第十章第3节　电势差与电场强度的关系学案（教师版）--《创新课堂》人教版必修三

第3节　电势差与电场强度的关系
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1．掌握公式UAB＝Ed的推导过程，理解公式的含义，知道公式的适用条件。
2．理解电场强度的另一种表述。
3．能够应用UAB＝Ed或E＝解决有关问题。
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
一、电势差与电场强度
1．关系式：UAB＝________。
2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于________________与这两点______________________的乘积。
3．适用条件
(1)________电场。
(2)d为两点沿________________的距离。
二、公式E＝的意义
1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的________与这两点____________________________之比。
2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿________方向________________上降低的电势。
3．电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即__________，符号为V/m。1 V/m＝1 N/C。
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判断下列说法是否正确。
(1)公式U＝Ed适用于所有电场。(　　)
(2)由U＝Ed可知，匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比。(　　)
(3)匀强电场的电场强度值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值。(　　)
(4)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于电场强度与这两点间距离的乘积。(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
[答案自填] Ed　电场强度　沿电场方向的距离　匀强　电场方向　电势差　沿电场强度方向的距离　电场　单位距离　伏每米
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知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
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如图所示的是一个匀强电场，电场强度大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间相距为d。现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
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(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功。
(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系。
(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？
[提示]　(1)WAB＝Fd＝qEd　WAB＝qUAB
(2)UAB＝Ed　(3)UAC＝Ed
1．公式E＝及UAB＝Ed的适用条件都是匀强电场。
2．由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。式中d不是两点间的距离，而是沿电场方向的距离。
3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
4．电场强度与电势都是用比值定义的物理量，它们都仅由电场本身性质决定，根据公式E＝不能得出电场强度和电势有直接关系，即电场强度大的点电势不一定高，电势高的点电场强度不一定大。
角度1　对E＝的理解
INCLUDEPICTURE "例1.TIF" INCLUDEPICTURE "例1.TIF" \* MERGEFORMAT 　下列说法正确的是(　　)
A．由公式E＝得，电场强度E与电势差UAB成正比，与两点间距离d成反比
B．由公式E＝得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积
D．公式E＝只适用匀强电场
[解析]　公式E＝只适用于匀强电场，E与电势差和两点间的距离无关，故A错误，D正确；在匀强电场中，电场强度处处相等，故B错误；在匀强电场中，两点间电势差等于电场强度与两点间沿电场线方向距离的乘积，故C错误。
[答案]　D
角度2　E＝的应用
INCLUDEPICTURE "例2.TIF" INCLUDEPICTURE "例2.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·广东江门联考期中)某匀强电场的等势面分布如图所示，每相邻两等势面相距2 cm，该匀强电场的电场强度大小和方向分别为(　　)
INCLUDEPICTURE "CX-25.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-25.TIF" \* MERGEFORMAT
A．E＝10 V/m，竖直向下
B．E＝100 V/m，竖直向上
C．E＝100 V/m，水平向左
D．E＝10 V/m，水平向左
[解析]　根据匀强电场电场强度的表达式可知该匀强电场电场强度的大小E＝＝V/m＝100 V/m，电场强度的方向与等势面垂直，由高电势指向低电势，所以电场方向为水平向左。
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例3.TIF" INCLUDEPICTURE "例3.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·广东中山联考)如图所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面。现将电荷量为1×10－8 C的正点电荷从A点移到B点，静电力做功为3×10－6 J，将另一电荷量为1×10－8 C的负点电荷从A点移到C点，克服静电力做功为3×10－6 J。若AB边长为2 cm，求：
INCLUDEPICTURE "CX-26.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-26.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)AB间的电势差UAB；
(2)AC间的电势差UAC；
(3)电场强度的大小和方向。
[解析]　(1)根据电势差的定义式可得AB间的电势差UAB＝＝ V＝300 V。
(2)根据电势差的定义式可得AC间的电势差UAC＝＝ V＝300 V。
(3)根据BC间的电势差等于0，可知BC为等势线，则电场强度的方向沿BC中垂线由A指向BC中点，电场强度E＝＝ V/m＝1×104 V/m。
[答案]　(1)300 V　(2)300 V　(3)1×104 V/m　沿BC中垂线由A指向BC中点
知识点二　非匀强电场中E＝的定性分析
1．定性分析
在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析问题，由UAB＝Ed可以得出结论。
在等差等势面中等势面越密的地方电场强度就越大，如图甲所示。再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故UabINCLUDEPICTURE "CD37.TIF" INCLUDEPICTURE "CD37.TIF" \* MERGEFORMAT
2．三点妙用
(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。
(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低。
(3)利用φ－x图线的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝＝＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
INCLUDEPICTURE "例4.TIF" INCLUDEPICTURE "例4.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·浙江高二统考学业考试)如图所示的是一点电荷的电场，其中实线箭头表示电场线，三条虚直线等间距，AB＝BC＝BD＝DE，那么以下说法成立的是(　　)
INCLUDEPICTURE "CX-27.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-27.TIF" \* MERGEFORMAT
A．该场源电荷为正电荷
B．电势φA>φB
C．UED＝UDB
D．一个电子从E点运动到B点，电势能减少
[解析]　由电场线的方向和疏密程度可判断该场源电荷为负电荷，根据沿电场线方向，电势降低可知φA>φB，故A错误，B正确；由题图可知ED[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例5.TIF" INCLUDEPICTURE "例5.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2024·安徽六安期中)平时我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为100 V/m的电场，可将其视为匀强电场。在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示，空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高，则下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "CX-28.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-28.TIF" \* MERGEFORMAT
A.b、c两点的电势差为－100 V
B．a点场强大小大于100 V/m
C．a点场强方向水平向右
D．a点的电势低于c点
[解析]　由题图可知φb＝200 V，φc＝300 V，则b、c两点的电势差Ubc＝200 V－300 V＝－100 V，故A正确；由题图可知，a点与相邻两等势面的距离小于1 m，电势差等于100 V，根据E＝，可知a点场强大小大于100 V/m，故B正确；根据场强方向垂直于等势面，可知a点的场强方向沿竖直方向，不是水平方向，故C错误；由题图可知，a点与c点在同一等势面上，电势均为300 V，故D错误。
[答案]　AB
INCLUDEPICTURE "例6.TIF" INCLUDEPICTURE "例6.TIF" \* MERGEFORMAT 　一电子只在静电力作用下沿＋x方向运动，其所在位置处的电势φ随位置x变化的图线如图中抛物线所示，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "25WLT74.TIF" INCLUDEPICTURE "25WLT74.TIF" \* MERGEFORMAT
A．x1与x3处的电场方向相同
B．从x1运动到x2，电场力对电子做正功
C．电子在x1处的速率小于在x3处的速率
D．电子从x2运动到x3，加速度逐渐减小
[解析]　根据电势变化可知，x1的电场方向沿x轴正方向，x3处的电场方向沿x轴负方向，A错误；从x1运动到x2，电势降低，电子的电势能增大，故电场力对电子做负功，B错误；电子运动过程中仅有电场力做功，故电子的电势能与动能的总和不变，电子在x1处的电势能大于在x3处的电势能，故电子在x1处的速率小于在x3处的速率，C正确；由图线的斜率变化可知，电子从x2运动到x3，加速度逐渐增大，D错误。
[答案]　C
知识点三　“等分法”求解匀强电场的电场强度
1．方法介绍
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。
2．两个结论
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。
INCLUDEPICTURE "CD39.TIF" INCLUDEPICTURE "CD39.TIF" \* MERGEFORMAT
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。
INCLUDEPICTURE "例7.TIF" INCLUDEPICTURE "例7.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2024·四川成都石室中学期中)如图所示，A、B、C、D为一匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点，其中AB＝4 cm，AC＝4 cm，电场线与矩形所在平面平行。已知将电荷量为2.0×10－9 C的负电荷从A点移到B点，静电力做功8.0×10－9 J；将这个电荷从B点移到C点电势能增加了ΔEpBC＝3.2×10－8 J。设A点电势为零，则(　　)
INCLUDEPICTURE "CX-31.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-31.TIF" \* MERGEFORMAT
A．B点的电势为－4 V
B．若将该电荷从A点移到D点，该电荷电势能增加1.6×10－8 J
C．匀强电场的电场强度大小为200 V/m
D．匀强电场的电场强度方向沿BC连线由C指向B
[解析]　由W＝q(φA－φB)可得 φB＝4 V，
INCLUDEPICTURE "CX-32.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-32.TIF" \* MERGEFORMAT
故A错误；由ΔEpBC＝qφC－qφB可得φC＝－12 V，在匀强电场中的一条直线或者两条平行线上距离相等的点之间的电势差相等，电势差之比等于距离之比，所以有φA－φC＝φB－φD，可得φD＝－8 V，所以若将该电荷从A点移到D点，该电荷电势能增加ΔEpAD＝qφD－qφA＝1.6×10－8 J，故B正确；如图所示，将BC四等分，由UBC＝φB－φC＝16 V，可知UBO＝4 V，即O点电势为零，AO为等势面，且BC＝＝8 cm，cos ∠OBA＝，BO＝＝2 cm，由几何关系可知AO⊥BC，则电场强度大小E＝＝ V/cm＝200 V/m，匀强电场的电场强度方向沿BC连线由B指向C，故C正确，D错误。
[答案]　BC
INCLUDEPICTURE "例8.TIF" INCLUDEPICTURE "例8.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P51第3题】如图所示，在匀强电场中，将电荷量为－6×10－6 C的点电荷从电场中的A点移到B点，静电力做了－2.4×10－5 J的功，再从B点移到C点，静电力做了1.2×10－5 J的功。已知电场的方向与△ABC所在的平面平行。
INCLUDEPICTURE "CX-29.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-29.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差UBC分别为多少？
(2)如果规定B点的电势为0，则A点和C点的电势分别为多少？
(3)请在图中画出过B点的电场线方向，并说明理由。
[解析]　(1)A、B两点间的电势差UAB＝＝ V＝4 V
B、C两点间的电势差UBC＝ V＝－2 V。
(2)因为UAB＝φA－φB，UBC＝φB－φC，而φB＝0
所以φA＝4 V，φC＝2 V。
(3)由于匀强电场中沿电场线方向电势均匀变化，所以A、B连线中点的电势为2 V，连接该中点与C点即为等势线。电场线与等势线垂直且指向电势低的等势线，因此过B点的电场线方向如图所示。
INCLUDEPICTURE "CX-30.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-30.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案]　(1)4 V　－2 V　(2)4 V　2 V
(3)见解析
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．(非匀强电场中E＝的定性分析)(2024·天津实验中学段考)如图所示的同心圆是电场中的一簇等差等势线，一个电子只在静电力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "CD45.TIF" INCLUDEPICTURE "CD45.TIF" \* MERGEFORMAT
A．电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越小
B．电子沿AC方向运动时它具有的电势能越来越大
C．电势差UAB＝UBC
D．电势φA<φB<φC
解析：选B。由等势线分布和电子速度变化可知该电场为负点电荷的电场，电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越大，A错误；根据电子只在静电力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，B正确；由于该电场为非匀强电场，根据U＝Ed知平均电场强度EABφB>φC，D错误。
2．(“等分法”求解匀强电场的电场强度)a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势分别为φa＝10 V、φb＝2 V、φc＝6 V，a、b、c三点所在平面与电场方向平行，下列各图中电场强度的方向表示正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "CD46.TIF" INCLUDEPICTURE "CD46.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选D。由于是匀强电场，因此a、b连线的中点与c点电势相等，电场强度的方向垂直于等势面且由高电势处指向低电势处，D正确。
3．(匀强电场中电势差与电场强度的关系)
INCLUDEPICTURE "YBW22.TIF" INCLUDEPICTURE "YBW22.TIF" \* MERGEFORMAT
如图所示，空间中存在平行于三角形ABC所在平面的匀强电场。已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm。将一电荷量q＝＋1×10－5C的电荷从A点移到B点，电场力做功为0.从B点移到C点，电场力做功为－×10－3J，则(　　)
A．将该电荷从B点移到C点，其电势能减小
B．A点的电势高于B点的电势
C．该匀强电场的场强大小为1 000 V/m，方向垂直于AB斜向下
D．将该电荷从A点移到C点，电场力做功为×10－3J
解析：选C。将该电荷从B点移到C点，电场力做负功，其电势能增大，故A错误；匀强电场中，将一电荷从A点移到B点，电场力做功为0，则AB是一条等势线，A点的电势等于B点的电势，故B错误；将一正电荷从B点移到C点，其电势能增大，则φC>φB，且AB是一条等势线，匀强电场的方向垂直于AB斜向下，根据题意UBC＝＝－100 V，匀强电场中E＝＝1 000 V/m，故C正确；A点和B点的电势相等，故将该电荷从A点移到C点，电场力做功也为－×10－3 J，故D错误。
4．(E＝的应用)(2024·云南文山联考)如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，ab＝5 cm，bc＝10 cm，其中ab沿电场线方向，bc和电场线方向成60°角，一个电荷量q＝4×10－7 C的正电荷从a移到b静电力做功W1＝1.6×10－7 J。求：
INCLUDEPICTURE "CX-33.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-33.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)匀强电场的场强大小E；
(2)电荷从b移到c，静电力做的功W2；
(3)a、c两点间的电势差Uac。
解析：(1)匀强电场的场强大小E＝＝＝8 N/C。
(2)电荷从b移到c，静电力做的功W2＝qE·dbccos 60°，代入数值可得W2＝1.6×10－7 J。
(3)a、c两点间的电势差Uac＝E(dab＋dbccos 60°)，代入数值可得Uac＝0.8 V。
答案：(1)8 N/C　(2)1.6×10－7 J　(3)0.8 V