2025-2026学年沪科版七年级数学上册3.3一元一次方程应用--等积变形教案

3.3 一元一次方程的应用
等积变形问题
教学目标
一、知识与技能
1.能用一元一次方程刻画事物之间的数量关系.
2.掌握列一元一次方程解决等积变形类型实际问题的一般方法.
3.经历用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画和解决现实世界中含有未知数的问题的有效数学模型.
4.培养分析、解决问题的能力，体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化.
教学重点
根据实际问题列一元一次方程
教学难点
分析问题中的数量关系,并根据等量关系列出方程
教学过程
一、创设情境
在实际生活中我们大多数同学都玩过橡皮泥，我们可以把橡皮泥捏成各种小动物的形状和各种立体图形。现在老师手中有一块橡皮泥请问它是什么形状？哪位同学可以把它变成长方体形状的橡皮泥（但不能有剩余）？
思考：在这个过程中，橡皮泥的什么发生了变化？什么没有变化？
形状变了，体积没变
(用游戏的方式引入，容易提升学生的兴趣，吸引学生的注意力。也为下面的例题理解作了铺垫，同时体会数学源于生活)
二、合作探究
问题1 老师用一个直径为20mm的圆柱体橡皮泥，做成一个长、宽、高分别为31.4mm ， 30mm和9mm的长方体橡皮泥，求变形前圆柱体橡皮泥的高？（计算时π取3. 14）？
学生读题.然后老师读题带领同学分析题意.（读题是为了学生养成审题的好习惯. 引导学生分析问题,获得列方程解应用题的体验.）
请同学们思考、交流并填写下表：（通过提问和学生的回答，帮助学生掌握利用表格分析题目并找出相等关系从而列出方程的方法）
变形前 变形后
橡皮泥形状
体积公式
实际体积表示
体积关系
列方程
求出方程的解：x=
温馨提示：解方程时，当方程两边含有相同的因式时，一般是先根据等式的性质约去相同的因式。老师带领学生求出方程的解（检查学生对等式两边含有相同因式的方程解法的掌握程度），然后教师多媒体展示解题过程（规范解题格式）。
解：设圆柱体橡皮泥高x毫米.根据题意，得：
可列方程： 3 . 14 × ( ) 2 x = 31 .4 × 30 × 9
解得 : x = 27
答：圆柱体橡皮泥高27mm.
议一议：：列一元一次方程解实际问题的一般步骤(学生思考，交流，教师总结)
1.审、设：弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题里的未知数；
2.找：分析题意，找出相等关系（可借助于示意图、表格等）；
3.列：根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；
4.解：解方程，求出未知数的值；
5.检、答：检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.
问题2 已知：一个底面直径为8厘米的烧杯内盛有适量的水，现将水倒入一个底面直径为4厘米
的无水量筒内，当量筒内水面高11.2厘米时，求烧杯内水面下降了多少厘米？（壁厚忽略不计）老师演示实验（利用实验帮助学生理解分析题目，提高学生的注意力和兴趣）
请同学们认真读题并填写下表：
变形前 变形后
水的形状
体积公式
实际体积表示
体积关系
列方程
解：设烧杯内水面下降xcm.由题意得：
解方程得：x=2.8
答：当量筒内水面上升11.2厘米时，烧杯内水面下降2.8cm。
三、变式训练（ 举一反三，检查学生对等积变形应用题掌握情况）：
已知：一个底面直径为4厘米的量筒盛有水，水高11.2厘米，现将水倒入一个底面直径为8厘米的烧杯内（水没有溢出），求此时烧杯内水面上升多少厘米？（壁厚忽略不计；只要列方程。）等量关系：烧杯内水面上升的体积（圆柱体）＝圆柱体量筒水的体积
解：设烧杯内水面上升xcm. 由题意得：
四、小结与反思：
这节课你学到了什么？谈一谈你的感想？
1. 等积变形的应用，变形前后的体积相等；
2. 列方程解应用题一般步骤：
（1）审、设：用字母表示问题里的未知数；
（2）找，找等量关系；
（3）列：列方程；
（4）解：解方程；
（5）检、答：检验作答（单位）.
五、作业：
课外探究: 一个底面内直径为 8 厘米的圆柱形烧杯内盛有适量的水，水中淹没着一个底面直径为 4 厘米、高为 2.8 厘米的圆柱形铁块．当圆柱形铁块取出后，烧杯内水面下降了多少？（只需列出方程，不必求出方程的解）