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第四单元 比例
第10课时 用正比例解决问题
小学数学·六年级（下）·人教版
教学目标
1.学生能正确判断实际问题中的两种量是否成正比例关系，掌握用正比例解决问题的步骤与方法，并能准确列式求解。
2.经历“阅读理解—分析解答—回顾反思”的过程，学会从实际问题中抽象出正比例模型，提升分析、推理与建模能力。
3.感受数学与生活、科技的紧密联系，体会比例的实用价值，激发学习兴趣，培养严谨的数学思维。
教学重难点
1.教学重点
判断实际问题中的正比例关系，掌握用正比例解决问题的方法。
2.教学难点
从实际问题中提炼出“比值一定”的数量关系，建立正比例方程。
目 录
课堂导入
01
教学过程
02
课堂练习
03
课堂小结
04
课堂导入
01
我们已经学习了正比例的意义，谁能说说两种量成正比例需要满足什么条件？
需要满足两个条件：
（1）两种相关联的量。
（2）比值一定。
教学过程
02
（一）探究例题，建立模型。
张阿姨家上个月用了 8 t 水，水费是 40 元。李奶奶家上个月用了 10 t水，李奶奶家上个月的水费是多少？
我们已经学习了正比例的意义，谁能说说两种量成正比例需要满足什么条件？
张阿姨家8吨水40元，李奶奶家10吨水，求李奶奶家的水费。
要解决这个问题，我们先分析数量关系。水费和用水吨数这两种量，它们的比值是什么？
张阿姨家上个月用了 8 t 水，水费是 40 元。李奶奶家上个月用了 10 t水，李奶奶家上个月的水费是多少？
水费 ÷ 用水吨数 = 每吨水的价钱，这个价钱是不变的。
水费 和 用水吨数成正比例关系。
既然成正比例，那两家的水费和用水吨数的比值就相等。我们可以设李奶奶家的水费为x元，列出比例式。
张阿姨家上个月用了 8 t 水，水费是 40 元。李奶奶家上个月用了 10 t水，李奶奶家上个月的水费是多少？
=
解：设李奶奶家的水费为x元。
张阿姨家上个月用了 8 t 水，水费是 40 元。李奶奶家上个月用了 10 t水，李奶奶家上个月的水费是多少？
=
解：设李奶奶家的水费为x元。
8x=40×10
8x=400
x=50
答：李奶奶家上个月的水费是50元。
（二）变式练习，深化理解。
现在我们看一个变式问题：王爷爷家上个月的水费是60元，他家上个月用了多少吨水？
解：设用水x吨。
40：8=60：x。
40x=8×60
x=480÷40
x=12
答：他家上个月用了12吨水。
这道题和刚才的例题有什么相同点和不同点？
相同点：是每吨水的价钱不变，都成正比例；
不同点：是例题求水费，这道题求用水吨数。
只要两种量成正比例，不管是求前项还是后项，都可以用比例式来解决。
（三）拓展应用，巩固方法。
同一时间、同一地点，小兰的身高1.5m，影长2.4m；一棵树的影长4m，求树高。
这里什么量是不变的？
身高和影长的比值是不变的，也就是同一时间的“影长倍数”不变，所以身高和影长成正比例。
教材61页“练习十一”第3题。
同一时间、同一地点，小兰的身高1.5m，影长2.4m；一棵树的影长4m，求树高。
解：设树高为x米。
1.5:2.4=x:4
2.4x=1.5×4
x=1.5×42.4
x=2.5
答：树高是2.5米。
教材61页“练习十一”第3题。
课堂练习
03
1.判断下面两种量是否成正比例，并说明理由。
（1）单价一定，总价和数量。
（2）速度一定，路程和时间。
（3）身高和体重。
成正比例（总价÷数量=单价，比值一定）
成正比例（路程÷时间=速度，比值一定）
不成正比例（比值不一定）
2.小明买3支钢笔花了18元，买5支同样的钢笔需要多少元？
解：设需要x元。
18:3=x:5
3x=18×5
x=30
答：买5支同样的钢笔需要30元。
3.一辆汽车3小时行驶180km，照这样的速度，行驶300km需要多少小时？
解：设行驶300km需要x小时。
180:3=300:x
180x=3×300
x=5
答：行驶300km需要5小时。
4.同一时间，一根2m长的竹竿影长3m，旁边一座楼房的影长是24m，求楼房的高度。
解：设楼房的高度xm。
2:3=x:24
3x=2×24
x=16
答：楼房的高度是16m。
课堂小结
04
解决正比例问题的步骤：
1. 判断：两种量是否成正比例（比值一定）;
2. 设：设未知量为x;
3. 列：根据比值相等列出比例式40:8=x:10 。
4. 解：根据比例的基本性质解方程;
5. 验：检验结果是否合理.
本节课你有哪些收获？
课程结束，谢谢参与！
第四单元 比例第四单元 第10课时 用正比例解决实际问题 教学设计
一、教材分析（核心素养视角）
本节课是在学生学习了正比例的意义后，将比例知识应用于实际问题的关键一课。
数感与量感：通过分析水费、影长、行程等问题中的数量关系，学生能深化对“比值一定”的理解，建立“单价、速度”等不变量与比例关系的关联。
符号意识：用字母表示未知量，通过正比例关系式 建立方程，培养抽象的数学表达能力。
推理意识：经历“判断比例关系→建立比例方程→求解验证”的过程，发展从实际问题中提炼数学模型的演绎推理能力。
应用意识：结合水费、影长、航天、行程等生活与科技场景，体会正比例在解决实际问题中的广泛应用，提升用数学知识解决问题的能力。
模型观念：构建“正比例关系→数学模型→实际应用”的思维路径，理解“比值一定”的问题都可以用正比例模型解决。
二、教学目标
1.学生能正确判断实际问题中的两种量是否成正比例关系，掌握用正比例解决问题的步骤与方法，并能准确列式求解。
2.经历“阅读理解—分析解答—回顾反思”的过程，学会从实际问题中抽象出正比例模型，提升分析、推理与建模能力。
3.感受数学与生活、科技的紧密联系，体会比例的实用价值，激发学习兴趣，培养严谨的数学思维。
三、教学重难点
重点：判断实际问题中的正比例关系，掌握用正比例解决问题的方法。
难点：从实际问题中提炼出“比值一定”的数量关系，建立正比例方程。
四、教学准备
教师：多媒体课件（含教材例题、练习图片、生活实例）、实物投影。
学生：练习本、铅笔、直尺。
五、课堂导入
导入内容
教师提问：“我们已经学习了正比例的意义，谁能说说两种量成正比例需要满足什么条件？”
学生回答后，教师出示情境：“张阿姨家上个月用了8吨水，水费40元；李奶奶家用了10吨水。你能想到什么数学问题？”
引导学生提出问题：“李奶奶家上个月的水费是多少元？”，并顺势导入：“今天我们就来学习如何用正比例知识解决这类实际问题。”
【设计意图：
从旧知回顾入手，结合生活情境提出问题，既激活了学生的已有知识，又明确了本节课的学习目标，为新课学习做好铺垫。】
六、教学过程
环节1：探究例题，建立模型
师：我们先来看张阿姨和李奶奶的水费问题。请大家先读题，说说你知道了什么，要解决什么问题。
生1：张阿姨家8吨水40元，李奶奶家10吨水，求李奶奶家的水费。
师：要解决这个问题，我们先分析数量关系。水费和用水吨数这两种量，它们的比值是什么？
生2：水费 ÷ 用水吨数 = 每吨水的价钱，这个价钱是不变的。
师：所以水费和用水吨数成什么比例关系？
生：成正比例关系。
师：既然成正比例，那两家的水费和用水吨数的比值就相等。我们可以设李奶奶家的水费为元，列出比例式：
谁来说说这个比例式表示什么意思？
生3：左边是张阿姨家每吨水的价钱，右边是李奶奶家每吨水的价钱，因为单价不变，所以相等。
师：接下来我们解这个比例。根据比例的基本性质，内项积等于外项积，得到：
所以李奶奶家的水费是50元。我们也可以用以前的方法验证：先算每吨水元，再算10吨水元，结果一致。
【设计意图：通过分析例题中的数量关系，引导学生建立正比例模型，对比算术方法与比例方法，深化对“比值一定”的理解，掌握用正比例解决问题的步骤。】
环节2：变式练习，深化理解
师：现在我们看一个变式问题：王爷爷家上个月的水费是60元，他家上个月用了多少吨水？
生4：还是每吨水的价钱不变，水费和用水吨数成正比例。设用水吨，比例式是。
师：非常好！解这个比例：
所以王爷爷家用了12吨水。大家思考一下，这道题和刚才的例题有什么相同点和不同点？
生5：相同点是每吨水的价钱不变，都成正比例；不同点是例题求水费，这道题求用水吨数。
师：对，只要两种量成正比例，不管是求前项还是后项，都可以用比例式来解决。
【设计意图：通过逆向变式，让学生进一步巩固正比例模型的应用，体会“比值一定”的问题中，已知其中三个量就能求第四个量。】
环节3：拓展应用，巩固方法
师：我们再来看生活中的其他例子。比如同一时间、同一地点，小兰的身高1.5m，影长2.4m；一棵树的影长4m，求树高。这里什么量是不变的？
生6：身高和影长的比值是不变的，也就是同一时间的“影长倍数”不变，所以身高和影长成正比例。
师：设树高为米，列出比例式：
解这个比例：
所以树高是2.5米。
【设计意图：结合影长问题，让学生体会正比例在不同场景中的应用，进一步熟练“判断比例关系→建立方程→求解”的流程。】
环节4：自主实践，提升能力
师：请大家独立完成教材中的另外两道题：
中国空间站绕地球6周需9小时，运行15周需要多长时间？
货车2小时行驶160km，按此速度行驶400km需要多少小时？
（学生独立解答，教师巡视指导，选取学生作品展示讲解。）
【设计意图：通过自主练习，让学生独立应用正比例模型解决问题，提升自主分析与解题能力。】
七、课堂练习
1.判断下面两种量是否成正比例，并说明理由。
（1）单价一定，总价和数量。
（2）速度一定，路程和时间。
（3）身高和体重。
2.小明买3支钢笔花了18元，买5支同样的钢笔需要多少元？（用比例解）
3.一辆汽车3小时行驶180km，照这样的速度，行驶300km需要多少小时？（用比例解）
4.同一时间，一根2m长的竹竿影长3m，旁边一座楼房的影长是24m，求楼房的高度。（用比例解）
参考答案
1.（1）成正比例（总价÷数量=单价，比值一定）；（2）成正比例（路程÷时间=速度，比值一定）；（3）不成正比例（比值不一定）
2.设需要元，，解得元
3.设需要小时，，解得小时
4.设楼房高米，，解得米
【设计意图：
第1题：巩固正比例的判断方法，夯实基础。
第2-4题：强化用正比例解决实际问题的步骤，提升应用能力。】
八、课堂小结
师：今天这节课，我们学习了用正比例解决实际问题。谁来总结一下解题步骤？
生7：首先判断两种量是否成正比例，然后设未知数，列出比例式，最后解比例并验证。
师：非常准确！我们要记住，只要两种量的比值一定，就可以用正比例关系来解决问题。希望大家能把今天学到的方法运用到生活中，解决更多实际问题。
九、课后作业布置
必做题：完成《同步练习》中“用正比例解决实际问题”的相关习题。
选做题：观察生活中还有哪些成正比例的量，尝试用比例知识编写一道应用题并解答。
十、板书设计
用正比例解决实际问题
步骤：
1. 判断：两种量是否成正比例（比值一定）
2. 设：设未知量为x
3. 列：根据比值相等列出比例式
4. 解：根据比例的基本性质解方程
5. 验：检验结果是否合理
示例：
水费问题： → x=50
影长问题： → x=2.5第四单元 第10课时 用正比例解决问题 同步练习
一、填空。
1.森林是“地球之肺”，是人类的健康卫士。据测算，一块4.5公顷的森林每天产生氧气2.7 t。照这样计算，一块18公顷的森林每天能产生氧气多少吨？
（1）“照这样计算”说明（ ）一定。
（2）因为（ ）一定，所以（ ）和（ ）成（ ）比例关系。
（3）用比例知识解答。
解：设一块18公顷的森林每天能产生氧气t，
列比例得：。
2.小明买6本练习本花了15元，小红买9本同样的练习本，要花多少钱？
（1）题目中两种相关联的量是（ ）和（ ）。
（2）根据“买9本同样的练习本”可知，练习本的（ ）一定，也就是说两人买练习本的总价与相对应的数量的（ ）一定，所以这两种相关联的量成（ ）比例关系。
（3）设要花元，列出比例：（ ）。
二、选择。
1.一根钢筋，如果截成3段要用12分钟，那么照这个速度，截成6段，要用分钟，正确的方程式为 （ ）
A. B.
C. D.
2.小明和同学带着测量工具准备测量一栋大楼的高度。当他站在楼下时，同学量得他的影长为2.4 m，同时量得大楼的影长为36 m。已知小明身高160 cm，则大楼高（ ）m。
A.2.4 B.24 C.5.4 D.54
三、解决问题。
1.一根旗杆高8米，影子长4米. 同一时间测得附近一棵大树影子长10米，求这棵大树的高度。
2.一个晒盐场用500千克海水可以晒15千克盐，照这样计算，用100吨海水可以晒多少吨盐？
3.某工程队修一条路，15天共修900米，还剩下720米没有修。照这样的速度，修完这条公路共需要多少天？
4.食堂里有一堆煤，原计划每天烧90千克，可以烧30天，实际3天烧了225千克，照这样的速度，这堆煤能烧多少天？
5.一个修路队修了一段公路，前6天修了360米，照这样的速度，又用了14天刚好把这条路修完，这条公路的全长是多少米？
6.小明从家出发，9分钟走了450m，他家离学校有5km，照这样计算，到学校还需要多少分钟？
第四单元 第10课时 用正比例解决问题 同步练习
一、填空。
1.森林是“地球之肺”，是人类的健康卫士。据测算，一块4.5公顷的森林每天产生氧气2.7 t。照这样计算，一块18公顷的森林每天能产生氧气多少吨？
（1）“照这样计算”说明（ ）一定。
答案：每公顷森林每天产生的氧气量
详解：“照这样计算”指按照固定的单产量计算，即每公顷森林每天产氧量不变。
（2）因为（ ）一定，所以（ ）和（ ）成（ ）比例关系。
答案：每公顷森林每天产生的氧气量；森林的公顷数；每天产生的氧气总量；正
详解：正比例判定：氧气总量森林公顷数每公顷产氧量（一定），比值一定，两个量成正比例关系。
（3）用比例知识解答。
解：设一块18公顷的森林每天能产生氧气t，
列比例得：。
答案：
详解：正比例关系中，两组对应量的比值相等，左边是4.5公顷对应2.7吨的比值，右边是18公顷对应吨的比值。
2.小明买6本练习本花了15元，小红买9本同样的练习本，要花多少钱？
（1）题目中两种相关联的量是（ ）和（ ）。
答案：数量；总价
详解：花的钱数（总价）随买的本数（数量）变化，二者是相关联的量。
（2）根据“买9本同样的练习本”可知，练习本的（ ）一定，也就是说两人买练习本的总价与相对应的数量的（ ）一定，所以这两种相关联的量成（ ）比例关系。
答案：单价；比值；正
详解：“同样的练习本”说明单价不变；总价数量单价（一定），比值一定，总价和数量成正比例。
（3）设要花元，列出比例：（ ）。
答案：
详解：单价不变，两组总价和数量的比值相等，左边是6本对应15元，右边是9本对应元。
二、选择。
1.一根钢筋，如果截成3段要用12分钟，那么照这个速度，截成6段，要用分钟，正确的方程式为 （ ）
A. B.
C. D.
答案：B
详解：截钢筋的次数=段数-1，截成3段需要截次，截成6段需要截次；
每次截的时间一定，截的时间和次数成正比例，因此比例为。
2.小明和同学带着测量工具准备测量一栋大楼的高度。当他站在楼下时，同学量得他的影长为2.4 m，同时量得大楼的影长为36 m。已知小明身高160 cm，则大楼高（ ）m。
A.2.4 B.24 C.5.4 D.54
答案：B
详解：同一时间，物体高度和影长成正比例，先统一单位：160cm=1.6m；
设大楼高米，列比例，解得米。
三、解决问题。
1.一根旗杆高8米，影子长4米. 同一时间测得附近一棵大树影子长10米，求这棵大树的高度。
解答：同一时间，物体高度和影长成正比例。
解：设这棵大树的高度为米。
答：这棵大树的高度为20米。
2.一个晒盐场用500千克海水可以晒15千克盐，照这样计算，用100吨海水可以晒多少吨盐？
解答：海水质量和晒出盐的质量成正比例（含盐率一定），统一单位：100吨=100000千克。
解：设用100吨海水可以晒吨盐（也可统一用千克计算，结果换算为吨）。
答：用100吨海水可以晒3吨盐。
3.某工程队修一条路，15天共修900米，还剩下720米没有修。照这样的速度，修完这条公路共需要多少天？
解答：修路的速度一定，修路的总米数和天数成正比例。
解：设修完这条公路共需要天，公路总长米。
答：修完这条公路共需要27天。
4.食堂里有一堆煤，原计划每天烧90千克，可以烧30天，实际3天烧了225千克，照这样的速度，这堆煤能烧多少天？
解答：实际每天烧煤量一定，煤的总质量和烧的天数成正比例，先求煤的总质量：千克。
解：设这堆煤能烧天，实际每天烧煤：千克。
答：这堆煤能烧36天。
5.一个修路队修了一段公路，前6天修了360米，照这样的速度，又用了14天刚好把这条路修完，这条公路的全长是多少米？
解答：修路速度一定，修路的米数和天数成正比例，总修路天数天。
解：设这条公路的全长是米。
答：这条公路的全长是1200米。
6.小明从家出发，9分钟走了450m，他家离学校有5km，照这样计算，到学校还需要多少分钟？
解答：小明行走速度一定，路程和时间成正比例，统一单位：5km=5000m，已走450m，剩余路程m。
解：设到学校还需要分钟。
答：到学校还需要91分钟。
