第十章专题提升课4　带电体在电场中运动的综合问题学案（教师版）--《创新课堂》人教版必修三

专题提升课4　带电体在电场中运动的综合问题
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "专题深度剖析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．粒子运动状态分析
在解决电场中粒子运动问题时，首先要对粒子的运动状态进行分析。根据题目的描述，判断粒子是在匀强电场中做直线运动，还是非匀强电场中做曲线运动。对于直线运动，要明确粒子初速度和加速度的方向；对于曲线运动，要确定粒子所受电场力的方向和初速度的方向。
2．牛顿第二定律的应用
对于粒子在电场中的运动问题，通常需要应用牛顿第二定律进行求解。通过分析粒子的受力情况，建立力和加速度的关系式，进而求解粒子的运动规律。
3．动能定理与功能关系
动能定理和功能关系是解决电场中粒子运动问题的重要工具。通过分析粒子的动能变化，结合力做功的情况，可以求解粒子的速度、位移等物理量。同时要掌握电场力做功与电势能变化的关系。
4．等效重力场的分析
解决电场(复合场)中的圆周运动问题，关键是分析向心力的来源，向心力有可能由重力和静电力的合力提供，也有可能由重力或静电力单独提供。有时可以把复合场中的圆周运动等效为竖直面内的圆周运动，找出等效“最高点”和“最低点”。
角度1　带电体在电场中的直线运动
INCLUDEPICTURE "例1.TIF" INCLUDEPICTURE "例1.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2024·华南师范大学附中期中)一质量为m的带电液滴以竖直向下的初速度v0进入某电场中，由于电场力和重力的作用，液滴沿竖直方向下落一段距离h后，速度变为0。已知重力加速度为g，在此过程中，以下判断正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "CX-75.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-75.TIF" \* MERGEFORMAT
A．液滴一定带负电
B．重力对液滴做的功为mv＋mgh
C．合外力对液滴做的功为－mv
D．液滴的机械能减少了mv＋mgh
[解析]　由于液滴沿竖直方向下落一段距离后速度变为0，表明液滴做减速运动，加速度方向向上，则电场力方向向上，电场力方向与电场强度方向相同，即液滴一定带正电，故A错误；根据功的定义式可知，重力做功WG＝mgh，故B错误；根据动能定理，合外力对液滴做的功W合＝0－mv＝－mv，故C正确；液滴下落过程，重力做正功，重力势能减小，液滴做减速运动，速度减小，动能减小，可知，机械能减小，且液滴的机械能减少了ΔE机＝mv＋mgh，故D正确。
[答案]　CD
角度2　带电体在电场中的类抛体运动
INCLUDEPICTURE "例2.TIF" INCLUDEPICTURE "例2.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°，不计重力。A、B两点间的电势差为(　　)
INCLUDEPICTURE "YBW90.TIF" INCLUDEPICTURE "YBW90.TIF" \* MERGEFORMAT
A． eq \f(mv,2q) 　　　　　　　　　 B． eq \f(mv,q)
C． eq \f(3mv,q) D． eq \f(2mv,q)
[解析]　粒子在运动过程中，垂直于电场方向的速度不变，设为vy，根据速度的合成与分解，在A点时sin 60°＝，在B点时sin 30°＝，解得vB＝v0，由A到B过程，根据动能定理有qUAB＝mv－mv，解得UAB＝ eq \f(mv,q) 。
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例3.TIF" INCLUDEPICTURE "例3.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，电荷量为－e、质量为m的电子从A点沿与电场垂直的方向进入匀强电场，初速度为v0，A、B间的水平距离为l, 当它通过电场中B点时，速度与电场强度方向成150°角，不计电子所受的重力，求：
INCLUDEPICTURE "CX-72.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-72.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)电子从A运动到B所用的时间；
(2)A、B两点间的电势差。
[解析]　(1)电子进入匀强电场后在电场力作用下做匀变速曲线运动。根据运动的分解可知，电子在水平方向上做匀速直线运动，则有l＝v0t
解得电子从A运动到B所用的时间
t＝。
(2)将在B点处的速度分解，如图所示
INCLUDEPICTURE "CX-73.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-73.TIF" \* MERGEFORMAT
则有v＝＝2v0
电子从A点运动到B点，由动能定理得
－eUAB＝mv2－mv
解得UAB＝－ eq \f(3mv,2e) 。
[答案]　(1)　(2) － eq \f(3mv,2e)
角度3　带电体在电场中的圆周运动
INCLUDEPICTURE "例4.TIF" INCLUDEPICTURE "例4.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)如图所示，空间内存在方向水平向右的匀强电场，一根长为L、不可伸长的绝缘细绳的一端连着一个质量为m、带电荷量为＋q的小球，另一端固定于O点。初始时细绳(张紧状态)与电场线平行，由静止释放小球，已知小球摆到最低点的另一侧时，细绳与竖直方向的最大夹角θ＝30°，重力加速度为g，则(　　)
INCLUDEPICTURE "CX-74.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-74.TIF" \* MERGEFORMAT
A．匀强电场的电场强度E＝
B．摆动过程中小球所受的最大拉力为
C．摆动过程中小球的最大速度为
D．小球经过最低点时的速度为
[解析]　设匀强电场的电场强度为E，对小球由静止到摆到最低点的另一侧的最高位置的过程，根据动能定理有mgL cos θ－qEL(1＋sin θ)＝0，解得E＝，故A正确；将电场力与重力合成，有F合＝，合力方向与竖直方向成30°角斜向右下，将合力等效成一个合场力，找出等效最低点O′，对处于O′的小球受力分析，如图所示，由几何关系得α＝60°，研究小球由静止到O′点的过程，根据动能定理有mgL sin α－qEL(1－cos α)＝mv－0，解得vO′＝，小球在O′点时受到的拉力最大，设为Fmax，根据牛顿第二定律得Fmax－F合＝m eq \f(v,L) ，解得Fmax＝，小球在O′点时的速度最大，所以小球经过最低点时的速度小于摆动过程中的最大速度，故B正确，C、D错误。
INCLUDEPICTURE "CX-74A.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-74A.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案]　AB
INCLUDEPICTURE "例5.TIF" INCLUDEPICTURE "例5.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·河北师范大学附中期中)如图所示，在竖直面内固定一光滑绝缘半圆轨道，轨道半径R＝0.1 m，轨道与光滑绝缘水平面相连，B为圆轨道最低点，C为圆轨道水平直径与圆的交点，D为圆轨道最高点，所在空间存在水平向右的匀强电场。在距离B点为0.5 m 的A点由静止释放一质量m＝0.1 kg、带电量为q的带正电物块。已知电场强度E＝，重力加速度g取10 m/s2。求：
INCLUDEPICTURE "CX-76.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-76.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)物块运动到C点时轨道对它的弹力大小；
(2)物块从D点离开轨道后到落到水平面过程中的水平位移；
(3)物块在上升过程中的最大速度。
[解析]　(1)物块从A点运动到C点的过程中，A点与B点之间的距离s＝0.5 m
由动能定理得qE(s＋R)－mgR＝mv
解得vC＝ m/s
在C点应用牛顿第二定律得FN－qE＝m eq \f(v,R)
可得物块运动到C点时轨道对它的弹力FN＝11 N。
(2)物块从A点运动到D点的过程中，由动能定理得qEs－mg·2R＝mv
解得vD＝ m/s
物块从D点离开轨道后竖直方向上只受重力， 做自由落体运动，由2R＝gt2
可得物块落到水平面所用时间t＝＝0.2 s
水平方向只受电场力，做匀减速直线运动，加速度
a＝＝－10 m/s2
根据位移公式x＝vDt＋at2
联立解得物块从D点离开轨道后到落到水平面过程中的水平位移x＝ m。
(3)当电场力和重力的合力与速度垂直时速度最大
INCLUDEPICTURE "CX-77.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-77.TIF" \* MERGEFORMAT
设运动到此位置时半径与竖直方向的夹角为θ，则有tan θ＝＝1
解得θ＝45°
物块从A点运动到速度最大位置过程中，由动能定理得
qE(s＋R sin 45°)－mgR(1－cos 45°)＝mv
解得最大速度vmax＝ m/s。
[答案]　(1)11 N　(2) m　(3) m/s
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1.(电场中的类抛体运动)(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的且可看成质点的带电小球以初速度v从M点竖直向上抛出，通过N点时，速度大小为v，方向与电场方向相反。若M、N连线与水平方向夹角为45°，则小球从M点运动到N点的过程中(　　)
INCLUDEPICTURE "23SZ123.TIF" INCLUDEPICTURE "23SZ123.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小球的动能先减小再增大
B．小球的机械能先增大再减小
C．小球所受重力大小一定等于所受静电力大小
D．小球的电势能一定逐渐增大
解析：选AC。由题意可知，静电力对小球做正功，则小球的电势能一直减小，除了重力之外的其他力对小球做正功，则小球的机械能一直增加，故B、D错误；根据几何关系知，小球竖直方向速度减为零的位移和水平方向速度增加到v的位移相等，根据位移—速度公式v2＝2ax可得竖直方向的加速度和水平方向的加速度相等，可得ay＝ax，又may＝mg，max＝qE，可得mg＝qE，故C正确；根据动能定理可得Ek－Ek0＝－mgy＋qEx，得Ek＝－mgy＋qEx＋Ek0，竖直方向做初速度为v的匀减速直线运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，开始重力做的负功大于静电力做的正功，竖直方向速度和水平方向速度相等后，静电力做的正功大于重力所做负功，所以动能先减小后增大，故A正确。
2.(电场中的圆周运动)(多选)(2024·河南濮阳联考)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为R、内壁光滑，该区域存在与圆形轨道平面平行且沿水平方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q带正电的小球(可视为质点)静止于轨道上的A点，O、A连线与竖直方向的夹角θ＝37°。若在A点给小球一沿轨道切线方向的初速度v，小球在轨道内侧恰好做完整的圆周运动。已知重力加速度大小为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)
INCLUDEPICTURE "CX-78.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-78.TIF" \* MERGEFORMAT
A．电场强度方向水平向左，大小为
B．小球静止于A点时对轨道的压力大小为
C．轨道内侧任意两点间的电势差最大值为
D．运动过程中速度的最小值为
解析：选ABD。带正电的小球静止于轨道上的A点，根据受力平衡可知，小球受到水平向左的电场力，则电场强度方向水平向左，电场力大小qE＝mg tan θ，解得E＝＝，根据受力平衡可得支持力大小N＝＝，可知小球静止于A
点时对轨道的压力大小为，故A、B正确；轨道内侧任意两点间的电势差最大值等于沿电场方向圆轨道直径两端的电势差，则有Um＝E·2R＝，故C错误；当小球运动到AO反向延长线与圆轨道交点位置时，速度最小，此时电场力和重力的合力刚好提供向心力，则有F合＝＝m eq \f(v,R) ，解得运动过程中速度的最小值vmin＝，故D正确。
3．(电场中的直线运动)(2024·辽宁沈阳统考学业考试)如图所示，将质量m＝4×10－2kg、带电量q＝6×10－6C的小球放在光滑的水平面上，由A点静止释放运动到B点，AB的距离L＝1.5 m，空间存在着方向为水平向左、大小E＝1.5×104 N的匀强电场。求：
INCLUDEPICTURE "CX-79.TIF" INCLUDEPICTURE "CX-79.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)小球的带电性质；
(2)带电小球的加速度；
(3)从A到B电场力所做的功。
解析：(1)由A点静止释放运动到B点，由受力分析可知，小球受到电场力方向水平向右，与电场强度的方向相反，因此小球带负电。
(2)根据牛顿第二定律qE＝ma，解得a＝2.25 m/s2。
(3)带电小球做初速度为零的匀加速直线运动，从A到B电场力所做的功W＝qEL＝0.135 J。
答案：(1)负电　(2)2.25 m/s2　(3)0.135 J