9.2 用样本估计总体-9.2.2 总体百分位数的估计 9.2.3 总体集中趋势的估计 课件(共134张PPT)-人教A版数学必修第二册

(共134张PPT)
9.2 用样本估计总体
9.2.2 总体百分位数的估计 9.2.3 总体集中趋势的估计
第九章 统计
人教A版数学必修第二册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
知识测评
05
高考模拟
课标要点
01
必备知识解读
02
知识点1 总体百分位数的估计
1 概念
一般地，一组数据的第百分位数（或称 分位数）是这样一个值，它使得这
组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有 的数据大于或等
于这个值.
. .
2 求解步骤
可以通过下面的步骤计算一组个数据的第 百分位数：
知识剖析
几个重要的百分位数
（1）我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数.
（2）在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百
分位数.以上三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位
数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第
三四分位数或上四分位数等.
（3）像第1百分位数，第5百分位数，第90百分位数，第95百分位数和第99百分
位数在统计中也经常被使用.
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P203例2]一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，
2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.则该组数
据的第75百分位数为_____，第86百分位数为____.
14.5
17
【解析】 15（整数）,
第75百分位数为第15个数据14与第16个数据15的平均数，即 14.5
（非这组数据中的数）.
17.2（不是整数），
第86百分位数为第18个数据17（是这组数据中的数）.
. .
. .
. .
. .
点评 百分位数的特点
一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数.
一组数据的某些百分位数可能是同一数.
知识点2 总体集中趋势的估计
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”
的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.
1 相关概念
数字特征 概念 特征
平均数 平均数代表性较好，是反映数据集
中趋势最常用的统计量.平均数反映
一组数据的平均水平，任何一个样
本数据的改变一般都会引起平均数
的改变.在某些情况下，平均数也易
受到一些极端值的影响而偏离一般
情况.
数字特征 概念 特征
中位数 将一组数据按从小到大 （或从大到小）的顺序排列后， “中间”的那个数据称为这组数据 的中位数.如果数据的个数是偶 数，那么中位数就取中间两个数 据的平均数． 在一组数据中，有一半的数据不大
于中位数，而另一半的数据则不小
于中位数，中位数反映了一组数据
的中心的情况.中位数不受极端值的
影响.
众数 一组数据中出现次数最多 （【释疑】频数最大值对应的样 本数据）的数据称为这组数据的 众数． 众数考查各数据出现的频率，大小
只与这组数据中的部分数据有关.众
数作为一组数据的代表时，可靠性
较差，出现次数最多的数据很多时
候不能反映一组数据的中心值.
续表
. .
特别提醒 1.一组数据的平均数、中位数都是唯一的.众数不唯一，可以有一个，也可
以有多个（如1,2，2,3,3,4,5,6这组数的众数是2和3）.
2.众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数.#1.2
2 适用情况
一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，
可以用平均数、中位数;而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集
中趋势的描述，可以用众数.
例2-2 (2025·广东省深圳市调研)一组数据按从小到大的顺序排列如下:11,12,15, ，17,
,22,26.经计算,该组数据中位数是 ,若第75百分位数是 ,则 ____.
33
【解析】因为，所以中位数是,解得 ；
因为，故第75百分位数是,解得 .
所以 .
例2-3 (2025·山西省大同市期末)公司邀请用户参加某产品的试用并评分，满意度为
10分的有1人，满意度为9分的有1人，满意度为8分的有2人，满意度为7分的有4人，
满意度为5分和4分的各有1人，则该产品用户满意度评分的平均数、众数、中位数、
分位数分别为( )
C
A.8分，7分，7分，9分 B.8分，7分，7分， 分
C.7.2分，7分，7分，9分 D.7.2分，7分，7分， 分
【解析】把10个数据从小到大排列：4，5，7，7，7，7，8，8，9，10.故平均数为
（分），出现次数最多的是7，因此众数为7分，中位数为
（分），又，所以 分位数在第9位，即9分.故选C.
例2-4 (2025·海南省海口市期中)已知一组数据5，2，,5，8，9，且 ．若该
组数据的众数是中位数的 ，则该组数据的平均数为___.
6
【解析】由题意知，该组数据从小到大排序为2，5，5， ,8，9，
故该组数据的众数是5，中位数是，故，故 .
则该组数据的平均数为 .
知识点3 频率分布直方图中的统计参数
在频率分布直方图中，我们通常假设数据在组内均匀分布.这样就可以获得样本
的平均数、中位数、众数和百分位数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数、
众数和百分位数.
1 频率分布直方图中的“众数”
根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个（些）点的横坐
标为这组数据的众数.一般用最高矩形底边中点的横坐标近似代替.
. .
2 频率分布直方图中的“中位数”
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估
计中位数的值.
3 频率分布直方图中的“平均数”
因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方
图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和
近似代替.
. .
. .
. .
4 频率分布直方图中的“百分位数”
根据百分位数的意义，在样本中，至少有的数据小于或等于第 百分位数.因
此，在频率分布直方图中，第百分位数左边的直方图的面积等于 ，由此可估计
第 百分位数.
知识剖析 利用频率分布直方图求第 百分位数的方法
（1）把每个小长方形的面积从左加起，加到最接近但没超过时，用 减去之前
加得的数值;
（2）用（1）中所得的数值除以下一个小长方形的高；
（3）用（2）中所得的数值加上下一个分组中的就得到了第 百分位数.
频率分布直方图中平均数与中位数的大小关系
一般地，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的
（如图9.2.2-1（1）），那么平均数和中位数应该大体上差不多;如果直方图在右边
“拖尾”（如图9.2.2-1（2）），那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”
（如图9.2.2-1（3）），那么平均数小于中位数.
也就是说，与中位数相比，平均数总在“长尾巴”的那一边.
图9.2.2-1
图9.2.2-2
例3-5 对一批底部周长单位：在 内的树木进行研
究，从中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分
布直方图如图9.2.2-2所示，由此估计这批树木的底部周长的众
数是_____，中位数是____，平均数是______ .
105
103.5
【解析】由题图知，底部周长的众数是 ；
中位数是 ；
平均数是 .
图9.2.2-3
例3-6 (2025·重庆市巴蜀中学校开学考试)平均数、中位数和
众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系
和数据分布的形态有关．在如图9.2.2-3所示的分布形态中，
，， 分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下
列关系正确的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数 为右起
第二个矩形下底边的中点值，直线左右两边矩形面积相等，而直线 左边
矩形面积大于右边矩形面积，则 ，
又数据分布图“左拖尾”，则平均数小于中位数，即，所以 .
知识点4 总体离散程度的估计
1 方差和标准差
假设一组数据是,, ,,用 表示这组数据的平均数，则我们称
为这组数据的方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成
的形式.#1
推导过程如下.
.（【巧记】原数据平方的平均数减去平均数的平方）
我们对方差开平方，取它的算术平方根，称 为这
组数据的标准差.（方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据的单位不一致，
而标准差的单位与原始数据的单位一致）#1.2
2 总体（样本）方差和总体（样本）标准差
（1）一般式 如果总体中所有个体的变量值分别为,， , ，总体平均数
为，则总体方差 .
（2）加权式 如果总体的个变量值中，不同的值共有 个，不妨记为
，， ,，其中出现的频数为 ，则总体方差为
.
说明
“权”的古代含义为秤砣，现在“权”的数字意义是“权重”，即“系数”，“加权”就是“乘
以系数”#3.1
总体标准差： .
如果一个样本中个体的变量值分别为，， ，，样本平均数为 ，则称
为样本方差， 为样本标准差（用样本标准差估计总体标准
差）.#3.3
. .
3 标准差与方差的统计意义
（1）标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度
越大；标准差越小，数据的离散程度越小（也可借助统计意义去比较两组数据方差
的大小）.
（2）在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，
一般多采用标准差.
（3）标准差（方差）的取值范围为 .若样本数据都相等，表明数据没有
波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都
相等.（【教材链接】此处回答了教材第212页第3个【？】）#3
. .
. .
. .
. .
教材深挖 分两层随机抽样的样本方差（链接教材P213例6）
假设第一层有个数，分别为,, ,,平均数为,方差为;第二层有 个数，
分别为,, ,，平均数为,方差为，则, ,
,
若记样本平均数为,样本方差为 ,则
,#1.1.2.1
. （【提示】可利用
, ,
推导）
分 层随机抽样的样本方差
设样本中不同层的平均数分别为,, ,,方差分别为,, , ,
各层所占的比例（权重）分别为,, , ,
则这个样本的平均数为 ，
方差为 .#1.2.4
. .
4 描述数据离散程度的另一统计量——极差
（【回顾】一组数据的极差 这组数据的最大值-最小值）
（1）极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.
一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极差小，则数据相对集中，
数据的波动性小.极差的计算非常简单，但极差只考虑了两个极端值，而没有考虑中
间的数据，因此很多时候，极差作为数据的离散程度的统计量，可靠性较差.
（2）极差的取值范围也是 ．标准差的大小不超过极差．
例4-7 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差
为( )
C
A. B. C. D.16
【解析】 平均数 ,
方差 .
【想一想丨问题质疑】
用或 来衡量一组数的离散程度可以吗？为什么？
提示 不能用来衡量离散程度，可以用 来衡量离散程度.
因为 的值有正有负，直接相加可能会相互抵消，这样就无法衡量这些数据的离
散程度.而的值为非负数，因此 可以用来衡量一组数的离散程度.
例4-8 [多选题](2025·浙江省金砖联盟期中)已知甲组数据为1，1，3，3，5，7，9，
乙组数据为1，3，5，7，9，则下列说法正确的是( )
BC
A.这两组数据的第80百分位数相等
B.这两组数据的极差相等
C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅乙组数据的均值不变
D.甲组数据比乙组数据分散
【解析】对于A，由 ，得甲组数据的第80百分位数为7，
由，乙组数据的第80百分位数为 ，A错误；
对于B，甲组数据与乙组数据的极差均为8，B正确；
对于C，甲组数据去掉一个最大值和一个最小值前后的均值分别为, ；乙组数据去
掉一个最大值和一个最小值前后的均值分别为5，5，C正确；
对于D，甲组数据的方差 ，
乙组数据的方差，显然 ，因此乙组数据较
分散，D错误.
例4-9 [教材改编P215 T5]为了解某中学学生的身高单位： 情况，采用分层随机
抽样的方法抽取了30名男生,20名女生.已知男生身高的平均数为 ,方差为16，
女生身高的平均数为,方差为25,则可估计该校学生身高的平均数为_____ ,方
差为_____.
168
25.6
【解析】因为分层随机抽样抽取的样本中男生有30人，女生有20人,所以男生所占的
权重为,女生所占的权重为 .
因为,,， ,
所以可估计该校学生身高的平均数
.
方差 .
释疑惑 重难拓展
知识点5 平均数和方差的计算方法
1 平均数的计算方法
（1）定义法：当所给数据,, , 比较小，且比较分散时，一般选用公式
来计算.
（2）新数据法：当所给的一组数据都在某一常数 的附近波动时，一般选用简
单化公式，其中常数 通常取接近于这组数据的平均数的较“整”的数，先
计算，则 .#2
（3）频数平均数法（也称为加权平均数法）：在给定的数据中，已知数据出现
的频数，或者有些数据重复出现，则一般选用其中为数据 出现的频
数， 来计算平均数.
（4）频率平均数法：当所给数据,, ,出现的频率分别为,, , 时，
则选用 （例如，求分层随机抽样的样本平均数、从频率分布直方图中估
计总体平均数）来计算.#4
2 方差的计算方法
（1） .
（2）在个数中，出现 次，则用加权方差公式
其中 .
（3）新数据法：当所给的一组数据都在某一常数的附近波动时,（常数 通常
取接近于这组数据的平均数的较“整”的数）新数据 ,两组数据的方差相同.
3 具有线性关系的数据的平均数和方差
若数据,, ,与,, ,之间满足关系，且数据,, ,
的平均数和方差分别为和，那么,, ,的平均数为，方差为 ，标
准差为 .
特别地，若，则,, ,的平均数为,方差为,标准差为 ；
若，则,, ,的平均数为,方差为,标准差为 .
说明 此处结论推导请见教材【习题9.2】第4题答案.
例5-10 某地举行了一次数学竞赛，为了估计平均成绩，抽取了部分试卷.在抽取的部
分试卷中，有1人得10分，3人得9分，8人得8分，12人得7分，9人得6分，7人得5分，
则该样本试卷的平均成绩为_____分.
6.85
【解析】该样本试卷的平均成绩为
（分）.
例5-11 (2025·广东省廉江市石岭中学月考)一组数据中的每一个数据都乘2后减80，
得到一组新数据，若求得新数据的平均数是，方差是 ，则原来数据的平均数和
方差分别是( )
A
A., B., C., D.,
【解析】 设原来的数据为,, ，,则新数据为,, ,
,所以 ，
所以 ，
即 .
,
设原数据的平均数为,方差为 ，则数据中的每一个数都乘2后减80，所得
新数据的平均数为,方差为 ，
由题意得,，解得, .
则 .
题型解析
03
题型1 百分位数的求解
例12 新情境 产品密钥(2025·山东省青岛市期末)很多收费软件需要产品密钥激活才
能使用，其中由25个字符构成的产品密钥比较常见，下面是两个25字符的密钥示例：
这两个产品密钥由数字和字母组成，将其中的数字从小到大排列，得到一组数据，
则这组数据的 分位数是___．
6
【解析】由题易知共有13个数字，这13个数字从小到大排列得：3，4，4，4，6，6，
6，7，7，8，8，9，9．
由于 ，
则这组数据的 分位数是其第6项，即6．
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·四川省绵阳市盐亭中学月考)某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名
（假设测试成绩两两不同），成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为
( )
B
A.15 B.25 C.30 D.35
【解析】设班级人数为，由题意，，解得 ，又
，结合选项可得，该班级的人数可能为25.故选B.
题型2 众数、中位数、平均数的应用
例13（1）16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如
果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，那么其他15位同学成绩的下列
数据中，能使他得出结论的是( )
C
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
【解析】判断是不是能进入决赛，只要判断成绩是不是排在前8位，所以只要知道其
他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第
8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入
决赛，第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．
（2）某鞋店试销一款新女鞋，销售情况如下表：
鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41
数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2
如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是( )
B
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
【解析】鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，即数据的众数.
例14 (2025·湖南省长沙市雅礼教育集团月考)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次
骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是( )
C
A.甲同学：中位数为3，极差为2 B.乙同学：平均数为3，众数为4
C.丙同学：第25百分位数为3，众数为5 D.丁同学：平均数为3，中位数为4
【解析】对A，若出现6，且极差为2，则最小数为4，则中位数不可能为3，故A错误；
对B，因为平均数为3，所以5个数总和为15，若要出现6，且众数为4，
，则剩余2个数之和为1，显然不可能，故B错误；
对C，因为 ，大于1.25的比邻整数为2，则可取5次点数为1,3,5,5,6，满
足题意，故C正确；
对D，平均数为3，所以5个数总和为15，若要出现6，且中位数为4，则剩余3个数之
和为5，则剩余3个数都比4小，那么中位数不可能是4，矛盾，故D错误.
众数、中位数、平均数的应用要点
中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的
平均水平，我们需根据实际需要选择使用.#1.1.1
三种数字特征的优缺点#1.2
名称 优点 缺点
众数 （1）体现了样本数据的最大集中 点； （2）容易计算. 对其他数据信息的忽视使得无法客
观地反映总体特征.
中位数 （1）不受少数极端值（比其他数据 大很多或小很多的数据）的影响； （2）容易计算. 对极端值的不敏感有时也会成为缺
点.
平均数 能较好地反映样本数据全体的信息. 当样本数据质量较差时，使用平均
数描述数据的中心位置可能与实际
情况产生较大差异.
【学会了吗丨变式题】
2.［多选题］某校对高一学生进行了体能测试，在该校高一年级随机选取了两个班，
记这两个班分别为甲班、乙班,并在这两个班各随机抽取10名学生的体能成绩
（单位：分，满分100分）作为样本进行分析．如表是两个班被随机选出的学生的体
能分数统计表，则下列说法错误的是( )
甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98
乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99
ABC
A.甲、乙两个班的体能分数的极差相等
B.甲、乙两个班的体能分数的平均数相等
C.乙班的体能分数的众数为87
D.甲、乙两个班体能分数的中位数中，乙班的中位数较大
【解析】对于A，甲班体能分数的极差为 ，乙班体能分数的极差为
，故甲班体能分数和乙班体能分数的极差不相等，故A错误；
对于B，甲班体能分数的平均数为
,乙班体能分数的平
均数为 ，
甲、乙两个班的体能分数的平均数不相等，故B错误；
对于C，乙班的体能分数的众数为81，故C错误；
对于D，甲、乙两个班体能分数的中位数分别为， ，
甲、乙两个班体能分数的中位数中，乙班的中位数较大，故D正确．
题型3 方差、标准差的计算及应用
1 方差、标准差的简单计算
例15 某科考试成绩公布后，发现判错一道题，经修改后重新公布，如表是抽取10名
学生的成绩，表中修改后的成绩与修改前的成绩相比，这10名学生成绩的( )
学生学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
修改前成绩 126 130 104 100 133 123 100 120 139 103
修改后成绩 126 135 99 100 138 123 95 120 144 98
D
A.平均分、方差都变小 B.平均分、方差都变大
C.平均分不变、方差变小 D.平均分不变、方差变大
【解析】 （通解） 经计算，修改前后成绩的平均分均为 ，故可排除A，B.
又修改前成绩的方差为
,
修改后成绩的方差为
,
故修改后成绩方差变大．
（优解） 由表格可以发现，修改后，2,5,9号学生的成绩分别加了5分，3,7,10
号学生的成绩分别减了5分，其余学生的成绩不变，所以平均分不变，故可排除A，B.
由修改前的成绩可大致看出平均分在 之间，但是修改后的6个数偏离平均
数的程度增大了，故数据离散程度变大，所以修改后方差应该是变大了.
例16 新情境 端午香囊(2025·辽宁省辽西重点高中期末)佩戴香囊是端午节传统习俗
之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中
草药甲的含量（单位：克/个）与香囊的某种功效之间满足 ，现从中
随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6，香囊功效的平均数为
15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为_____.
【解析】设6个香囊中草药甲的含量分别为克，香囊功效分别为，，2， ，
6，
草药甲的含量的平均数为6，香囊功效的平均数为15，即 ，
，所以
，则这6个香囊中草药甲含量的方差 ,
所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为 .
在求解平均数、方差、标准差时，要注意数据的特点，选择适当的公式计算，即可
避繁就简.
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·河南省南阳市期中)某篮球运动员进行投篮训练，共进行了5组，每组投篮15
次，每组投篮命中的个数分别为， ，9，8，10．已知这组数据的平均数为9，方
差为2，则 ___.
4
【解析】根据题意得平均数 ，方差
，
所以，且 ，
解得或所以 .
4.(2025·重庆市第一中学校期中)已知有一组数据共25个，其平均数是6，方差是4，
现去掉其中5个数据：5，6，8，10，11，则余下的20个数据的方差为_____.
2.45
【解析】设去掉其中5个数据前后的方差分别为,，这25个数据为,, , ,
5,6,8,10,11.
由题意得，则 ，
所以 ，
，
则 ，
.
. .
2 利用统计量进行决策
母题 致经典·母题探究
例17 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图9.2.2-4所示．
图9.2.2-4
（1）请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲
乙
【解析】由题图可知，甲打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩为
2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
则可求得，甲的成绩的平均数为7，方差为 ，中位数是7，命中9环及9环以上的次
数为1；乙的成绩的平均数为7，方差为，中位数是 ，命中9环及9环以上的次数
为3.
如下表：
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看,谁的成绩更稳定；
【解析】甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定．
②从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些；
【解析】甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些．
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看,谁的成绩好些；
【解析】甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩
好些．
④从折线图上两人射击命中环数的走势看,谁更有潜力．
【解析】从折线图上看，乙基本上呈上升趋势，而甲趋于稳定，故乙更有潜力.
名师点评
利用统计量进行决策的切入点和一般途径
切入点：运用数字特征进行评价时，应从平均数、众数、中位数、方差、极差等多
个角度对这组数据进行分析，全面考虑各数字特征的优缺点,从不同层面或两两综合
进行评价，才能得到较为客观可靠的决策.
一般途径：首先对数据的平均水平进行比较，优选水平较高者，当平均水平相同时，
再看数据的离散程度（方差、标准差），方差或标准差越小，说明水平越稳定.
子题
一次数学知识竞赛中，两组学生的成绩如下：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
经计算，两组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛
中哪个组更优秀，并说明理由.
【解析】从不同的角度分析如下：
①甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲
组成绩好些.
② .
同理得 .
因为 ,所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定.从成绩的方差这一角度看，甲组成
绩好些.
③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分及以上的有33
人，乙组成绩在80分及以上的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好.
④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分
的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多.同时，乙组满分比甲组多6人，从这一
角度看，乙组成绩较好.
名师点评 对统计数据的评判既与统计数据本身有关，也与评判主体（进行评判的
人）有关，对于同一组数据，不同的人从不同的角度可以得到不同的评判结果.
3 分层随机抽样中方差的计算
例18 (2025·河北省唐山市期末)某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生
的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天
的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.
根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差为( )
D
A.1.3 B.1.5 C.1.7 D.1.9
【解析】60名初、高中生每天睡眠时间的平均数为 （小时），
60名初、高中生每天睡眠时间的方差为
.
故估计该地区中学生睡眠时间的总体方差为1.9.
分层随机抽样的平均数与方差
设样本中不同层的平均数分别为，， ，，方差分别为，， ， ，相
应的权重分别为，， ， ，则这个样本的平均数为
,方差为 .
【学会了吗丨变式题】
5.(2025·山东省济南市平阴县实验高级中学段考)某次趣味运动会，设置了教师足球
射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和
方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的
平均值为2，则女教师进球数的方差为( )
B
A.15 B.16 C.17 D.18
【解析】设参加射门比赛的男教师人数为 ，则全部参赛教师进球数的平均数为
，解得 ，即参赛的男女教师各有30人.设女教师进球数的方差
为，依题意可得，解得 .
题型4 频率分布直方图中集中趋势参数及百分位数的计算
图9.2.2-5
例19 (2025·陕西省咸阳市期中)文明城市是反映城市整体文
明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的
最大受益者，又是文明城市的主要创造者.某市为提高市民
对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，
从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩
（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
， ， ,得到如图9.2.2-5所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 的值及样本成绩的第80百分位数；
【解析】由题意可得 ，解得
.
由频率分布直方图可知，分数在80分以下的频率为 ，分
数在90分以下的频率为 ，
所以第80百分位数一定在 内，
.
设第80百分位数为，则 ，解得
.
故第80百分位数为86.
（2）根据频率分布直方图，估计样本成绩的平均数，中位数和众数；
【解析】样本成绩的平均数为
.
因为前四组的频率依次为，，， ，
所以样本成绩的中位数在 内，
.
设中位数为，则，解得 .
样本成绩的众数为 .
（3）已知落在内的平均成绩是55，方差是7，落在 内的平均成绩为67，
方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差 .
【解析】因为样本成绩在区间与内的频率之比为 ，
所以两组成绩合并后的平均数 ，
所以两组成绩合并后的方差 .
（1）由频率分布直方图所有小长方形的面积和为1，可求得 的值，再根
据百分位数的定义，可得答案；
（2）根据平均数、中位数以及众数估计值的公式，结合频率分布直方图，可得答案；
（3）根据两个分数段的频率可得其人数比例，结合分层随机抽样的平均数与方差的
计算，可得答案.
利用频率分布直方图求解集中趋势参数及百分位数的思路
名称 求解思路
平均数 用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积（即该小组的频率）的乘
积之和近似代替平均数.
中位数 根据中位数左边和右边的直方图的面积相等列式求中位数.
众数 可以用最高小矩形底边中点的横坐标来近似代替众数.
【学会了吗丨变式题】
图9.2.2-6
6.新情境 人工智能 ［多选题］(2025·江西省南昌
市模拟)很多学校已经推出基于 的人工智
能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、
关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应
用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领
域的深度融合与创新.某探究小组利用 解
答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得
ABD
A. B.估计准确率的分位数为
C.估计准确率的平均数为 D.估计准确率的中位数为
到如图9.2.2-6所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )
【解析】对于A选项，由频率分布直方图可得 ，解
得 ，A正确；
对于B选项，前两个矩形的面积之和为 ，所以估计准确率的
分位数为 ，B正确；
对于C选项，估计准确率的平均数为
，C错误；
对于D选项，设中位数为，前三个矩形的面积之和为 ，
所以，则，解得 ，
所以估计准确率的中位数为 ，D正确.
故选 .
考情揭秘
高考对本节知识的考查重点为对样本数字特征的含义的理解及计算，和对总体数字
特征的估计，考查学生运用图表整理数据、分析数据以及进行决策的能力.难度中等，
各类题型都会出现.
核心素养：数据分析（根据所给数据获取信息）、数学运算（根据所获信息计算数
据的数字特征）、逻辑推理（根据数字特征的意义进行推理）.
考向1 基于数字特征进行考查
1 数字特征的含义
例20 (全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩
时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9
个原始评分相比,不变的数字特征是( )
A
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
【解析】设9位评委的评分按从小到大排列为，，，， ，， .则原始
中位数为,去掉最低分,最高分后剩余，，， ，,中位数仍为 ,故A
正确；平均数受极端值影响较大,故前后平均数不一定相同,B不正确,C显然也不正确；
原极差,后来极差 ,显然极差可能变小,D不正确.
命题 探源 本题取材于教材第209页【练习】第3题，有着很强的现实意义，在实际操作 中经常使用，因此要把握每一个数字特征的含义， 如中位数不受极端值的影响，而平均数会受极端值影响（极差当然也会受到 极端值的影响），与其相关的方差当然也会受到影响，这就是比赛中经常要 去掉最高分和最低分的原因. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 计算数字特征.
逻辑推理 根据数字特征的意义进行推理.
变式探源 [多选题](新高考全国Ⅱ卷)下列统计量中可用于度量样本，， ，
离散程度的有( )
AC
A.，， ，的标准差 B.，， ， 的中位数
C.，， ，的极差 D.，， ， 的平均数
【解析】平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势，方差、标准差和极
差均是度量样本数据离散程度的数字特征.故选 .
2 两组数据数字特征的比较
例21 ［多选题］（新课标Ⅰ卷） 有一组样本数据，， ，，其中 是最小
值， 是最大值，则( )
BD
A.，，，的平均数等于，， ， 的平均数
B.，，，的中位数等于，， ， 的中位数
C.，，，的标准差不小于，， ， 的标准差
D.，，，的极差不大于，， ， 的极差
【解析】取，，，则，，， 的平均数等
于2，标准差为0，，， ，的平均数等于3，标准差为 ，故A，C均
不正确；
由于,,,大小未知，不妨将样本数据,, ,按从小到大依次排列为 ，
,,,,,则,,,的中位数为,极差为,,, , 的中位
数为,极差为,故中位数相等，极差 ,B,D正确.
3 样本数字特征的计（估）算
例22 (2024· 新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水
稻，得到各块稻田的亩产量（单位: ）并整理得下表:
亩产量
频数 6 12 18
亩产量
频数 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
C
A.100块稻田亩产量的中位数小于
B.100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过
C.100块稻田亩产量的极差介于至 之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于至 之间
【解析】对于A,根据频数分布表可知, ,所以亩产量的中位数不
小于 ,A错误；
对于B，亩产量不低于的频数为，所以低于 的稻田占
比为 ，B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为 ，
C正确；
对于D，由频数分布表可得，亩产量的平均值为
，
D错误.（【另解】由表知，亩产量小于1 000的数据远少于大于1 000的数据，所以
100块稻田亩产量的平均值大于 ，所以D不正确）
命题 探源 考题与教材第215页【练习】第3题非常相似，以频数分布表为载体，考查 对数据数字特征的计算. 素养 探源 素养 考查途径
数据分析 频数分布表的数据整理、分析.
数学运算 对数字特征的计算.
变式探源 (2023·全国甲卷节选)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只
小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白
鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只
小白鼠体重的增加量（单位： ）.试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）计算试验组数据的平均数；
【解析】试验组数据的平均数为 .
（2）求40只小白鼠体重的增加量的中位数.
【解析】将40个数据按照从小到大的顺序依次排列，得最中间的两个数据即第20个
和第21个数据分别为23.2和 ，则40只小白鼠体重的增加量的中位数为
.
考向2 总体数字特征的估计
例23 (2024·上海改编)为了解某地初中学生体育锻炼时长，从该地区29 000名学生中
随机抽取580人，得到日均体育锻炼时长（单位：小时）的数据如表所示:
日均体育锻炼时长/小时 [1.5,2） [2,2.5]
人数 139 191 179 43 28
（1）该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少
【解析】抽取的样本中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数为
，
则该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为
.
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时）.
【解析】抽取的580人中，日均体育锻炼时长为 （小时）.
所以估计该地区初中学生日均体育锻炼时长为0.9小时.
命题探源 考题与教材第205页例4都是先对样本的数字特征进行计算，进而估计总 体的数字特征. 素养探源 素养 考查途径
数据分析 频数分布表的数据整理、分析.
数学运算 样本数字特征的计算，并估计总体.
图9.2.2-7
变式探源 (全国甲卷)为了解某地农村经济情况，
对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家
庭年收入的调查数据整理得到如图9.2.2-7所示的频
率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
C
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【解析】对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比率约
为 ，故A正确；
对于B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为
，故B正确；
对于C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为
（万元），故C错误；
（【小妙招】由于C难以计算，可以在判断选项A，B，D后，利用排除法得到答案
为C）
对于D,根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率
约为 ，故D正确.
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·江西省抚州市期末)某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名
学生的数学成绩（单位：分，满分100分），并将他们的成绩制成如下所示的表格．
组别 成绩 60 65 70 75 80 85 90
人数 3 2 3 5 4 2 1
下列结论正确的是( )
AB
A.这20人数学成绩的众数为75 B.组8位同学数学成绩的方差为
C.这20人数学成绩的平均数为75 D.这20人数学成绩的第25百分位数为65
【解析】对于A，人中，75分出现的次数最多， 这20人数学成绩的众数为75，
A正确；
对于B，组8位同学数学成绩的平均数为, 方差
,B正确；
对于C，这20人数学成绩的平均数
,C错误；
对于D，， 这20人数学成绩的第25百分位数为 ，D错误．
2.[多选题](2025·广东省广州市第六中学模拟)已知一组样本数据,, ,
的方差 ，则( )
AC
A.这组样本数据的总和等于100
B.这组样本数据的中位数一定为2
C.数据，， ，的标准差为
D.现有一组新的样本数据,, ,, ，该组样本数据的极差比原样
本数据的极差大
【解析】对于A，因为方差，故 ，所以这组样本数据的总和
等于100，故A正确.
对于B，根据均值无法求出中位数，故B错误.
对于C，数据，， ，的方差为 ，故其标准差为
，故C正确.
对于D，新样本数据的极差为 ，故新的样
本数据的极差比原样本数据的极差小，故D错误.故选 .
知识测评
04
建议时间：25分钟
1.新情境 幸福感指数 (2025·河北省石家庄市第二中学期末)“幸福感指数”是指某个人
主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间 内的一个数来
表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福感
指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是( )
C
A.7 B.7.5 C.8 D.9
【解析】该组数据从小到大排列为5,5,6,7,8,9,且 ,所以这组数据的第80
百分位数是8.
图9.2.2-1
2.某时间段公路上车速的频率分布直方图如图9.2.2-1所
示，则( )
D
A.
B.车速的众数估计值是70
C.车速的平均数估计值大于其中位数的估计值
D.车速的中位数估计值是62.5
【解析】对于A，由，得 ，A错误；
对于B，车速在 内的频率最大，车速的众数估计值是65，B错误；
对于C，车速的平均数为 ，设车速的
中位数为，则，，解得， ,C
错误，D正确.
图9.2.2-2
3.(全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及
社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效
果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲
座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问
卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问
卷答题的正确率如图9.2.2-2，则( )
B
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【解析】对于A，讲座前问卷答题的正确率的中位数是 ，所以A错误；
对于B，讲座后问卷答题的正确率分别是，，，，， ，
，，，，其平均数显然大于 ，所以B正确；
对于C，由题图可知，讲座前问卷答题的正确率波动较大，讲座后问卷答题的正确率
波动较小，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的
标准差，所以C错误；
对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差是 ，讲座后问卷答题的
正确率的极差是 ，所以讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲
座后问卷答题的正确率的极差，所以D错误.
（【巧方法】结合题目所给的散点图对数据特征进行直观判断，简单易行，本题中
若对标准差进行严格计算较为烦琐，且容易出错）
图9.2.2-3
4.[多选题](2025·江苏省南通市期末)甲、乙
两名射击运动员在某次测试中各射击20次，
两人测试成绩的条形图如图9.2.2-3所示，
则( )
AD
A.甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数
B.甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数
C.甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数
D.甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差
【解析】由题图可得甲运动员测试成绩的中位数为8，众数为8，
平均数为 ，
方差为 ；
乙运动员测试成绩的中位数为8，众数为8，
平均数为 ，
方差为 .
所以甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数，A正确；
甲运动员测试成绩的众数等于乙运动员测试成绩的众数，B错误；
甲运动员测试成绩的平均数等于乙运动员测试成绩的平均数，C错误；
甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差，D正确．
5.[多选题]某运动队共有8名运动员，教练为直观了解运动员的训练效果，统计了近
几个月测试成绩的平均分和标准差，得到如图9.2.2-4所示的统计图，则( )
AD
图9.2.2-4
A.1号和2号运动员比较，1号竞技水平较
高，且2号成绩较稳定
B.3号和4号运动员比较，3号竞技水平较
高，且4号成绩较稳定
C.5号和6号运动员的竞技水平都低于整体
平均水平，且6号成绩波动较大
D.7号和8号运动员的竞技水平都低于整体
平均水平，且8号成绩波动较大
【解析】对于A，由统计图可知，1号运动员成绩的平均分和标准差均高于2号运动
员，则1号竞技水平较高，且2号成绩较稳定，故A正确;
对于B，由统计图可知，3号运动员成绩的平均分和4号运动员成绩的平均分相同，则
3号和4号运动员竞技水平一样，故B错误;
对于C，由统计图可知，5号运动员成绩的标准差高于6号运动员成绩的标准差，则5
号成绩波动较大，故C错误;
对于D，由统计图可知，7号和8号运动员成绩的平均分均低于整体平均分，8号运动
员成绩的标准差高于7号运动员成绩的标准差，故7号和8号运动员的竞技水平都低于
整体平均水平，8号成绩波动较大，故D正确．
6.(2025·上海南汇中学月考)一组数据按从小到大的顺序排列为2，4， ，12，16，17，
若该组数据的中位数是极差的 ，则该组数据的第40百分位数是___.
6
【解析】由题意知该组数据的极差为，中位数为 ，所以
，解得，又 ，所以该组数据的第40百分位数
是该组数据的第三个数6.
7.(2025·四川省成都市期末)已知一组数据，， ， 的方差为4，若数据
，， ，的方差为36，则 的值为_______.
3或
【解析】记数据，， ，的方差为 ，
数据，， ，的方差为 ，
则 ,
所以或 .
8.从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测
试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：
甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6
乙 10 9 8 6 8 7 9 7 8 8
（1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；
【答案】根据题中所给数据，可得甲命中环数的平均数为
，
乙命中环数的平均数为 ，
甲命中环数的标准差为
，
乙命中环数的标准差为
，
故甲的平均数为8，标准差为，乙的平均数为8，标准差为 .
（2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．
【答案】，且， 甲、乙的平均成绩相同且乙的成绩较为稳定，
故选择乙参加射箭比赛．
高考模拟
05
建议时间：30分钟
9.(2025·广东实验中学月考)若某同学连续三次考试的名次（第一名记为1,第二名记为
2,以此类推且可以有名次相同的情况）均不超过3,则称该同学为班级的尖子生.根据
甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据,推断一定不是尖子生的是
( )
D
A.甲同学:平均数为2,中位数为2 B.乙同学:平均数为2，方差小于1
C.丙同学:中位数为2,众数为2 D.丁同学:众数为2，方差大于1
【解析】甲同学名次数据的平均数为2,说明名次之和为6,又中位数为2,得出三次考试
名次均不超过3,断定甲是尖子生;
乙同学名次数据的平均数为2,说明名次之和为6,又方差小于1,得出三次考试名次均不
超过3,断定乙是尖子生;
丙同学名次数据的中位数为2,众数为2,说明三次考试中至少有两次名次为2,故丙可能
是尖子生;
丁同学名次数据的众数为2,方差大于1，说明某两次名次为2,设另一次名次为 ,经验
证,当,2,3时,方差均小于1,故 ,断定丁一定不是尖子生.
10.(2025·江苏省南京师范大学附属中学期初)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的
频率分别为,,,,且 ,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大
的一组是( )
B
A., B.,
C., D.,
【解析】 对于A，当, 时，平均数
,方差 .
对于B,当, 时，平均数
，方差 .
对于C，当, 时，平均数
，方差 .
对于D，当, 时,平均数
，方差 .所以B中的标准差最大.
A组数据绝大部分都在平均数左右,数据最集中,方差最小；而B组数据的两
端频率较大,说明数据偏离平均数远,最分散,其方差最大，所以标准差也最大.故选B.
11.新考法 新定义题 ［多选题］为了解决传统的 人脸识别方法中存在的问题，科
学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统．规定：某区域内
的个点的深度的均值为，标准偏差为 ，
深度 的点视为孤立点．则根据下表中某区域内8个点的数据，有
( )
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.4 15.4 13.4
15.1 14.2 14.3 14.4 14.5 15.4 14.4 15.4
20 12 13 15 16 14 12 18
ABD
A. B. C.是孤立点 D. 不是孤立点
【解析】深度的均值为
，所以选项A正确；
标准偏差为 ，所以选项
B正确；
因为，，所以, 都不是孤立点，
选项C错误,D正确．故选 ．
12.(2025·浙江省金华曙光中学期中)某班40名学生成立了,两个数学兴趣小组， 组
10人，组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中， 组的平均成绩
为130分，方差为115， 组的平均成绩为110分，方差为215．则在这次测试中全班学
生成绩的方差为_____．
265
【解析】依题意，，， ，
全班学生的平均成绩 （分），
全班学生成绩的方差为
.
13.某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们
的竞赛成绩（满分：100分），按，， 分成五
组，得到如图9.2.2-5所示的频率分布直方图．
图9.2.2-5
（1）估计本次竞赛成绩的平均分为_____分.（同一组中的数据用该组区间的中点值
作代表）
75.4
【解析】根据题意可得 ，解得
.
所以估计本次竞赛成绩的平均分为
（分）.
（2）该校准备对本次竞赛中分数位于前 的学生颁发荣誉证书，试问获得荣誉证
书的学生分数不低于____分.
86
【解析】由频率分布直方图可得,最后一组的频率为 ，后两组的频
率之和为，设获得荣誉证书的学生分数不低于 ,则
，，解得 ，故获得荣誉证书的学生
分数不低于86分．
14.高一（3）班有男同学25名，女同学20名．在一次语文测验中，男同学得分的平
均数是82分，中位数是76分，方差是8，女同学得分的平均数是86.5分，中位数是84
分,方差是2.
（1）求这次测验全班成绩的平均数；
【答案】这次测验全班成绩的平均数为 （分）.
（2）估计全班成绩不超过84分的同学至少有多少人；
【答案】因为男同学得分的中位数是76分，所以至少有13名男同学的得分不超过76
分．又女同学得分的中位数是84分，所以至少有10名女同学的得分不超过84分．所
以全班至少有23人的得分不超过84分．
（3）分析男同学得分的平均数与中位数相差较大的主要原因；
【答案】男同学得分的平均数与中位数相差较大，说明男同学中得分的两极分化现
象严重，高分和低分相差较大．
（4）求这次测验全班成绩的方差．
【答案】全班成绩的方差 .
15.(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10
次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲
工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工
艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为, ，试验结果如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记,,, ,的样本平均数为，样本方差为 .
（1）求， .
【答案】由题意，求出 的值如表所示，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 6 8 15 11 19 18 20 12
则 ，
.
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是
否有显著提高（如果 ,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处
理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
【答案】因为， ，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率
有显著提高.
谢谢观看
人教A版数学必修第二册