)2√7
【训练 2-4】(1)已知 ，向量 满足 ，则 的最大值为_____.
(2)(一题多解)已知向量 满足 ，则 的取值范围为_____.
解析 (1) 由 得向量 的终点的轨迹为以向量 的终点为圆心, 为半径的圆,则 的最大值为 ,
又因为
当且仅当 ,即 时等号成立,所以 的最大值为 .
(2)法一 令 ，则问题转化为 的取值范围. 由三角不等式有 ,则 ,又 ,即 ,故 ,即 的取值范围为 4].
法二 如图,由已知,作 ,分别以点 为圆心作单位圆,则 的终点 在圆 上, 的终点 在圆 上,则 ,故 表示两圆上两点连线的长,因此,由圆的性质得 ,即 的取值范围为 .
答案
一、选择题
1. 在 中， 是边 上一定点，满足 ， 且对于边 上任一点 ，恒有 ，则( )
A. B.
C. D.
解析 取 边中点 ,由极化恒等式得 , ，由 ，得 ，即 ， 到 的最短距离为 ,设 的中点为 ,又 , ,故 .
答案
2.已知 是圆 的直径， 长为 2， 是圆 上异于 的一点, 是圆 所在平面上任意一点,则 的最小值为( )
A. B. C. D. -1
解析 ,取 中点 ,由极化恒等式得 ,又 的最小值为 .
答案 C
3. (一题多解)如图， ， 是半径为 1 的圆 的两条直径， ， 则 ( )
A. B.
C. D.
解析 法一 ,圆 的半径为 ,
法二 ,由极化恒等式得
答案
4. 如图，在 中，点 ， 是线段 上两个动点，且 ,则 的最小值为 ( )
B. 2
A.
C. D.
解析 由图可设 ,其中 , ,则 . 由题知, ,所以有 ,所以 ,当且仅当 ,即 时,取等号, 故选 D.
答案
5. 在 中, 为锐角,点 是 外接圆的圆心，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 依题意得 的外接圆半径 ,
如图所示， 在弧 上(端点除外)，
与 同向，此时 有最大值 ,
又 ，故 . 故选 A.
答案
6. 记 在 中， 为斜边 上一动点. 设 ,则当 取最小值时, ( )
A. B.
C. D.
解析 取最小值时, ,即 ,亦即 . 根据直角三角形的射影定理可得 ，故选 C.
答案
7.已知 是单位向量，向量 满足 ,则 的最大值为 ( )
A. 2 B.
C. 3 D.
解析 由 得向量 的终点的轨迹为以向量 的终
点为圆心， 为半径的圆，则 的最大值为 .
又因为
. 当且仅当 ,即 时等号成立,所以 的最大值为 .
答案
8.在矩形 中, ,动点 在以 为圆心且与 相切的圆上,若 ，设 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为( )
A. B.
C. D.
解析 如图,以 为坐标原点,分别以直线 为 轴建立平面直角坐标系,则 ,由已知,圆 的方程为 ,设 ,又 ,则 故 ,故选 C.
答案
9.如图，在平面四边形 中， ， . 若点 为边 上的动点，则 的最小值为( )
A. B.
C. D. 3
解析 以 为坐标原点, 所在直线为 轴,建立如图的平面直角坐标系,
因为在平面四边形 中, ,所以 . 设 ,所以 ,因为 ,所以 ,则 ,解得 , 即 . 因为 在 上,所以 ,由 ,得
,即 ,因为 ,所以 , 令 . 因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 . 所以 的最小值为 ,故选 A.
答案
二、填空题
10. 在 中, ,则 边上的中线 的长是_____.
解析 因为 ,
，即 ，
所以 边上的中线 的长为 .
答案
11. 在面积 的 中, 分别是 的中点,点 在直线 上,则 的最小值是_____.
解析 取 的中点为 ,连接 , 则由极化恒等式得 (其中 为 点向 边作的高),
当且仅当 时取等号.
由上可知
.
答案
12. 在 Rt 中, 是斜边 上的两个动点,且 ，则 的取值范围是_____.
解析 取 的中点为 ,由极化恒等式得 . 问题转化为求 的取值范围,当 为 的中点时, 取最小值为 ，则 的最小值为 ；当 与 (或 与 )重合时, 取最大值为 ，则 的最大值为 2，所以 的取值范围是 .
答案
13.在 中, ，则 _____；当 取到最小值时，则 _____.
解析 在 中,由余弦定理得 ,即
,解得 ,则 ,则 ,则当 时, 取得最小值.
答案
14. 若非零向量 和 满足 ，则 的取值范围是_____， 的取值范围是_____.
解析 因为 ，又 是非零向量,所以 的取值范围是 ,因为 ,所以 , 又 ，解得 的取值范围是 .
答案
15.如图,圆 是半径为 1 的圆, ,设 为圆上的任意 2 个点,则 的取值范围是_____.
解析 设 ,则有 ,则 ,当且仅当 ,
同向共线，且与 反向共线时,等号成立，所以 的最大值为
,令 ,则易得 ,设 , 则 . 易得当 时， 取得最小值 . 综上所述， 的取值范围为 .
答案
16. 已知平面向量 满足 ,则 的最小值为_____，此时 _____.
解析 由 ,得 ,即 ,则 ,所以 , 当且仅当 与 方向相反且 共线时等号成立,所以 的最小值为 ,此时 .
答案
17. 已知正三角形 的边长为 是平面 内的动点,且 ，则 的最大值为_____.
解析 如图，圆 为 的外接圆，圆 与圆 关于直线 对称,由题意知 在圆 的优弧 上(圆 半径相等),设 的中点为 ,易知当 为锐角,且 在 方向上的射影最大时, 取得最大值,易知 在 方向上射影的最大值为 外接圆的半径,故所求最大值为 .
答案
18. 已知正方形 的边长为 1，当每个 ， 4,5,6) 取遍 时， 的最小值是_____，最大值是_____.
解析 如图，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系,则 .
设
故 .
取遍 ,
当 时, 取得最小值 0 .
考虑到 有相关性,要确保所求模最大,只需使 尽可能取到最大值,即当 , 时可取到最大值,
的最大值为 答案
