8.1.2 三角形内角和与外角和-课件(共51张PPT)--2025-2026学年华东师大版（新教材）数学七年级下册
文档属性
| 名称 | 8.1.2 三角形内角和与外角和-课件(共51张PPT)--2025-2026学年华东师大版（新教材）数学七年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 22.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-02 00:00:00 | ||
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文档简介
(共51张PPT)
华东师大版数学7年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.8.1.2三角形内角和与外角和第8章三角形新课导入
我们曾撕下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角。
3
1
1
2
2
2
1
3
3
还有折叠的方法
得出结论：三角形的内角和等于 180°.
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢？
如图，延长△ABC的边BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD∥AB(同位角相等，两直线平行).
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
知识点1 三角形的内角和
A
B
C
E
D
∵CD∥BA，
∴∠1=∠ACD(两直线平行，内错角相等).
∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).
由此得到：
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
三角形的内角和等于180°.
知识点1 三角形的内角和
知识点1 三角形的内角和
1.在中， ， ，则 的度数为_____.
2.如图，是的角平分线， ， ，则
____ .
95
3.在中，， ，则 的形状为
_____________.
钝角三角形
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
知识点1 三角形的内角和
例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x ＋ 15)°.
根据三角形的内角和为180°，得
3x＋x＋(x＋15)＝180.
解得x＝33.
∴3x＝99 ， x＋15＝48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
借助方程来解几何问题，这运用了方程思想
知识点1 三角形的内角和
例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解:由∠BAC=40 °，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD=∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
知识点1 三角形的内角和
问题1 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？
知识点2 直角三角形的内角性质
A
B
C
几何语言：
如图，在Rt△ABC 中，
∵∠C =90°，
∴∠A +∠B =90°．
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC .
知识点2 直角三角形的内角性质
直角三角形的两个锐角互余．
A
B
C
例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：∠CAE=∠DBE.理由如下：
在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.
∵∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠DBE.
在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.
知识点2 直角三角形的内角性质
知识点2 直角三角形的两个锐角互余
4.在中，若一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数为_____.
5. 在中， ， ，则
_____.
6.如图，在中， ，于点 ，下列结论不
一定成立的是( )
B
A. B.
C. D.
知识点3 直角三角形的判定
思考 我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余·反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗
由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论:
有两个角互余的三角形是直角三角形.
知识点3 直角三角形的判定
例3 如图，在RtABC中，∠C=90°，D、E分别是边CB、AB延长线上的点，∠A=∠D.试说明△BDE是直角三角形.
解：∵在RtABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠A=∠D，∠ABC=∠DBE，
∴∠D+∠DBE=90°，
∴△BDE是直角三角形，且∠E=90°.
A
C
B
D
E
知识点3 两锐角互余的三角形是直角三角形
7.下列条件: ； ；
，能确定 是直角三角形的是______.
（填序号）
①②
8.（4分）如图，在 中，
，平分 ，且
，试说明： 是直角三角
形.
解：，.平分 ，
， ，
，
是直角三角形.
（第9题）
9.[郑州期末] 如图，直线，被直线 所截，
， ， ，则 的度数
为( )
B
A. B. C. D.
10.如图，在中， 是三条角平分线的交点，则
_____.
（第10题）
11. 如图，是的角平分线，是 的高，
， ，为边上一点，当 为直角三角
形时， __________.
或
（第11题）
[解析] 点拨：如图①，当时， ，易得
，
在中， ；
如图②，当 时，
，
易得 .
.
综上，的度数为或 .
， ，
问题1 在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？
知识点4 三角形的外角的性质
我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.
外角
不相邻的内角
相邻的内角
推导过程：∵∠A +∠B+∠ACB=180°，
∴∠A +∠B = 180°-∠ACB.
∵∠ACD+∠ACB= 180° ，
∴∠ACD= 180°-∠ACB ，
∴∠ACD = ∠A +∠B .
知识点4 三角形的外角的性质
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
由此可知，三角形的外角有两条性质.
如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数.
解：∵∠B+∠C=∠CAD，
∴∠C=∠CAD-∠B.
∵∠CAD=100°，∠B=30°，
∴∠C=100°-30°=70°.
做一做
知识点4 三角形的外角的性质
问题2 如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.
又知∠1+∠2+∠3=180 °，
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
知识点4 三角形的外角的性质
方法二：如图，∠BAE+∠1=180 °① ，
∠CBF +∠2=180 °②，
∠ACD +∠3=180 °③，
∵∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540°，
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
知识点4 三角形的外角的性质
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
几何语言：
∵∠BAE，∠CBF，∠ACD分别是△ABC的外角,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360 °.
知识点4 三角形的外角的性质
三角形的外角和等于360°.
知识点1 三角形外角的性质
1.如图， 的度数为______.
（第1题）
2.如图，，，的大小关系为______________.（用“ ”连接）
（第2题）
3.[烟台中考改编] 如图是一款儿童小推车的示意图，若 ，
， ，则 的度数为_____.
（第3题）
4.一副三角板如图摆放，则_____ .
105
（第4题）
例4 (一题多解）如图，计算∠BDC.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
A
B
D
E
C
E
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
知识点4 三角形的外角的性质
解：（解法一）连接AD并延长至点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3.
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=
51°+20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
知识点4 三角形的外角的性质
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
（解法二）延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=
51° +20°+30°=101°.
（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）
)
2
知识点4 三角形的外角的性质
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
F
A
B
C
D
(
(
(
1
3
2
(
重要发现：
∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.
知识点4 三角形的外角的性质
12.（8分）如图，在中， ，
，平分 .
（1）求 的度数；
解：， ，
.
平分 ，
.
（2）若于点，是上一点， ，试说明：
是直角三角形.
解：， ，
，
.
，， 是直角三角形.
5.（4分）如图，在中， ， 是
边上的高，与交于点.若 ，求
的度数.
解：是边 上的高，
.
， .
， .
知识点2 三角形的外角和
6.如图，，，是 的三个外角.
（1） ______；
（2）若 ， ，则 ______；
（3）若，则 中最小内角的度数为_____.
（第7题）
7.如图，，两点分别在的两边， 上，
已知 ，则 ( )
C
A. B. C. D.
8.如图，在中，是上一点，， ，
，则 的度数为_____.
（第8题）
9. 如图，平分外角，交 的延长线于
点，若 ，则 _____.
（第9题）
10.某零件的部分数据如图，已知这四个数据中有一个标错了，若 ，
，所标数据正确，则图中 所标数据应为_____.
（第10题）
11.（8分）[南阳期末] 如图，在中，平分，为线段
上一点，交直线于点 .
（1）若 ， ，则 _____；
（2）当点在线段上运动时，试说明： .
解：平分 ，
，
.
，
.
三角形的内角
三角形的内角和定理
证明
添加平行线，将三角形的三个角转化成一个平角
内容
三角形内角和等于180 °
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
内容
有两个角互余的三角形是直角三角形
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
华东师大版数学7年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.8.1.2三角形内角和与外角和第8章三角形新课导入
我们曾撕下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角。
3
1
1
2
2
2
1
3
3
还有折叠的方法
得出结论：三角形的内角和等于 180°.
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢？
如图，延长△ABC的边BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD∥AB(同位角相等，两直线平行).
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
知识点1 三角形的内角和
A
B
C
E
D
∵CD∥BA，
∴∠1=∠ACD(两直线平行，内错角相等).
∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).
由此得到：
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
三角形的内角和等于180°.
知识点1 三角形的内角和
知识点1 三角形的内角和
1.在中， ， ，则 的度数为_____.
2.如图，是的角平分线， ， ，则
____ .
95
3.在中，， ，则 的形状为
_____________.
钝角三角形
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
知识点1 三角形的内角和
例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x ＋ 15)°.
根据三角形的内角和为180°，得
3x＋x＋(x＋15)＝180.
解得x＝33.
∴3x＝99 ， x＋15＝48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
借助方程来解几何问题，这运用了方程思想
知识点1 三角形的内角和
例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解:由∠BAC=40 °，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD=∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
知识点1 三角形的内角和
问题1 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？
知识点2 直角三角形的内角性质
A
B
C
几何语言：
如图，在Rt△ABC 中，
∵∠C =90°，
∴∠A +∠B =90°．
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC .
知识点2 直角三角形的内角性质
直角三角形的两个锐角互余．
A
B
C
例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：∠CAE=∠DBE.理由如下：
在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.
∵∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠DBE.
在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.
知识点2 直角三角形的内角性质
知识点2 直角三角形的两个锐角互余
4.在中，若一个锐角等于 ，则另一个锐角的度数为_____.
5. 在中， ， ，则
_____.
6.如图，在中， ，于点 ，下列结论不
一定成立的是( )
B
A. B.
C. D.
知识点3 直角三角形的判定
思考 我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余·反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗
由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论:
有两个角互余的三角形是直角三角形.
知识点3 直角三角形的判定
例3 如图，在RtABC中，∠C=90°，D、E分别是边CB、AB延长线上的点，∠A=∠D.试说明△BDE是直角三角形.
解：∵在RtABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠A=∠D，∠ABC=∠DBE，
∴∠D+∠DBE=90°，
∴△BDE是直角三角形，且∠E=90°.
A
C
B
D
E
知识点3 两锐角互余的三角形是直角三角形
7.下列条件: ； ；
，能确定 是直角三角形的是______.
（填序号）
①②
8.（4分）如图，在 中，
，平分 ，且
，试说明： 是直角三角
形.
解：，.平分 ，
， ，
，
是直角三角形.
（第9题）
9.[郑州期末] 如图，直线，被直线 所截，
， ， ，则 的度数
为( )
B
A. B. C. D.
10.如图，在中， 是三条角平分线的交点，则
_____.
（第10题）
11. 如图，是的角平分线，是 的高，
， ，为边上一点，当 为直角三角
形时， __________.
或
（第11题）
[解析] 点拨：如图①，当时， ，易得
，
在中， ；
如图②，当 时，
，
易得 .
.
综上，的度数为或 .
， ，
问题1 在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？
知识点4 三角形的外角的性质
我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.
外角
不相邻的内角
相邻的内角
推导过程：∵∠A +∠B+∠ACB=180°，
∴∠A +∠B = 180°-∠ACB.
∵∠ACD+∠ACB= 180° ，
∴∠ACD= 180°-∠ACB ，
∴∠ACD = ∠A +∠B .
知识点4 三角形的外角的性质
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
由此可知，三角形的外角有两条性质.
如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数.
解：∵∠B+∠C=∠CAD，
∴∠C=∠CAD-∠B.
∵∠CAD=100°，∠B=30°，
∴∠C=100°-30°=70°.
做一做
知识点4 三角形的外角的性质
问题2 如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.
又知∠1+∠2+∠3=180 °，
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
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你还有其他解法吗？
知识点4 三角形的外角的性质
方法二：如图，∠BAE+∠1=180 °① ，
∠CBF +∠2=180 °②，
∠ACD +∠3=180 °③，
∵∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540°，
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
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知识点4 三角形的外角的性质
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C
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几何语言：
∵∠BAE，∠CBF，∠ACD分别是△ABC的外角,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360 °.
知识点4 三角形的外角的性质
三角形的外角和等于360°.
知识点1 三角形外角的性质
1.如图， 的度数为______.
（第1题）
2.如图，，，的大小关系为______________.（用“ ”连接）
（第2题）
3.[烟台中考改编] 如图是一款儿童小推车的示意图，若 ，
， ，则 的度数为_____.
（第3题）
4.一副三角板如图摆放，则_____ .
105
（第4题）
例4 (一题多解）如图，计算∠BDC.
A
B
C
D
(
(
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51 °
20 °
30 °
A
B
D
E
C
E
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
知识点4 三角形的外角的性质
解：（解法一）连接AD并延长至点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3.
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=
51°+20°+30°=101°.
E
)
)
1
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知识点4 三角形的外角的性质
A
B
C
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51 °
20 °
30 °
E
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1
（解法二）延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=
51° +20°+30°=101°.
（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）
)
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知识点4 三角形的外角的性质
A
B
C
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51 °
20 °
30 °
F
A
B
C
D
(
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重要发现：
∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.
知识点4 三角形的外角的性质
12.（8分）如图，在中， ，
，平分 .
（1）求 的度数；
解：， ，
.
平分 ，
.
（2）若于点，是上一点， ，试说明：
是直角三角形.
解：， ，
，
.
，， 是直角三角形.
5.（4分）如图，在中， ， 是
边上的高，与交于点.若 ，求
的度数.
解：是边 上的高，
.
， .
， .
知识点2 三角形的外角和
6.如图，，，是 的三个外角.
（1） ______；
（2）若 ， ，则 ______；
（3）若，则 中最小内角的度数为_____.
（第7题）
7.如图，，两点分别在的两边， 上，
已知 ，则 ( )
C
A. B. C. D.
8.如图，在中，是上一点，， ，
，则 的度数为_____.
（第8题）
9. 如图，平分外角，交 的延长线于
点，若 ，则 _____.
（第9题）
10.某零件的部分数据如图，已知这四个数据中有一个标错了，若 ，
，所标数据正确，则图中 所标数据应为_____.
（第10题）
11.（8分）[南阳期末] 如图，在中，平分，为线段
上一点，交直线于点 .
（1）若 ， ，则 _____；
（2）当点在线段上运动时，试说明： .
解：平分 ，
，
.
，
.
三角形的内角
三角形的内角和定理
证明
添加平行线，将三角形的三个角转化成一个平角
内容
三角形内角和等于180 °
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
内容
有两个角互余的三角形是直角三角形
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.