第三章 图形的平移与旋转
3.1 图形的平移
第3课时 坐标系中的点沿x轴、y轴的两次平移
【素养目标】
1.能准确描述点在平面直角坐标系中经过两次平移后，坐标的变化规律．
2.能正反推导两次平移的方向和距离，培养“正向计算”与“逆向推理”的双向运算能力．
3.在探究规律的过程中，感受数学的严谨性与规律性，激发对坐标几何的兴趣．
重点：掌握点两次平移后坐标的变化规律．
难点：理解平移顺序不影响最终结果，突破“正向计算易、逆向推理难”的思维转换．
【复习导入】
在坐标系中，将坐标作如下变化时，图形将怎样变化？
1. (x，y) → (x，y＋4)
2. (x，y) → (x，y－2)
3. (x，y) → (x－1，y)
4. (x，y) → (x＋3，y)
思考：(x，y) → (x－3，y＋4)
A ( x，y ) 向左平移 3 个单位 ___________ 向上平移 4 个单位 ___________
A 经过两次平移到 C，能否经过一次平移到 C 呢？
【合作探究】
探究点：坐标系中图形的两次平移
[合作探究]
问1：A 点先向下平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度得到 A′ ，你能找到 A′ 的位置吗？
问2：(1)你还能想到其他的平移方式吗？
(2) A 点能否通过一次平移到达 A′ 点的位置？若能，请指出平移方向和距离？
问3：观察 A 点和 A' 点的坐标，有何变化？
[合作探究]
先将图中的“鱼”F 向下平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，得到新“鱼”F'.
(1) 在图所示的平面直角坐标系中画出“鱼”F'.
(2) 能否将“鱼”F' 看成是“鱼”F 经过一次平移得到的？
如果能，请指出平移的方向和平移的距离，并与同伴交流.
(3) 在“鱼”F 和“鱼”F' 中，对应点的坐标之间有什么关系？
[尝试·思考]
先将图中的“鱼”F 的每个“顶点”的横坐标分别加 2，纵坐标不变，得到“鱼”G；再将“鱼”G 的每个“顶点”的纵坐标分别加 3，横坐标不变，得到“鱼”H. “鱼”H 与原来的“鱼”F 相比有什么变化？
“鱼”F 各 “顶点”坐标 (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (4,-2)
“鱼”G 各“顶点”坐标
“鱼”H 各“顶点”坐标
问题：能否将“鱼”H 看成是“鱼”F 经过一次平移得到的？与同伴交流.
[归纳总结]
一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什么变化？它们对应点的坐标之间有怎样的关系？
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移 a 个单位长度，向上平移 b 个单位长度
向右平移 a 个单位长度，向下平移 b 个单位长度
向左平移 a 个单位长度，向上平移 b 个单位长度
向左平移 a 个单位长度，向下平移 b 个单位长度
一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.
[典例精析]
例1 四边形 ABCD 各顶点的坐标分别为 A (－3,5) ，B (－4,3)，C (－1,1)，D (－1,4)，将四边形ABCD 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度，得到四边形 A′B′C′D′.
(1) 四边形 A′B′C′D′ 与四边形ABCD 对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点 A′，B′，C′，D′ 的坐标.
(2) 如果四边形 A′B′C′D′ 看成是由四边形 ABCD 经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离.
[练一练]
1. 将点 A(3，2) 向上平移 2 个单位长度，向左平移 4 个单位长度得到 A1，则 A1 的坐标为 .
2. 在平面直角坐标系中，将点 A(1，－2) 向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 A′，则点 A′ 的坐标是 ( )
A. (－1，1) B. (－1，－2) C. (－1，2) D. (1，2)
3. 如图，A，B 的坐标为 (2，0)，(0，1)，若将线段 AB 平移至 A1B1，则 a＋b 的值为 ( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
当堂反馈
1.点P是由点Q(－3，5)先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到的，则点P的坐标是( )
A.(2，2) B.(－2，8)
C.(－2，2) D.(－6，10)
2.点M(3，－1)经过平移得到点N，点N的坐标为(2，1)，
那么平移方式是 .
3.如图，△ABC经过平移得到△DEF，其中A(－2，4)平移到D(2，2)，则B(a，b)平移后的对应点E的坐标是 .
4.在平面直角坐标系中，点P(a＋4，b＋8)先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度后落在第三象限，则点Q(a，b)在第 象限.
5.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，再将△A1B1C1向下平移4个单位长度得到△A2B2C2，请画出△A1B1C1和△A2B2C2，并写出点C2的坐标.
参考答案
【复习导入】
1.向上平移 4 个单位
2.向下平移 2 个单位
3.向左平移 1 个单位
4.向右平移 3 个单位
思考：B (x－3，y) C (x－3，y＋4)
【合作探究】
探究点：坐标系中图形的两次平移
[合作探究]
问3：A(2，1) A'(5，－1)
[合作探究]
(2) 平移方向是点 O(0，0) 到 点A(3，-2) 的方向，平移距离是 OA＝ .
(3) 横坐标加 3，纵坐标减 2.
[尝试·思考]
问题：结论：1. 形状、大小相同，只是位置改变 ，先向右平移了 2 个单位长度，再向上平移了 3 个单位长度.
2. 可以将“鱼”H 看成是“鱼”F 经过一次平移得到的，平移方向是点 (0,0) 到点 (2,3) 的方向，平移距离是 .
[归纳总结](x＋a , y＋b) (x＋a , y－b) (x－a , y＋b) (x－a , y－b)
[典例精析]
例1 (1) 解：四边形 A′B′C′D′ 与四边形 ABCD 对应点的横坐标分别增加了 4，纵坐标分别增加了 3，
A′ (1，8)，B′ (0，6)，C′ (3，4)，D′ (3，7).
(2) 解：平移方向是 A 到 A′，
如图所示；平移距离是 AA' 的长，由勾股定理得 AA' = 5.
[练一练] 1.(－1，4) 2. A 3. A
当堂反馈
1. A
2.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度(或先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度) .
3. (a＋4，b－2) .
4. 三 .
5.解：如图所示，点C2的坐标为(1，－3).第三章 图形的平移与旋转
3.1 图形的平移
第1课时 平移的认识及性质
【素养目标】
1.通过实例了解平移的概念，通过观察、分析理解并掌握平移的性质，培养学生的抽象概括能力和推理意识．
2.能按要求作出平移后的图形，会找出平移前后图形中的对应点、对应角和对应线段，发展空间观念和几何直观．
重点：掌握平移的性质．
难点：利用平移的性质进行作图或计算．
【复习导入】
上面反映的是日常生活中物体运动的一些场景. 你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流.
【合作探究】
探究点一：平移的相关概念
平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
思考：三角形的形状、大小、位置在运动前后是否发生了变化？
如图，平移 △ABC，得到 △A′B′C′. 分析两个图形中的对应关系.
判断：下面几组图形运动是不是平移？
[练一练]
1. 下列现象中不属于平移的是 ( )
A. 滑雪运动员在平坦的雪地上滑雪
B. 火车在一段笔直的铁轨上行驶
C. 高楼的电梯在上上下下
D. 时针的旋转
探究点二：平移的性质
操作：在纸上画出四边形ABCD，再把四边形ABCD按某一方向平移一段距离得到四边形EFGH．
(1) 在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有怎样的关系？
(2) 在图中任意选一组对应角，这两个角之间有怎样的关系？
(3) 线段 AE，BF，CG，DH 分别是对应点所连成的线段，它们之间有怎样的关系？
改变硬纸片的形状，再试一试，并与同伴交流.
归纳总结：平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．
例1 如图，将三角形 ABC 沿着 BC 方向平移至三角形 DEF 处. 若 EC = 2BE = 4，则 CF 的长为 .
[练一练]
2.如图所示，将三角形 ABC 沿 BC 方向平移 2 cm，得到三角形 DEF，若三角形 ABC 的周长为 16 cm，则四边形 ABFD 的周长为 .
探究点三：简单的平移作图
操作：如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1.点D和△ABC的顶点都在格点上，平移△ABC，使点A落在点D，点B对应点是点E，点C对应点是点F．
思考1：点A如何平移到点D的？
思考2：怎么快速的画出平移后的图形？
例2 如图，经过平移，△ABC 的顶点 A 移到了点 D.
(1) 指出平移的方向和平移的距离；
(2) 画出平移后的三角形.
提问：请在图中找出平行且相等的线段，以及相等的角.
提问：你还有画 △DEF 的其他方法吗？与同伴交流.
思考：确定一个图形平移后的位置，需要哪些条件？
当堂反馈
1.下列生活中的各个现象，属于平移变换现象的是（ ）
A．拉开抽屉 B．用放大镜看文字
C．时钟上分针的运动 D．你和平面镜中的像
2.下面各组中的两个图形，把一个图形经过平移后可以和另一个图形重合的是（ ）
A B C D
3.如图，将线段AB向右平移2 cm，得到线段CD，连接AC，BD，BC．下列线段中长度为2 cm的是（ ）
A．AB B．CD
C．AC D．BC
4.如图，在△ABC中，BC＝6，∠A＝90°，∠B＝40°.把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置.若CF＝2，则下列结论中错误的是( )
A.BE＝2 B.∠F＝50°
C.AB∥DE D.DF＝6
第4题图
5.如图，将长为4 cm的线段AB向右平移5 cm得到线段CD，那么四边形ABDC的周长是 cm.
6.如图，在边长为1的正方形网格中，平移△ABC，使点A平移到点D.
(1)画出平移后的△DEF；
(2)△ABC的面积为 .
参考答案
【合作探究】
探究点一：平移的相关概念
思考：形状不变，大小不变，位置改变
判断：答案：× × √ ×
[练一练]1. D
探究点二：平移的性质
操作：(1) AB∥EF，且 AB = EF.
(2) ∠ABC = ∠EFG，对应角相等.
(3) 对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等.
归纳总结：平移的性质
例1 2
[练一练]2. 20 cm
探究点三：简单的平移作图
操作：
思考1：可以先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度或先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度．
思考2：将点B和点C按照点A的方式移动得到点E和点F，再连接DE，EF，DF即可．
例2 解：(1) 如图，连接 AD，平移的方向是点 A 到点 D 的方向，平移的距离是线段 AD 的长度.
(2) 如图，分别过点 B，C 按射线 AD 的方向作线段
BE，CF，使得它们与线段 AD 平行且相等，连接 DE，DF，EF，
△DEF 就是 △ABC 平移后的图形.
提问：对应边：AB、DE；AC、DF；BC、EF
对应角：∠BAC、∠EDF；∠ABC、∠DEF；∠ACB 、∠DFE
提问：答：如图，过点 D 按射线 AB 的方向做线段 DE 平行且等于AB；过点 D 按射线 AC 的方向做线段 DF 平行且等于 AC；连接 EF.
△DEF 就是 △ABC 平移后的图形.
思考：确定一个图形平移后位置，除需要原来的位置外，
还需要平移的方向和平移的距离.
当堂反馈
1.A 2.D 3.C 4.D 5. 18
6.解：(1)如图所示.
(2) 7 第三章 图形的平移与旋转
3.1 图形的平移
第 2 课时 坐标系中的点沿x轴、y轴的一次平移
【素养目标】
1.复习并巩固平移的性质及简单的平移作图．
2.理解并掌握根据坐标表示图形平移的规律，判断图形的平移路径，培养综合应用能力，发展逆向逻辑思维．
重点：掌握用坐标表示点的平移的规律．
难点：能够根据平移的性质解决点的坐标平移变化问题．
【复习导入】
问题1：你还记得什么叫平移吗？
问题2：图形平移的性质是什么？
思考：你会下象棋吗 如果下一步想“馬走日”或“象走田”应该走到哪里呢？你知道吗？
【合作探究】
探究点：沿x轴、y轴中图形的平移
问题1：在直角坐标系中描出以下各点：（0，0），（5，4），（3，0），
（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）并用线段依次连接，看一看是什么图案.
将这条“鱼”向右平移 5 个单位长度.
(1) 画出平移后的新“鱼”.
(2) 在图中尽量多选取几组对应点，并将它们的坐标填入下表：
原来的“鱼” (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (4,-2) (x,y)
向右平移 5 个单位长度后的“鱼”
(3) 你发现对应点的坐标之间有什么关系？
问题2：如果将原来的“鱼”向左平移 4 个单位长度呢？
请你先想一想，然后再具体做一做.
则坐标变化为：
原来的“鱼” (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (4,-2) (x,y)
向左平移 4 个单位长度后的“鱼”
想一想：你发现对应点的坐标之间有什么关系？
[归纳总结]
原图形向左 (右) 平移 a (a＞0) 个单位长度：
问题3：如果将图中的“鱼”向上平移 3 个单位长度，
那么平移前后的两条“鱼”中，对应点的坐标之间有什么关系？
则坐标变化为：
原来的“鱼” (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (4,-2) (x,y)
向上平移 3 个单位长度后的“鱼”
想一想：你发现对应点的坐标之间有什么关系？
问题4：如果将图中的“鱼”向下平移 2 个单位长度呢？
那么平移前后的两条“鱼”中，对应点的坐标之间有什么关系？
则坐标变化为：
原来的“鱼” (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (4,-2) (x,y)
向上平移 3 个单位长度后的“鱼”
想一想：你发现对应点的坐标之间有什么关系？
[归纳总结]
原图形向上 (下) 平移 b (b＞0) 个单位长度：
[尝试思考]
(1) 将图中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别加 3，再将得到的点用线段依次连接起来，从而画出一条新“鱼”， 这条新“鱼”与原来的“鱼”相比有什么变化？
追问1：如果纵坐标保持不变，横坐标分别减 2 呢？
(2) 将图中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别加 3，所得到的新“鱼”与原来的“鱼”相比又有什么变化？
追问2：如果横坐标保持不变，纵坐标分别减 2 呢？
[思考·交流]
在平面直角坐标系中，一个图形沿 x 轴方向平移 a (a > 0) 个单位长度后的图形与原图形对应点的坐标之间有什么关系？如果图形沿 y 轴方向平移 a (a > 0) 个单位长度呢？
平移方向 平移距离 对应点的坐标
沿 x 轴方向 向右平移 a 个单位长度 (a>0)
向左平移
沿 y 轴方向 向上平移
向下平移
[典例精析]
例1 平面直角坐标系中，将点 A (－3，－5)向上平移 4 个单位，再向左平移 3 个单位到点 B，则点 B 的坐标为 ( )
A. (1，－8) B. (1，－2) C. (－6，－1) D. (0，－1)
[练一练]
1. 将点 A(3，2) 向上平移 2 个单位长度，得到 A1，则 A1 的坐标为 .
2. 将点 A(3，2) 向左平移 4 个单位长度，得到 A2，则A2 的坐标为 .
3. 点 A1(6，3) 是由点A(－2，3)经过 得到的，
点 B(4，3) 经过 得 到 B1(4，1).
4. 将点 P (m + 1，n－2) 向上平移 3 个单位长度，得到点 Q (2，1－n)，
则点 A (m，n) 坐标为_________.
当堂反馈
1.在平面直角坐标系中，点P(－2，3)向右平移3个单位长度后的坐标为( )
A.(3，6) B.(1，3)
C.(1，6) D.(6，6)
2.将点M(－1，1)向下平移3个单位长度得到点N，则点N所处的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.将平面直角坐标系中的点P(a－2，2a＋1)向左平移1个单位长度后位于第二象限，则a的取值范围是( )
A.0＜a＜2 B.－＜a＜1
C.－＜a＜2 D.－＜a＜3
4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，3)，将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为 .
5.线段CD是由线段AB平移得到的，若点A(3，2)的对应点为C(3，5)，
则点B(－3，0)的对应点D的坐标为 .
参考答案
【复习导入】
问题1：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
问题2：1. 新图形与原图形形状和大小不变，但位置改变；
2. 对应点的连线平行 (或在同一条直线上) 且相等.
【合作探究】
问题1：鱼
(1) 1. 作出点平移后的对应点.
2. 连接对应点，所得图形即为所求平移图形.
(2) (5,0) (10,4) (8,0) (10,1) (10,-1) (9,-2) (x+5,y)
(3) 纵坐标没变，横坐标分别增加了 5.
问题2：(－4,0) (1,4) (－1,0) (1,1)
(1,－1) (0,－2 ) (x－1,y)
纵坐标没变，横坐标分别减少了 4.
问题3：(0,3) (5,7) (3,3) (5,4)
(5,2) (4,1) (x,y+3)
横坐标没变，纵坐标分别增加了 3；
问题4：
(0,－2) (5,2) (3,－2) (5,－1)
(5,－3) (4,－5) (x,y－2)
横坐标没变，纵坐标分别减少了 2.
[尝试思考]
(1) 新“鱼”与原来的“鱼”相比，形状、大小相同，
只是位置发生了变化：向右平移了 3 个单位长.
追问1：形状、大小相同，只是位置发生了变化：
向左平移 2 个单位
(2) 形状、大小相同，
只是位置发生了变化：
向上平移 3 个单位
追问2：
形状、大小相同，
只是位置发生了变化：
向下平移 2 个单位
[思考·交流](x + a, y) (x－a, y) (x, y + a) (x, y－a)
[典例精析] 例1 C
[练一练] 1. (3，4) 2. (－1，2)
3. 向右平移 8 个单位长度 向下平移 2 个单位长度
4. (1，0)
当堂反馈
1. B
2. C
3. D
4. (－1，3)
5. (－3，3).
