第三章 图形的平移与旋转
3.2 图形的旋转
第 1 课时 旋转的定义和性质
【素养目标】
1.掌握旋转的概念，了解旋转中心、旋转角、旋转方向、对应点的概念及其性质．
2.掌握旋转的性质，运用概念及性质解决一些实际问题．
3.学生在实验探究、知识应用等数学活动中，体验数学的生动与灵活，逐步学会用数学的眼光观察现实世界．
重点：旋转的概念和性质．
难点：探究旋转的性质及旋转性质的灵活运用．
【复习导入】
问题1：如图都是日常生活中物体的运动场景，这些物体的运动有什么共同特点？
问题2：这些物体在转动时，有没有一个固定不动的点？比如风车的叶片绕着哪个点转？钟表的指针绕着哪个点转？
【合作探究】
探究点一：旋转的概念
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
这个定点称为旋转中心.
转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
旋转不改变图形的形状和大小.
点 A 与点 D 是一组对应点，
线段 AB 与线段 DE 是一组对应线段，∠BAC 与∠EDF 是一组对应角.
旋转中心： .
旋转角： .
[典例精析]
例1 △ ABD 经过旋转后到△ACE 的位置.
(1)旋转中心是哪一点
(2)旋转了多少度？顺时针还是逆时针？
(3)如果 M 是 AB 的中点,经过上述旋转后，点 M 转到什么位置
[归纳总结]
确定一次图形的旋转时：
必须明确：旋转中心，旋转角，旋转方向
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心,旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换同样属于全等变换.
[练一练]
1.如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转的角度为 ( )
A. 30° B. 45° C. 90° D. 135°
[合作探究]
如图，两张透明纸上的四边形 ABCD 和四边形 EFGH 完全重合，在纸上选取旋转中心 O，并将其固定.把其中一张纸片绕点 O 旋转一定角度 (如图).
(1) 观察右图的两个四边形，你能发现有哪些相等的线段和相等的角？
(2) 连接 AO，BO，CO，DO，EO，FO，GO，HO，你又能发现有哪些相等的线段和相等的角？
(3) 在图中再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段，你又能发现什么？
画一画：改变透明纸上所画图形的形状，再试一试，并与同伴交流.
[知识要点]
旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；
对应线段相等，对应角相等.
[观察思考]
在图 (1) ~ (4) 的四个三角形中，哪个不能由 △ABC 经过平移或旋转得到？
[典例精析]
例2 如图，将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 α° 到△A1BC1 的位置，AB 与 A1C1 相交于点 D，AC 与 A1C1，BC1 分别交于点 E，F．
（1）求证：△BA1D≌△BCF；
（2）当∠C = α° 时，判定四边形 A1BCE 的形状，并说明理由．
[练一练]
2.如图，在 △ABC 中，∠B = 22°，∠ACB = 45°，AB = 6 cm，△ABC 逆时针旋转一定角度后与 △ ADE 重合，且点 C 恰好成为 AD 的中点.
(1) 指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2) 求 AE 的长。
当堂反馈
1.下面生活中的实例，不是旋转的是( )
A.传送带传送货物
B.螺旋桨的运动
C.风车风轮的运动
D.自行车车轮的运动
2.如图，将△ABC绕点A旋转之后得到△ADE，则下列结论不正确的是( )
A.BC＝DE B.∠E＝∠C
C.∠EAC＝∠BAD D.∠B＝∠E
第2题图
3.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD.若∠A＝3∠D＝120°，则∠α的度数是( )
A.50° B.60° C.40° D.30°
第3题图
4.如图，△ABC绕点C旋转到△DEC，在这个旋转过程中，旋转中心为 ，
旋转角是 .
第4题图
5.如图，一块等腰直角三角板ABC在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到三角形A′B′C的位置，使A，C，B′三点共线，那么旋转角的大小为 .
第5题图
6.如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转能与△CBP′重合.若PB＝2，求PP′的长度.
参考答案
【合作探究】
探究点一：旋转的概念
[典例精析]
例1解：(1)旋转中心是点 A；
(2)旋转了60°，逆时针；
(3)点 M 转到了 AC 的中点上.
[练一练]1.C
[合作探究]
(1) AB = EF，BC = FG，CD = GH，DA = HE；∠BAD =∠FEH，∠ABC =∠EFG ，
∠BCD =∠FGH，∠ADC =∠EHG
(2) AO = EO，BO = FO，CO = GO，DO = HO；
∠AOE =∠BOF =∠COG =∠DOH
(3)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角
[观察思考]
[典例精析]例2（1）证明：在等腰△ABC 中，AB = BC，∠A =∠C.
由旋转的性质，可得
A1B = AB = BC，∠A =∠A1 =∠C，∠A1BD =∠CBF .
在△BA1D 与△BCF 中，
∴△BA1D≌△BCF（ASA）.
（2）解：四边形 A1BCE 是菱形，理由如下：
∵∠FBC =∠C = α°，∠C =∠C1 = α°，
∴∠FBC =∠C1，A1C1∥BC.
∴∠C1EC =∠C.
又∵△ABC，△A1BC1 为等腰三角形，
∴∠A1 =∠C1 =∠C，∠A1 =∠C1EC.
∴ A1B∥CE.
∴ 四边形 A1BCE 是平行四边形.
又∵ A1B = BC，∴□ A1BCE 是菱形.
[练一练]
2.解 (1) ∵△ABC 逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合，
∴点 A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角.
∵点 C 在 AD上，∠B = 22°，∠ACB = 45°，
∴∠BAD = ∠BAC = 180°－∠B－∠ACB = 113°.
点 A 为旋转中心，旋转角的度数为 113°.
(2) 由旋转得AE = AC，AD = AB = 6 cm，
∵ 点 C 为 AD 的中点，
∴ AC = DC = AD = 3 cm.
∴ AE = 3cm.
∴ AE 的长是 3 cm .
当堂反馈
1.A 2.D 3.B
4.∠BCE(或∠ACD)
5. 135° .
6.解：由旋转可知∠ABP＝∠CBP′，BP＝BP′＝2.
∵∠ABC＝∠ABP＋∠PBC＝90°，
∴∠PBP′＝∠CBP′＋∠PBC＝90°.
∴PP′＝＝2.第三章 图形的平移与旋转
3.2 图形的旋转
第2课时 旋转作图
【素养目标】
1.复习旋转的概念与性质．
2.能够根据旋转的性质进行简单的旋转作图．
重点、难点：利用旋转的性质进行作图．
【复习导入】
回顾平移的特征：
回顾旋转的特征：
【合作探究】
探究点：旋转作图
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点为A（－2，2），B（0，5），C（0，2）．将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C．
问题1：旋转角是多少度？CA1和CB1的长度分别是多少？
问题2：怎么确定A1，B1位置？
[典例精析]
例1 如图，画出线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转 60° 后的线段．
[操作·交流]
如图，△ABC 绕点 O 按逆时针方向旋转后，顶点 A 旋转到了点 D.
(1) 指出这一旋转的旋转角.
(2) 画出旋转后的三角形.
思考：确定一个图形旋转后的位置，需要哪些条件
旋转作图的基本步骤：
（1）明确旋转三要素： 旋转中心、旋转方向和旋转角度.
（2）找出关键点；
（3）作出关键点的对应点；
（4）作出新图形；
[画一画]
画出△ABC 绕点 O 顺时针旋转 45° 的图形.
[合作探究]
如图，将△ABC 逆时针旋转得到△DEF，如何确定它们的旋转中心位置？
[典例精析]
例2 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是 A(0，1)，B(1，3)，
C(4，3).
(1) 将△ABC 平移得到△A1B1C1，且点 C1 的坐标是 (0，－1)，画出△A1B1C1；
(2) 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转90° 得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
(3) 小娟发现△A1B1C1 绕点 P 旋转也可以得到△A2B2C2，请直接写出点 P 的坐标.
[尝试·思考]
怎样将甲图案变成乙图案？
还可以用什么方法把甲图案变成乙图案？
[练一练]
1. 如图，将 △ABC 先向右平移 1 个单位，再绕点 P 按顺时针方向旋转 90° 得到 △A'B'C' 则点 B 的对应点 B' 的坐标是( )
A．(4，0)
B．(2，-2)
C．(4，-1)
D．(2，-3)
[归纳总结]
平移与旋转相同与不同点：
① 相同：
都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.
② 不同：
图形变换 运动方向 运动量的衡量
平移
旋转
[合作探究]
观察下列图案的变换过程，它们分别是改变旋转中的哪些要素旋转而成的？
(1) _________不变，______改变，产生不同的旋转效果.
(2) _______不变，________改变，产生不同的旋转效果.
2. 如图，正方形 ABCD 和正方形 CDEF 有公共边 CD，请设计方案，使正方形 ABCD 旋转后能与正方形 CDEF 重合，你能写出几种方案？
当堂反馈
1.下列图形变换中，不是旋转变换的是( )
2.下列四张扑克牌图案中，旋转180°后能与原来图案重合的是( )
3.如图，△ABC和△BED都是等边三角形，则图中△ABE绕点 至少旋转 °能够与△CBD重合.
第3题图
4.如图，该图形围绕点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为 °.
第4题图
5.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2，C2的坐标.
参考答案
【合作探究】
探究点：旋转作图
问题1：180° CA1=CA=2，CB1=CB=3.
问题2：在AC的延长线上，截取CA1=2；在BC的延长线上，截取CB1=3.再连接A1B1，即可画出△A1B1C．
[典例精析]
例1
作法：(1) 如图，以 AB 为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX = 60°.
(2) 在射线 AX 上取点 C，使得 AC = AB. 线段 AC 为所求.
[操作·交流]
旋转角为∠AOD
思考：旋转中心和旋转角
[画一画]
1. 连 OA ；
2. 画 ∠AOA′ = 45°；
3. 在射线 OA′ 上截取 OA′ = OA；
4. 同理可作点 B′、C′，△A′B′C′ 即为所求.
[合作探究]
答：如图，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 O ，即为旋转中心.
[典例精析]
例2 P的坐标为(－4，1)
[尝试·思考]
可以在甲、乙两图案上找两组对应点所连线段的垂直平分线的交点作为旋转中心，一步旋转得到．还可以先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，然后，再沿AB方向将所得图案平移到B点位置，即可得到乙图案．
[练一练]1. C
[归纳总结]
② 某一直线方向 移动一定的距离
顺时针或逆时针 转动一定的角度
[合作探究](1) 旋转中心 旋转角
(2) 旋转角 旋转中心
2. 解：方案一：把正方形 ABCD 绕点 D，顺时针旋转 90°.
方案二：把正方形 ABCD 绕点 C，逆时针旋转 90°.
方案三：把正方形 ABCD 绕 CD 的中点 O 旋转 180°.
当堂反馈
1. D
2. B
3. B 60
4. 72 °.
5.解：(1)如图所示.
(2)如图所示，B2(4，－2)，C2(1，－3).第三章 图形的平移与旋转
3.2 图形的旋转
第 3 课时 中心对称
【素养目标】
1.理解并掌握中心对称及中心对称图形的概念及性质．
2.能够根据中心对称及中心对称图形的性质进行作图．
3.在发现、探究的过程中会用直观想象分析、归纳、概括抽象的思维，完成对中心对称变换从直观到抽象、感性认识到理性认识的转变．
重点：理解并掌握中心对称及中心对称图形的概念及性质．
难点：能够根据中心对称及中心对称图形的性质进行作图．
【情境导入】
魔术时间
桌上有四张牌，其中一张牌旋转 180° 后牌面图案没有发生变化，你很快能猜出是哪一张吗？
观察下图，图 (1) 经过怎样的运动变化就可以与图 (2) 重合？观察右图，再试一试. 你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流.
【合作探究】
探究点1：中心对称的概念及性质
问题1 观察下列图形的运动，说一说它们有什么共同点.
[知识要点]
如果把一个图形绕着某一点旋转 180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作它们的对称中心.
“两个图形关于一个点对称”可以简称为“两个图形成中心对称”.
△ABC 与△A′B′C′ 成中心对称
[尝试·思考]
(1) 自己画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转 180°.
(2) 连接旋转前后一组对应点，你发现了什么？再选几组对应点试一试，并与同伴交流.
问题：(1) 对应点到旋转中心的距离是否相等？
(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角是否等于旋转角？
(3) 旋转前、后的图形全等？
(4) 和一般旋转的区别是什么？
[知识要点]
中心对称的性质
1. 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心（即对称点与对称中心三点共线），且被对称中心平分.
2. 成中心对称的两个图形是全等形.
[典例精析]
例1 如图，已知四边形 ABCD 和点 O，试画出四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称的图形 A'B'C'D'.
[练一练]
1. 如图，已知 △ABC 与 △A′B′C′ 中心对称，找出它们的对称中心 O.
[典例精析]
例2 如图，已知△AOB 与△DOC 成中心对称，△AOB 的面积是 12，AB＝3，则△DOC 中 CD 边上的高为____.
[归纳总结]
中心对称与轴对称的异同
轴 对 称 中心对称
1
2
3
探究点2：中心对称图形
[典例精析]
例3 如图，点 O 是线段 AE 的中点，以点 O 为对称中心，画出与五边形 ABCDE 成中心对称的图形.
[观察·交流]
观察图，这些图形有什么共同特征 你还能举出一些类似的图形吗
把一个图形绕某一个定点旋转 180°，如果旋转后的图形能和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心.
[观察·思考]
(1) 在你所学过的平面图形中，哪些图形是中心对称图形？(2) 在上面例题中，图形 ABCDEB'C'D' 是中心对称图形吗？
(2) 在上面例题中，图形 ABCDEB'C'D' 是中心对称图形吗？
[典例精析]
例4 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD 和 BC 于点 E、F，AB = 2，BC = 3，则图中阴影部分的面积为____.
当堂反馈
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
2.把下列每个字母O，L，Y，M，P，I，C都看成一个图形，那么中心对称图形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是( )
A.∠ABC＝∠A′B′C′
B.∠BOC＝∠B′A′C′
C.AB＝A′B′
D.OC＝OC′
4.如图所示的图形为中心对称图形，点O为它的对称中心，写出一组关于点O的对称点是 .
第4题图
5.在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于原点O成中心对称.若点A的坐标为(－2，4)，则点A的对应点A′的坐标为 .
6.如图是一个中心对称图形，A为对称中心.若∠C＝90°，∠B＝45°，AC＝2，
则BB′＝ .
第6题图
参考答案
【情境导入】
第三张牌旋转 180° 后牌面图案没有发生变化
【合作探究】
探究点1：中心对称的概念及性质
问题：(1) 对应点到旋转中心的距离是否相等？
OA = OA′、OB = OB′、OC = OC′. 相等.
(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角是否等于旋转角？
∠AOA′ = ∠BOB′ = ∠COC′ = 180°. 相等.
(3) 旋转前、后的图形全等？
△ABC≌△A′B′C′. 全等.
(4) 和一般旋转的区别是什么？
线段 AA′、BB′、CC′ 相交于点 O，并且点 O 是中点.
[典例精析]例1
作法：
1. 连接 AO 并延长到 A'，使 OA' = OA；
2. 同法，可作出点 B，C，D 的对应点 B'，C'，D'；
3. 顺次连接 A'，B'，C'，D'，则四边形 A'B'C'D' 即为所作.
[练一练] 1. 解法1：根据观察，B、B′ 应是对应点，连接 BB′，用刻度尺找出 BB′ 的中点 O，则点 O 即为所求（如图）.
解法2：根据观察，B、B′ 及 C、C′ 应是两组对应点，连接 BB′、CC′，BB′、CC′ 相交于点 O，则点 O 即为所求（如图）.
[典例精析]例2 8
[归纳总结]
探究点2：中心对称图形
[典例精析]
例3 解：如图，连接 BO 并延长至 B'，使得 OB' = OB；连接 CO 并延长至 C'，使得OC' = OC；连接 DO 并延长至 D'，使得OD' = OD；
顺次连接 E，B'，C'，D'，A.
图形 EB'C'D'A 就是以点 O 为对称中心、
与五边形 ABCDE 成中心对称的图形.
[典例精析]
例4 3
当堂反馈
1. C
2. B
3. B
4. 点A与点C(或点B与点D) .
5. (2，－4) .
6. 4 .
