5.3.1等积变形问题-课件(共25张PPT)--2025-2026学年华东师大版（新教材）数学七年级下册
文档属性
| 名称 | 5.3.1等积变形问题-课件(共25张PPT)--2025-2026学年华东师大版（新教材）数学七年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 21.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-02 00:00:00 | ||
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文档简介
华东师大版数学7年级下册培优精做课件
授课教师： Home .
班 级： 7年级（*）班 .
时 间： .
5.3.1等积变形问题
第五章 一元一次方程
探究新知
如图，请大家用一根长 60 cm 的铁丝围成一个长方形.
……
这些长方形的周长相等吗?
面积呢?
这些长方形的周长相等，都是 60 cm .
面积不一定相等.
大家围成的长方形是一模一样的吗?
（2）如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；
（1）如果长方形的宽是长的????????，求这个长方形的长和宽；
?
用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形，
（3）若设长方形的面积为x平方厘米，能否直接列方程？
新知探究
知识点 等积变形问题
(1)解：设长为x，则宽为????????????，
由题意得：2(x+????????????)=60
解得：x=18
则????????????=????????×????????=????????
所以长为18厘米，宽为12厘米.
?
(2)解：设长为x，则宽为x-4，
由题意得：2(x+x-4)=60
解得：x=17
则x-4=17-4=13
面积=17×13=221(平方厘米)
所以长方形的面积是221平方厘米.
(3)设长方形的面积为x平方厘米，不能找出等量关系， 不能直接列出方程.
新知探究
知识点 等积变形问题
（4）将问题（2）中的宽比长少4厘米改为少3厘米、2厘米、1厘米和0厘米（即长与宽相等），分别计算这个长方形的面积是多少？
长-宽=（厘米）
4厘米
3厘米
2厘米
1厘米
0厘米
长（厘米）
宽（厘米）
面积（平方厘米）
17
13
16.5
13.5
16
14
15.5
14.5
15
15
221
222.75
224
224.75
225
新知探究
知识点 等积变形问题
知识点1 平面图形的等长、等积变化
1.一个长方形的周长为?????????????????，这个长方形的长减少?????????????、宽增加?????????????
就成为一个正方形，设长方形的长为????????????? ，可列方程为( )
?
D
A.????+????=?????????????????? B.????+????=??????????????????
C.?????????=?????????????+???? D.?????????=?????????????+????
?
2.用同一根铁丝能围成一个等边三角形或正方形，正方形比等边三角形
的边长少?????????????????，等边三角形的边长为____???????? .
?
40
3.用一根长?????????????????的铁丝围成一个长、宽比为????:???? 的长方形，则该长方形
的面积是____???????????? .
?
32
4.（4分）一块长方形地长?????????????，如果把它的长增加到????????????? ，宽减少
????????? ，面积的大小正好不变，这块长方形地的面积是多少平方米？
?
解：设原长方形的宽为?????????，由题意得????????????=????????????????? ，
解得????=????????.????，????????×????????.????=???????????????????? .
答：这块长方形地的面积是????????????????????? .
?
提炼概念
注意：长-宽=？也就是长比宽多多少或者宽比长少多少.
观察以上数据，你能发现长方形的面积和长方形的长、宽之差有什么关系么？
长方形在周长一定的条件下，它的长与宽越接近，面积就越大；当长与宽相等，即成为正方形时，面积最大.
实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理.
新知探究
知识点 等积变形问题
招亲启事
亲爱的子民们：
如果你是20-25岁的年轻小伙子，你拥有勤劳的双手和智慧的头脑，你就有权来参加招亲。
参加招亲的年轻人都将得到一个长60米的栅栏，如果你用这个栅栏围成的长方形耕地，并种得了所有人中最多的粮食，那么你会成为驸马！
现在有谁能回答国王提出的问题呢？
解：当长方形的长为15厘米,宽为15厘米时
长方形的面积最大，最大值=
新知探究
知识点 等积变形问题
实际上，若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形（包括随意七凹八凸的不规则图形），面积最大的是圆。这里面的道理需要较为高深的数学知识，在以后的学习中，我们继续去探究其中的道理.
续接故事：如果没有要求围成方形地，那么，围成什么样形状的地，面积最大？
新知探究
知识点 等积变形问题
例: 如图，小明家打算靠墙(墙长14米)修建一个长方形的养鸡场，另三边用35米长的竹篱笆围成，小明的爸爸打算让鸡场的长比宽多2米，小明的妈妈打算让鸡场的长比宽多5米，你认为他们谁的设计合理?按照这种设计，鸡场的面积是多少平方米?
新知探究
知识点 等积变形问题
解：设鸡场的宽为x米.
①若按小明爸爸的设计，则其长应为(x+2)米.
x+2+2x=35
x=11.
因为11+2=13(米)<墙长14米，
所以小明爸爸的设计合理，
这时鸡场的面积为13x11=143(平方米).
经检验：符合题意
新知探究
知识点 等积变形问题
②若按小明妈妈的设计，则其长应为(x+5)米.
x+5+2x=35
x=10.
因为10+5=15(米)＞墙长14米，
所以小明妈妈的设计不合理.
经检验：不符合题意
新知探究
知识点 等积变形问题
知识点2 立体图形的容积变化
5.如图，两个量筒中分别装有等量的某种液体，根据图中信息可列方程
为_ ___________________________.
??????????????????????=??????????????????????+????
?
6.把一个长?????????????????、宽?????????????????、高????????????????? 的长方体铜块熔铸成一个底面半
径为?????????????????的圆锥，这个圆锥的高是___????????.（结果保留???? ）
?
????????????
?
7.（4分）如图，甲、乙两个圆柱形容器的内部底面
积分别为?????????????????????、????????????????????? ，甲容器装满水，乙容器
是空的.将甲容器中的水全部倒入乙容器，则乙容器
中的水面高度比甲容器的原水面高度高????????????? ，求甲
容器的容积.
?
解：设甲容器的容积为?????????????????，根据题意，得????????????=????????????????? ，
解方程，得????=????????????????? .
答：甲容器的容积为?????????????????????????????? .
?
知识点3 平面图形的拼接与分割
8.[漯河期中] 如图，将一个正方形纸片剪去一个
宽为????????????? 的长条后，再从剩下的长方形纸片上
剪去一个宽为????????????? 的长条，两个长条的面积相
等，求每个长条的面积.若设正方形边长为????????????? ，
依题意可列方程为( )
?
A
A.????????=????????????? B.?????????????=???????? C.????????=????????+???? D.????????+????=????????
?
9.（4分）如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和1个正方形拼
成的，其中小长方形的宽是????????????? ，求大长方形的面积.
?
解：设小长方形的长为?????????????，由题意得????????=????+????×???? ，
解得????=????，所以小长方形的长为????????????? ，
所以大长方形的面积为????+????×????+????=???????????????????? .
答：大长方形的面积为????????????????????? .
?
（第10题）
10.如图，一个瓶子的容积为????.????????? ，瓶内装
着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的
高度为????????????????? ，倒放时，空余部分的高度为
????????????? .则瓶内溶液的体积是( )
?
C
A.????.?????????? B.????.?????????
C.????.????????? D.????.?????????
?
11.如图，一个无盖长方体容器的内底面长为?????????????，宽为????????????? ，高为
?????????????????，容器中水的高度为?????????????，现把一块棱长为????????????? 的立方体金属块
放入水中，则容器内的水将升高___???????? .
?
1
（第11题）
12.如图，在长方形???????????????? 中放入六个完全相同的小长方形，则图中阴影
部分的面积之和为________.
?
?????????????????????
?
13.（4分）［教材P20“习题5.3.1”第1题变式］如图，小王要利用长?????????????
的竹篱笆围成一个长边靠墙的长方形菜园，并在短边上留一个宽????????? 的
门，已知墙的长度为?????????????，围成的菜园的长比宽多????????? .这个方案能否
实现？若能实现，这个菜园的面积是多少？
?
解：设围成的菜园宽为?????????,则长为????????+????????????????? .根据题意，得
????????+??????????????????=????，解得????=????????.∵????????+?????????????=????????案能实现.
????????×????????=???????????????????? .
答：方案能实现，这个菜园的面积是????????????????????? .
授课教师： Home .
班 级： 7年级（*）班 .
时 间： .
5.3.1等积变形问题
第五章 一元一次方程
探究新知
如图，请大家用一根长 60 cm 的铁丝围成一个长方形.
……
这些长方形的周长相等吗?
面积呢?
这些长方形的周长相等，都是 60 cm .
面积不一定相等.
大家围成的长方形是一模一样的吗?
（2）如果长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；
（1）如果长方形的宽是长的????????，求这个长方形的长和宽；
?
用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形，
（3）若设长方形的面积为x平方厘米，能否直接列方程？
新知探究
知识点 等积变形问题
(1)解：设长为x，则宽为????????????，
由题意得：2(x+????????????)=60
解得：x=18
则????????????=????????×????????=????????
所以长为18厘米，宽为12厘米.
?
(2)解：设长为x，则宽为x-4，
由题意得：2(x+x-4)=60
解得：x=17
则x-4=17-4=13
面积=17×13=221(平方厘米)
所以长方形的面积是221平方厘米.
(3)设长方形的面积为x平方厘米，不能找出等量关系， 不能直接列出方程.
新知探究
知识点 等积变形问题
（4）将问题（2）中的宽比长少4厘米改为少3厘米、2厘米、1厘米和0厘米（即长与宽相等），分别计算这个长方形的面积是多少？
长-宽=（厘米）
4厘米
3厘米
2厘米
1厘米
0厘米
长（厘米）
宽（厘米）
面积（平方厘米）
17
13
16.5
13.5
16
14
15.5
14.5
15
15
221
222.75
224
224.75
225
新知探究
知识点 等积变形问题
知识点1 平面图形的等长、等积变化
1.一个长方形的周长为?????????????????，这个长方形的长减少?????????????、宽增加?????????????
就成为一个正方形，设长方形的长为????????????? ，可列方程为( )
?
D
A.????+????=?????????????????? B.????+????=??????????????????
C.?????????=?????????????+???? D.?????????=?????????????+????
?
2.用同一根铁丝能围成一个等边三角形或正方形，正方形比等边三角形
的边长少?????????????????，等边三角形的边长为____???????? .
?
40
3.用一根长?????????????????的铁丝围成一个长、宽比为????:???? 的长方形，则该长方形
的面积是____???????????? .
?
32
4.（4分）一块长方形地长?????????????，如果把它的长增加到????????????? ，宽减少
????????? ，面积的大小正好不变，这块长方形地的面积是多少平方米？
?
解：设原长方形的宽为?????????，由题意得????????????=????????????????? ，
解得????=????????.????，????????×????????.????=???????????????????? .
答：这块长方形地的面积是????????????????????? .
?
提炼概念
注意：长-宽=？也就是长比宽多多少或者宽比长少多少.
观察以上数据，你能发现长方形的面积和长方形的长、宽之差有什么关系么？
长方形在周长一定的条件下，它的长与宽越接近，面积就越大；当长与宽相等，即成为正方形时，面积最大.
实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理.
新知探究
知识点 等积变形问题
招亲启事
亲爱的子民们：
如果你是20-25岁的年轻小伙子，你拥有勤劳的双手和智慧的头脑，你就有权来参加招亲。
参加招亲的年轻人都将得到一个长60米的栅栏，如果你用这个栅栏围成的长方形耕地，并种得了所有人中最多的粮食，那么你会成为驸马！
现在有谁能回答国王提出的问题呢？
解：当长方形的长为15厘米,宽为15厘米时
长方形的面积最大，最大值=
新知探究
知识点 等积变形问题
实际上，若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形（包括随意七凹八凸的不规则图形），面积最大的是圆。这里面的道理需要较为高深的数学知识，在以后的学习中，我们继续去探究其中的道理.
续接故事：如果没有要求围成方形地，那么，围成什么样形状的地，面积最大？
新知探究
知识点 等积变形问题
例: 如图，小明家打算靠墙(墙长14米)修建一个长方形的养鸡场，另三边用35米长的竹篱笆围成，小明的爸爸打算让鸡场的长比宽多2米，小明的妈妈打算让鸡场的长比宽多5米，你认为他们谁的设计合理?按照这种设计，鸡场的面积是多少平方米?
新知探究
知识点 等积变形问题
解：设鸡场的宽为x米.
①若按小明爸爸的设计，则其长应为(x+2)米.
x+2+2x=35
x=11.
因为11+2=13(米)<墙长14米，
所以小明爸爸的设计合理，
这时鸡场的面积为13x11=143(平方米).
经检验：符合题意
新知探究
知识点 等积变形问题
②若按小明妈妈的设计，则其长应为(x+5)米.
x+5+2x=35
x=10.
因为10+5=15(米)＞墙长14米，
所以小明妈妈的设计不合理.
经检验：不符合题意
新知探究
知识点 等积变形问题
知识点2 立体图形的容积变化
5.如图，两个量筒中分别装有等量的某种液体，根据图中信息可列方程
为_ ___________________________.
??????????????????????=??????????????????????+????
?
6.把一个长?????????????????、宽?????????????????、高????????????????? 的长方体铜块熔铸成一个底面半
径为?????????????????的圆锥，这个圆锥的高是___????????.（结果保留???? ）
?
????????????
?
7.（4分）如图，甲、乙两个圆柱形容器的内部底面
积分别为?????????????????????、????????????????????? ，甲容器装满水，乙容器
是空的.将甲容器中的水全部倒入乙容器，则乙容器
中的水面高度比甲容器的原水面高度高????????????? ，求甲
容器的容积.
?
解：设甲容器的容积为?????????????????，根据题意，得????????????=????????????????? ，
解方程，得????=????????????????? .
答：甲容器的容积为?????????????????????????????? .
?
知识点3 平面图形的拼接与分割
8.[漯河期中] 如图，将一个正方形纸片剪去一个
宽为????????????? 的长条后，再从剩下的长方形纸片上
剪去一个宽为????????????? 的长条，两个长条的面积相
等，求每个长条的面积.若设正方形边长为????????????? ，
依题意可列方程为( )
?
A
A.????????=????????????? B.?????????????=???????? C.????????=????????+???? D.????????+????=????????
?
9.（4分）如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和1个正方形拼
成的，其中小长方形的宽是????????????? ，求大长方形的面积.
?
解：设小长方形的长为?????????????，由题意得????????=????+????×???? ，
解得????=????，所以小长方形的长为????????????? ，
所以大长方形的面积为????+????×????+????=???????????????????? .
答：大长方形的面积为????????????????????? .
?
（第10题）
10.如图，一个瓶子的容积为????.????????? ，瓶内装
着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的
高度为????????????????? ，倒放时，空余部分的高度为
????????????? .则瓶内溶液的体积是( )
?
C
A.????.?????????? B.????.?????????
C.????.????????? D.????.?????????
?
11.如图，一个无盖长方体容器的内底面长为?????????????，宽为????????????? ，高为
?????????????????，容器中水的高度为?????????????，现把一块棱长为????????????? 的立方体金属块
放入水中，则容器内的水将升高___???????? .
?
1
（第11题）
12.如图，在长方形???????????????? 中放入六个完全相同的小长方形，则图中阴影
部分的面积之和为________.
?
?????????????????????
?
13.（4分）［教材P20“习题5.3.1”第1题变式］如图，小王要利用长?????????????
的竹篱笆围成一个长边靠墙的长方形菜园，并在短边上留一个宽????????? 的
门，已知墙的长度为?????????????，围成的菜园的长比宽多????????? .这个方案能否
实现？若能实现，这个菜园的面积是多少？
?
解：设围成的菜园宽为?????????,则长为????????+????????????????? .根据题意，得
????????+??????????????????=????，解得????=????????.∵????????+?????????????=????????案能实现.
????????×????????=???????????????????? .
答：方案能实现，这个菜园的面积是????????????????????? .