贵州贵阳2025-2026学年下学期高三数学2月一模试卷（含答案）

贵阳市 2026 年高三年级适应性考试(一) 数 学
2026年2月
本试卷分第 1 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间为 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将姓名、报名号用铜笔填写在答题卡相应位置上。
2. 回答第 1 卷时:选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3. 回答第 II 卷时:持答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 请保持答题卡平整，不能折叠，考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回。 第 I 卷 (选择题 共 58 分)
一、选择距:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 复数 的虚部是 ( )
A. -i B. i
C. -1 D. 1
2. 集合 ,集合 . 则 ( )
A. B. C. {2} D.
3. 已知方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
4. 设 ,则 是 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 记 为各项均不相同的等差数列 的前 项和. 若 是 与 的等比中项, 则 ( )
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
6. 某校教学楼的某层楼设置有 8 级台阶, 某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶, 则该同学从楼梯底部登上第 8 级台阶的不同走法有 ( )
A. 32 B. 33
C. 34 D. 35
7. 设方程 的两个根为 ,则 ( )
A. 0 B. 1
C. c D.
8. 已知数列 满足 . 若对于任意 ，都有 成立， 则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求. 全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分.
9. 已知函数 的图象关于点 中心对称. 则 ( )
A. 的最小正周期为
B. 直线 是曲线 的对称轴
C. 将 的图象向右平移 个单位可得到函数 的图象
D. 在区间 上单调递增
10. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图 1 为《周易》中的“八卦”，图 2 为园林建筑中的八角窗.它们均可抽象为正八边形 ,如图 3, 为其中心.记 ，且 ，则 ( )
图 1
图 2
图 3
A. B.
C.
D. 在 上的投影向量为
11. 古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线。随着圆锥的轴与平面所成角 的变化，截得的曲线的形状也不同，若圆锥轴截面的顶角为 ，则曲线的离心率为 . 如图,圆锥 的底面半径为 4,母线长为 12. 是圆锥的一个轴截面， 为 中点，过 ， 两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截口曲线是一个椭圆 ,则 ( )
A. 椭圆 的长轴为
B. 椭圆 的离心率为
C. SO与BD的交点是椭圆 的一个焦点
D. 内接于椭圆的菱形周长母大值为 20
第II卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数据 的平均值为 3,则 的平均值为_____.
13. 已知直线 与圆 ，若存在以直线 上一点为圆心， 为半径的圆与圆 有交点，则 的取值范围是_____.
14. 已知点 为正三棱柱 的外接球上动点，且 ，若 ， ，则点 的轨迹长度为_____.
四、解答题:共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本题满分 13 分)
在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 .
(1)求 的大小；
(2)若 ，试判断 的形状，并求 的面积.
16.(本题满分15分)
如图，已知四面体 的所有棱长都等于2, 分别是棱 的中点.
平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 的夹角的正弦值.
17.(本题满分 15 分)
已知点 ， 为平面内一动点，以 为直径的圆与 轴相切。点 的轨迹记为 。
(1)求曲线 的方程；
(2)不过原点的直线 与曲线 交于不同的两点 ，若以 为直径的圆过坐标原点。
(i) 证明: 直线/过定点;
(ii) 点 是曲线 上位于直线 下方的一动点,若对于给定的直线 ，记 的面积最大值为 ，对所有符合圆设条件的动直线 ，求 的最小值.
18.(本题满分 17 分)
有 个人需要通过验血检测某种酶是否存在. 假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的,且含有该酶的概率均为 ,若血液检测始终他准确判断样本中该酶是否存在. 现采用以下分组检测方法: 将待检测人群分成 个小组,每组 人.在每一组中, 取每人的血样混合成一个样本进行检测.
若某组的混合样本检测结果呈阴性(不含酶)，则该组内所有人员无需再进行后续检测。
若某组的混合样本检测结果呈阳性(含有酶)，则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次(不用采集血样，利用现有采集过的血样).
(1)若 ，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血波中含有该酶的概率;
(2)用 表示该方法所需检测次数的期望值；
(3)设检测成本由两部分组成:采集处理血样成本为 元/人份，化验检测成本为 元/次。 若 ，每组人数 ，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了 50%以上，求 的取值范围.(参考数据: )
19.(本题满分17分)
已知函数 .
(1)令 ，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 在 上的单调性；
(3)证明:(i)当 时，
(ii) .
数学参考答案与评分建议
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D A A C A B
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 AC ACD ABD
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
题号 12 13 14
答案 7
四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
解: (1) 在 中,由正弦定理得
整理得
因为 ,故
又 ,故 .
.6 分
( 2 )已知 ，则 ，故
因为 . 则 . 故
所以, 是等边三角形.
因此
.13 分
16. (本小题满分 15 分)
(1)因为 分别是棱 的中点，故 .
又 平面 平面 ,所以 平面 .
而 平面 ,平面 与平面 的交线为 ,
由线面平行的性质定理,得 .
.7 分
(2)过 作 平面 ，垂足为 . 建立如图所示空间直角坐标系. 则
,
设 为平面 的法向量,则
平面 的一个法向量为 ,所以
设 为平面 与平面 所成角,则
因此，平面 与平面 所成角的正弦值为 .
.15 分
17. (本小题满分 15 分)
(1)设点 ，以 为直径的圆的圆心为 ，半径 . 由圆与 轴相切,得 .
故曲线 的方程为 .
.5 分
(2)(i)设直线 ， ， ，则 .
以 为直径的圆过原点,得 ,则
,
因 ,故 . 直线 方程为 ,恒过定点 .
10 分
(ii)对于给定的 ,直线 与 交于 ,则
点 在 上且位于 下方,即 .
点 到直线 的距离为
由 知 ,故
令 ,则当 时, 取得最大值 ,此时 最大,
因此, 面积的最大值为
.
由 的表达式知,当 时, 取得最小值: .
.15 分
18.(本小题满分 17 分)
(1)设小组中有酶的人数为 ，则 .
已知混合样本阳性，即 ，则恰有 2 人有酶的概率为
.5 分
(2)设每组检测次数 ,则 的分布列为
1
期望为
则总检测次数的期望 ; .11 分
(3)若分组检测，
检测次数的期望为 .
总成本期望为 ,
若逐一检测,则总成本为 .
由节省 以上得 .
代入 ,得 ,
整理得 ,因此, ,
故 的取值范围是 .17 分
19. (本小题满分 17 分)
(1) ,则 , 所以 在点 处的切线方程为 ,
即 .5 分
(2) ,则
故
设 ,则
当 时, 单调递减,所以 ,即 , 所以 单调递减,
所以 ,故 在 单调递增.11 分
(3)证明: (i) 令 ,
则 ,
所以 在 上单调递增,
所以 ,即当 时 ,
所以当 时, ;
(ii) 由 (i) 可知当 时, ,且 在 单调递减,故
由 (2) 可知 在 单调递增,在 单调递减,故 , 所以 .17 分