山西省2026年中考数学模拟试卷（含解析）

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山西省2026年中考数学模拟试卷（含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下面有理数比较大小的式子中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）已知，求作：，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是（ ）

A． B． C． D．
5．（本题3分）若不等式组的解集是x＞4，则m的取值范围是（　　）
A．m＞4 B．m≥4 C．m≤4 D．m＜4
6．（本题3分）如图，在中，，E，F，G，H分别是边的中点，连接，则对四边形的形状描述最准确的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．（本题3分）某射击训练队的小姜、小徐、小林三位同学在一次备战射击比赛中，各射击枪的成绩分别如下表所示：
成绩/环 第一枪 第二枪 第三枪 第四枪
小姜
小徐
小林
则他们成绩较为稳定的是（ ）
A．小姜同学 B．小徐同学 C．小林同学 D．一样稳定
8．（本题3分）如图，是的弦，，，则的直径等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
9．（本题3分）下列与之间的关系中，是的正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积与它的边长之间的关系
B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系
C．小明以每分钟米的速度步行上学，他所走的路程与时间之间的关系
D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中剩余油量与耗油量之间的关系
10．（本题3分）如图，的直径弦于点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）因式分解： ．
12．（本题3分）某商店经销一种“84消毒液”，每箱进价为a元，该商店将进价提高40%后作为零售价销售，则这时这种“84消毒液”的零售价为 元．（用含a的式子表示）
13．（本题3分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于 ．
14．（本题3分）某一物理实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，、为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让灯泡发光的概率为 ．
15．（本题3分）如图，菱形的顶点A，B的坐标分别为，，则点D的坐标为 ．
三、解答题（共75分）
16．（本题10分）（1）计算：
（2）解方程组：
17．（本题7分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（本题8分）年元旦期间，面对新型肺炎疫情的侵袭，全国上下众志成城，我们坚信在党中央的统一领导下必定打赢这场没有硝烟的战争．月日，为了增强学生对此次疫情的了解与防控，某学校在本校网站上开展了相关知识的宣传教育活动．月日为了解这次宣传活动的效果，学校在校网站上从全校名学生中随机抽取若干名在线学生进行知识测试（测试满分分，得分均为整数），并根据这若干人的测试成绩，制作了如下不完整的统计图表．
学生知识测试成绩的频数表
成绩a（分） 频数（人）
由图表及统计图中给出的信息，回答下列问题：
(1)本次抽取的样本容量是______；扇形的圆心角______，并补全频数直方图；
(2)如果分以上（包括分）为优秀，请估计全校名学生中成绩优秀的人数．
(3)针对这次活动谈谈你的想法．
19．（本题7分）学校广播站要招聘一名播音员，擅长诵读的小龙想去应聘，但是不知道是否符合应聘条件，于是在微信上向好朋友亮亮倾诉，如图所示的是他们的部分对话内容，面对小龙的问题，亮亮也犯了难．
（1）请聪明的你用所学的方程知识帮小龙计算一下，他是否符合学校广播站的应聘条件？
（2）小龙和奶奶各读一篇文章，已知奶奶所读文章比小龙所读文章至少多了3200个字，但奶奶所用的时间是小龙的2倍，则小龙至少读了多少分钟？
20．（本题8分）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为．
(1)求坡顶C到地面的距离；
(2)计算边靖楼的高度．
21．（本题9分）在Rt中，，，是的角平分线，于点．
(1)如图1，连接，若，则______；
(2)如图2，点是线段延长线上的一点(不与点重合)，以为一边，在的下方作，交延长线于点．在边上取一点，使，求证：；
(3)在（2）的条件下，请你写出，与之间的数量关系，并证明你的结论．
22．（本题13分）如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点，所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）；隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度．
请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
(1)请以点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
(2)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？
23．（本题13分）已知，在矩形中，连接对角线，将绕点顺时针旋转得到，并将它沿直线向左平移，直线与交于点，连接，．
（1）如图①，当，点平移到线段上时，线段有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；
（2）如图②，当，点平移到线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）如图③，当时，对矩形进行如已知同样的变换操作，线段有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想．
AI
试卷第2页，共9页
试卷第1页，共9页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D C B C C C D
1．D
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，即正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的其值反而小．
根据有理数比较大小的法则对各选项进行比较即可．
【详解】A．∵，，
∴，故选项错误；
B．∵正数大于负数
∴，故选项错误；
C．∵，，
∴，故选项错误；
D．∵，，
∴，故选项正确．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
3．B
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法和完全平方公式的计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．D
【分析】根据判断三角形全等即可．
【详解】解：由作图可知，，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，利用所学知识解决问题．
5．C
【分析】先求出不等式①的解集，然后根据不等式组的解集是x＞4即可求出m的取值范围.
【详解】，
解①得
x>4，
∵不等式组的解集是x＞4，
∴m≤4.
故选C.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
6．B
【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理是解题的关键．连接、，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理解答即可．
【详解】解：连接、，
四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形，
，
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
平行四边形为矩形，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查数据的稳定性分析，即通过计算方差或标准差来比较数据的波动程度．先计算每位同学成绩的平均数，再计算每位同学成绩的方差（每个数据与平均数差的平方的平均数），然后比较方差的大小，方差最小的同学成绩最稳定．解题的关键是掌握：方差的计算公式；方差越小，数据波动越小，成绩越稳定．
【详解】解：小姜同学的成绩分析：
（环），
；
小徐同学的成绩分析：
（环），
；
小林同学的成绩分析：
（环），
；
∵，
∴小林同学成绩的方差最小，
∴小林同学的成绩最稳定．
故选：C．
8．C
【分析】作直径，连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质解答．
【详解】解：作直径，连接，

由圆周角定理得，，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解题的关键．分别写出各项的函数解析式，再逐项进行判断即可．
【详解】解：A中，正方形的面积与它的边长之间的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意；
B中，用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意；
C中，小明以每分钟米的速度步行上学，他所走的路程与时间之间的关系是，是正比例函数关系，故选项符合题意；
D中，汽车油箱中有汽油，行驶过程中剩余油量与耗油量之间的关系是，不是正比例函数关系；
故选：C．
10．D
【分析】连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，
，过圆心，，
，，
，
，
，
，
由勾股定理，得．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
11．
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键．
运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
12．1.4a
【分析】根据题意可以得到售价＝进价×（1+40%），依此可以解答本题．
【详解】由题意可得，这种“84消毒液”的零售价为：a×（1+40%）＝1.4a（元）．
故答案为：1.4a．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是确定等量关系，列出相应的代数式．
13．-1
【分析】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1，
∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．
14．
【分析】本题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
列表得出共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果有2种，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：由电路图可知，闭合开关和，能让灯泡发光，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果有2种，即，，
能让灯泡发光的概率为，
故答案为：．
15．
【分析】过点D作轴于点E，由题意得，，根据菱形的性质可得，，再由平行线的性质可得，可证，可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点D作轴于点E，
∵点A，B的坐标分别为，，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
17．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为，
【分析】（1）根据题意得出，进而求得的解析式；
（2）由，当时，；当时，，可得点，，进而得出，根据三角形的面积公式即可求解．
（3）当时，可得，根据，，，即可求解，勾股定理的逆定理可得，进而可得，当时，，则点与点重合，根据矩形的性质以及平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：点在上，点的横坐标为，
当时，，
，
将点和代入中，
得：，
解得．
直线的函数解析式为：；
（2）直线与轴，轴分别交于点，，
当时，；当时，
点，，
，
．
，；
（3）当时，轴，则的纵坐标为，
将代入，解得：，即，
∵，，
∴
，，，
∴，，，
∴，即，
则
当时，，则点与点重合，
∵到可以看作向左平移个单位，向上平移个单位，
则点可以看作点向左平移个单位，向上平移个单位，得到
∴满足条件的点的坐标为，．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．(1)，图见解析
(2)成绩优秀的人数为人
(3)见解析
【分析】（1）根据的人数及所占百分数即可得到抽样总人数，再根据的人数在总人数中所占的百分数即可得到的圆心角度数；
（2）根据抽样调查里面分以上的所占的百分数即可得到全校名学生中成绩优秀的人数，
（3）根据条形图与扇形图的数据总结抽样调查的结果．
【详解】（1）解：∵的人数为，的百分数，
∴抽样的总人数为：（人），
∴的人数为：（人），
∵的人数为人总人数为人，
∴的圆心角度数=，
故答案为：．
如图所示：
（2）解：∵抽样调查里面分以上所占人数为：（人），
∴估计全校1500名学生中成绩优秀的人数为（人）．
（3）解：我认为还得加强宣传力度，让大家能充分认识疫情，从而提高防范意识；或者在今后的生活中养成更好的生活卫生习惯；或者大力宣传，我们每个人都应该敬畏大自然保护大自然．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
19．（1）小龙符合学校广播站的应聘条件；（2）小龙至少读了20分钟．
【分析】（1）首先设小龙每分钟读个字，则小龙奶奶每分钟读个字，然后根据题意列出方程，求解即可判定是否满足学校广播站的应聘条件；
（2）首先设小龙读了分钟，则小龙奶奶读了分钟，然后根据题意列出不等式，求解即可.
【详解】（1）设小龙每分钟读个字，则小龙奶奶每分钟读个字
根据题意，得
解得
经检验，是所列方程的解，并且符合实际问题的意义；
∵学校广播站招聘的条件是每分钟250-270字
∴小龙符合学校广播站的应聘条件；
（2）设小龙读了分钟，则小龙奶奶读了分钟，
由题意知
解得
∴小龙至少读了20分钟．
【点睛】此题主要考查分式方程以及一元一次不等式的实际应用，解题关键是弄清题意，找出等式关系.
20．(1)坡顶C到地面的距离为10米；
(2)边靖楼AB的高度为米．
【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——坡比，仰角、俯角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键．
（1）延长交于点E，过点C作于点F，证明四边形是矩形，根据坡比设，则，在中，由勾股定理求得，即得坡顶C到地面的距离为10米．
（2）设米，中，求得，得到，；根据等腰直角三角形性质得到，解得，
即得边靖楼的高度为米．
【详解】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为点F，
则，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴设，
则，
∵在中，米，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
即坡顶C到地面的距离为10米．
（2）设米，
∵，
∴在中，，
由（1）知，，，
∴，；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
即边靖楼的高度为米．
21．(1)
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据已知条件证明，得出，继而得出是等边三角形，即可求解；
（2）证明是等边三角形，进而得出，证明；
（3）由（2）可知，得出，是等边三角形．则，即可得证．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
∴，
∴，．
∴．
在和中，
∴；
（3），
由（2）可知，则．
∴
∵是等边三角形．则，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)见解析，；
(2)第7根与第8根或第5根与第6根
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系、求出函数解析式成为解题的关键．
（1）如图：建立的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，然后再代入解方程即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图．
∵，
∴．
由题意得，，，
∴．
∵图象必过原点，
∴设抛物线的函数表达式为：，
把，分别代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：．
（2）解：由题意，相邻两栏杆的间距是：．
当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆涂色部分时，设相邻两根栏杆中左边那根栏杆为第根，
由题意，得：．
∴．
∴第7根与第8根涂色部分的高度差为．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的对称轴在第6根栏杆与第7根栏杆中间．
由抛物线的对称性，可知第5根与第6根涂色部分的高度差也为．
答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根．
23．（1）AH=CG,AH⊥CG；
AH=CG,AH⊥CG，理由见解析；
AH=nCG，AH⊥CG．
【详解】试题分析：（1）延长AH与CG交于点T，如图①，易证BH=BG，从而可证到△ABH≌△CBG，则有AH=CG，∠HAB=∠GCB，从而可证到∠HAB+∠AGC=90°，进而可证到AH⊥CG．
（2）延长CG与AH交于点Q，如图②，仿照（1）中的证明方法就可解决问题．
（3）延长AH与CG交于点N，如图③，易证BH∥EF，可得△GBH∽△GFE，则有，也就有，从而可证到△ABH∽△CBG，则有=n，∠HAB=∠GCB，进而可证到AH=nCG，AH⊥CG．
试题解析：（1）AH=CG,AH⊥CG．
延长AH与CG交于点T，如图①，
AI
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠CBG=90°，∠EGF=45°．
∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠EGF．
∴BH=BG．
在△ABH和△CBG中，
，
∴△ABH≌△CBG（SAS）．
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．
∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．
∴∠ATC=90°．
∴AH⊥CG．
（2）成立．理由如下：
延长CG与AH交于点Q，如图②，
AI
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠ABH=90°，∠EGF=45°．
∴∠BGH=∠EGF=45°．
∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠BGH．
∴BH=BG．
在△ABH和△CBG中，
，
∴△ABH≌△CBG（SAS）．
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．
∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°．
∴∠CQA=90°．
∴CG⊥AH．
AH=nCG，AH⊥CG
理由如下：
延长AH与CG交于点N，如图③，
AI
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=nBC，
∴EF=nGF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠EFG+∠ABC=180°．
∴BH∥EF．
∴△GBH∽△GFE．
∴．
∵，
∴．
∵∠ABH=∠CBG，
∴△ABH∽△CBG．
∴，∠HAB=∠GCB．
∴AH=nCG，∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．
∴∠ANC=90°．
∴AH⊥CG．
考点：1、旋转的性质；2、矩形的性质3、全等三角形的判定与性质4、相似三角形的判定与性质．
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