安徽A10联盟2025-2026学年下学期高三数学2月开学考试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 安徽A10联盟2025-2026学年下学期高三数学2月开学考试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 128.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-28 00:00:00 | ||
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文档简介
数学
满分150分，时间120分钟
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 每小题的四个选项中, 只有一项是最符合题目要 求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 设 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 如下一组数据:85，105，94，96，102，98，89，99，98，100，则这组数据的第 80 百分位数是 ( )
A. 102 B. 101 C. 100 D. 99
4. 在等差数列 中， ， ，则 ( )
A. 23 B. 21 C. 19 D. 17
5. 已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为( )
A. B. c. D.
6. 已知圆 与直线 相切,且经过坐标原点和 ,则圆 的半径为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象. 若 ,恰存在三个不同的实数 ,使得 ,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 若函数 在 内不单调,则实数 的取值范围为( )
A. B.
c. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 8 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 ,则( )
A. B.
C.
D.
10. 设 为数列 的前 项和,且 ,则( )
A. B.
C. D.
11. 在三棱锥 中， ，则下列说法正确的有( )
A. 若 ，则三棱锥 是正三棱锥
B. 若 ， ， 的周长均为 4 ，则三棱锥 是正三棱锥
C. 若 ， ， 的内切圆的面积均为 ，则三棱锥 是正三棱锥
D. 若 ，则三棱锥 是正三棱锥
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知向量 是单位向量，向量 在 上的投影向量为 ，向量 在 上的投影向量为 ，则 的最小值为_____.
14. 已知椭圆 的左、右焦点为 ，且 是抛物线 的焦点,记 与 的一个交点为 ,若直线 与 只有一个公共点,则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
某校积极推进 “五育并举” 育人实践，计划开设围棋选修课程，随机调查了 100 名学生，得到如下列联表.
性别 是否喜欢围棋 合计
是 否
男生 20
女生 20 50
合计 100
(1)补充完整列联表，根据 的独立性检验，能否认为性别与喜欢围棋有关联？
(2)为推动围棋课程开设，该校举办了围棋比赛，最后甲、乙两人晋级决赛，决赛规则如下:五周三胜,没有平局. 已知每局甲胜乙的概率为 ,在甲第一局失败的条件下,求甲最终获胜的概率. 附: ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. (15分)
在 中，内角 的对边分别是 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)若 ， 为 的角平分线，且 ，求 的面积.
17.(15分)
如图几何体是圆锥 的一部分，且 ，点 是 上一点(不与 ， 重合)， 二面角 的大小为 .
(1)求证: ；
(2)取 的中点 ，连接 ，若 平面 .
(i) 求 的度数;
(ii) 求点 到平面 的距离.
18.(17分)
已知双曲线 的渐近线方程为 和 ,右焦点为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 交 的右支于 ， 两点.
(i)求直线 倾斜角的取值范围；
(ii) 过 作 的平行线交 于 ,过 作 的平行线交 于 ,求证: .
19. (17 分)
已知 ,直线 与曲线 和 都相切.
(1)求 的值；
(2)若 ，其中 .
(i)求实数 的取值范围；
(ii) 求证: .
2026届高三2月学情检测数学参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A D C D B
1. ,所以 . 故选 B.
2. ,所以 . 故选 C.
3. B 将数据由小到大排序为:85,89,94,96,98,98,99,100,102,105,又 ,故这组数据的第 80 百分位数是 . 故选 B.
4. A 由题意得, ,则 ,所以 . 故选 A.
5. D 设轴截面的斜边为 2,则 ，所以 ，所以 . 故选 D.
6. 注意到点 在直线 上,所以圆心落在直线 上,又圆 过 和 ,所以圆心落在直线 上,联立 得 ,所以圆心为 ,所以半径 . 故选 C.
7. 由题意得, ,当 时, ,则 . 因为存在三个实数 ,使得 ,所以 是 的子集,由 图象知, ,解得 . 故选 D.
8. 由题意得, ,当 时, ,所以 在 上单调递增,所以由 在 内不单调得 ,即 ,解得 . 故选 B.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 BCD AC ABD
9. BCD 由 得 ,故 A 错误; 由 得 ,即 ,故 B 正确; 由 ,得 ,故 C 正确; 由 ,得 ,又 ,故 ,故 正确. 故选 BCD.
10. AC 令 ,得 ,即 ,故 A 正确; 令 ,得 ,所以 ,故 B 错误; 令 ,得 ①,令 ,得 ②,则 ② 一①,得 ,所以 ,故 C 正确; 令 ,得 ③，令 ，得 ④，则④ - ③，得 ,故 D 错误. 故选 AC.
11. ABD 作 平面 ,垂足为 ,则 为 的外心,又 为等边三角形,所以 为 的中心,故 A 正确; 如图,有 ,化简得 , 由 知 正确; 内切圆的半径均为 ，所以 ， ,考虑到 不全相等,所以未必有 ,故 错误; 由 得, ,
即
故选 ABD.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.
由题意得, ,即 ,所以 .
13. 1
令 ,过 作 的垂线 ,在 上任取一点 , 则 ,过 作 的垂线 ,在 上任取一点 ,则 , 则 .
14.
设 ,则 ,对 求导得 ,所以 ,又 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,所以 轴. 在 中, ,在 中, ,所以 ,所以 ,所以 , 解得 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
(1)由题意得， 列联表如下:
性别 是否喜欢围棋 合计
是 否
男生 30 20 50
女生 20 30 50
合计 50 50 100
(2 分)
零假设 : 性别与喜欢围棋无关联.
根据列联表,得 , (5 分)
根据小概率值 的独立性检验,没有充分证据推断 不成立,
因此可以认为 成立,即性别与喜欢围棋无关联. (7 分)
(2)在甲第一局失败的条件下，甲最终获胜的概率有两种情况:
甲 3:1 胜乙,其概率 , (9 分)
甲 3:2 胜乙,其概率 , (12 分)
故甲最终获胜的概率 . (13 分)
16.(15分)
(1)由 得,
, (2 分)
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,则 ,所以 . (6 分)
(2) 中，由余弦定理得 ，
即 ①， (8 分)
因为 为 的角平分线,所以 ,
即 (11 分)
联立①②，解得 ， (13 分)
所以 . (15 分)
图 1
17.(15 分)
(1)由题意得二面角 的大小为 ，
如图 1,取 的中点 ,连接 ,
则 ,所以 为二面角 的平面角,
所以 . (2 分)
所以 ,又 ,所以 ,
所以 ,所以 ,即 . (4 分)
又 ,且 平面 ,
所以 平面 ,所以 . (5 分)
(2)(i)如图 2，取 的中点 ，连接 ，
显然 平面 ,因为 平面 ,所以平面 平面 , 又平面 平面 ,平面 平面 ,所以 . (7 分) 由 (1) 知, ,又 ,所以 . (9 分)
(ii) 如图 3,以 为坐标原点,分别以 为 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
所以 . (11 分)
设平面 的法向量为 ,
由 得 ,令 ,得 ,
所以平面 的一个法向量为 . (13 分)
所以点 到平面 的距离 . (15 分)
图 2
18.(17分)
(1)由题意得， ， ，所以 ，
所以 的方程为 . (3 分)
(2)(i)当直线 斜率存在时，此时直线 与 的右支有 2 个交点，满足题意. (4 分)
当直线 斜率不存在时,设直线 ,
联立 ,得 , (5 分)
由 两点均在 的右支,得
解得 或 . (7 分)
综上,直线 倾斜角的取值范围为 . (8 分)
(ii) 联立 ,得 ,
联立 ,得 . (9 分)
当直线 斜率存在时, ,此时 ,所以 . (10 分)
当直线 斜率不存在时, ,
则 ,
(13 分)
要证明 ,只需证 , (14 分)
只需证 ,只需证 , (15 分)
由 (i) 知, ,则 (*) 成立,所以 .
综上, . (17 分)
19.(17分)
(1)由题意得， . (1 分)
设 与 的切点为 ,
则 ,解得 ,所以 . (2 分)
由 与 相切,同理得 ,
所以 ,即 . (4 分)
(2)(i)由 得直线 与 有两个不同的交点，与 有两个不同的交点, (5 分)
由 (1) 知, 在 上单调递减,在 上单调递增; (6 分)
在 上单调递减,在 上单调递增, (7 分)
又 ,且 ;
,且 ,
作出函数 和 的图象,
由图象知, 的取值范围为 . (9 分)
(ii) 不妨设 ,
由 (i) 知, , (10 分)
显然 ,且 ,所以 ,
同理, . (12 分)
要证 ,只需证 ,
只需证 . (13 分)
又 ，只需证 . (15 分)
令函数 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，
由 得 ,所以 显然成立,
综上, . (17 分)
以上各解答题如有不同解法并且正确, 请按相应步骤给分.
满分150分，时间120分钟
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 每小题的四个选项中, 只有一项是最符合题目要 求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 设 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 如下一组数据:85，105，94，96，102，98，89，99，98，100，则这组数据的第 80 百分位数是 ( )
A. 102 B. 101 C. 100 D. 99
4. 在等差数列 中， ， ，则 ( )
A. 23 B. 21 C. 19 D. 17
5. 已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为( )
A. B. c. D.
6. 已知圆 与直线 相切,且经过坐标原点和 ,则圆 的半径为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象. 若 ,恰存在三个不同的实数 ,使得 ,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 若函数 在 内不单调,则实数 的取值范围为( )
A. B.
c. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 8 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 ,则( )
A. B.
C.
D.
10. 设 为数列 的前 项和,且 ,则( )
A. B.
C. D.
11. 在三棱锥 中， ，则下列说法正确的有( )
A. 若 ，则三棱锥 是正三棱锥
B. 若 ， ， 的周长均为 4 ，则三棱锥 是正三棱锥
C. 若 ， ， 的内切圆的面积均为 ，则三棱锥 是正三棱锥
D. 若 ，则三棱锥 是正三棱锥
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知向量 是单位向量，向量 在 上的投影向量为 ，向量 在 上的投影向量为 ，则 的最小值为_____.
14. 已知椭圆 的左、右焦点为 ，且 是抛物线 的焦点,记 与 的一个交点为 ,若直线 与 只有一个公共点,则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
某校积极推进 “五育并举” 育人实践，计划开设围棋选修课程，随机调查了 100 名学生，得到如下列联表.
性别 是否喜欢围棋 合计
是 否
男生 20
女生 20 50
合计 100
(1)补充完整列联表，根据 的独立性检验，能否认为性别与喜欢围棋有关联？
(2)为推动围棋课程开设，该校举办了围棋比赛，最后甲、乙两人晋级决赛，决赛规则如下:五周三胜,没有平局. 已知每局甲胜乙的概率为 ,在甲第一局失败的条件下,求甲最终获胜的概率. 附: ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. (15分)
在 中，内角 的对边分别是 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)若 ， 为 的角平分线，且 ，求 的面积.
17.(15分)
如图几何体是圆锥 的一部分，且 ，点 是 上一点(不与 ， 重合)， 二面角 的大小为 .
(1)求证: ；
(2)取 的中点 ，连接 ，若 平面 .
(i) 求 的度数;
(ii) 求点 到平面 的距离.
18.(17分)
已知双曲线 的渐近线方程为 和 ,右焦点为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 交 的右支于 ， 两点.
(i)求直线 倾斜角的取值范围；
(ii) 过 作 的平行线交 于 ,过 作 的平行线交 于 ,求证: .
19. (17 分)
已知 ,直线 与曲线 和 都相切.
(1)求 的值；
(2)若 ，其中 .
(i)求实数 的取值范围；
(ii) 求证: .
2026届高三2月学情检测数学参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A D C D B
1. ,所以 . 故选 B.
2. ,所以 . 故选 C.
3. B 将数据由小到大排序为:85,89,94,96,98,98,99,100,102,105,又 ,故这组数据的第 80 百分位数是 . 故选 B.
4. A 由题意得, ,则 ,所以 . 故选 A.
5. D 设轴截面的斜边为 2,则 ，所以 ，所以 . 故选 D.
6. 注意到点 在直线 上,所以圆心落在直线 上,又圆 过 和 ,所以圆心落在直线 上,联立 得 ,所以圆心为 ,所以半径 . 故选 C.
7. 由题意得, ,当 时, ,则 . 因为存在三个实数 ,使得 ,所以 是 的子集,由 图象知, ,解得 . 故选 D.
8. 由题意得, ,当 时, ,所以 在 上单调递增,所以由 在 内不单调得 ,即 ,解得 . 故选 B.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 BCD AC ABD
9. BCD 由 得 ,故 A 错误; 由 得 ,即 ,故 B 正确; 由 ,得 ,故 C 正确; 由 ,得 ,又 ,故 ,故 正确. 故选 BCD.
10. AC 令 ,得 ,即 ,故 A 正确; 令 ,得 ,所以 ,故 B 错误; 令 ,得 ①,令 ,得 ②,则 ② 一①,得 ,所以 ,故 C 正确; 令 ,得 ③，令 ，得 ④，则④ - ③，得 ,故 D 错误. 故选 AC.
11. ABD 作 平面 ,垂足为 ,则 为 的外心,又 为等边三角形,所以 为 的中心,故 A 正确; 如图,有 ,化简得 , 由 知 正确; 内切圆的半径均为 ，所以 ， ,考虑到 不全相等,所以未必有 ,故 错误; 由 得, ,
即
故选 ABD.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.
由题意得, ,即 ,所以 .
13. 1
令 ,过 作 的垂线 ,在 上任取一点 , 则 ,过 作 的垂线 ,在 上任取一点 ,则 , 则 .
14.
设 ,则 ,对 求导得 ,所以 ,又 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,所以 轴. 在 中, ,在 中, ,所以 ,所以 ,所以 , 解得 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
(1)由题意得， 列联表如下:
性别 是否喜欢围棋 合计
是 否
男生 30 20 50
女生 20 30 50
合计 50 50 100
(2 分)
零假设 : 性别与喜欢围棋无关联.
根据列联表,得 , (5 分)
根据小概率值 的独立性检验,没有充分证据推断 不成立,
因此可以认为 成立,即性别与喜欢围棋无关联. (7 分)
(2)在甲第一局失败的条件下，甲最终获胜的概率有两种情况:
甲 3:1 胜乙,其概率 , (9 分)
甲 3:2 胜乙,其概率 , (12 分)
故甲最终获胜的概率 . (13 分)
16.(15分)
(1)由 得,
, (2 分)
所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,则 ,所以 . (6 分)
(2) 中，由余弦定理得 ，
即 ①， (8 分)
因为 为 的角平分线,所以 ,
即 (11 分)
联立①②，解得 ， (13 分)
所以 . (15 分)
图 1
17.(15 分)
(1)由题意得二面角 的大小为 ，
如图 1,取 的中点 ,连接 ,
则 ,所以 为二面角 的平面角,
所以 . (2 分)
所以 ,又 ,所以 ,
所以 ,所以 ,即 . (4 分)
又 ,且 平面 ,
所以 平面 ,所以 . (5 分)
(2)(i)如图 2，取 的中点 ，连接 ，
显然 平面 ,因为 平面 ,所以平面 平面 , 又平面 平面 ,平面 平面 ,所以 . (7 分) 由 (1) 知, ,又 ,所以 . (9 分)
(ii) 如图 3,以 为坐标原点,分别以 为 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
所以 . (11 分)
设平面 的法向量为 ,
由 得 ,令 ,得 ,
所以平面 的一个法向量为 . (13 分)
所以点 到平面 的距离 . (15 分)
图 2
18.(17分)
(1)由题意得， ， ，所以 ，
所以 的方程为 . (3 分)
(2)(i)当直线 斜率存在时，此时直线 与 的右支有 2 个交点，满足题意. (4 分)
当直线 斜率不存在时,设直线 ,
联立 ,得 , (5 分)
由 两点均在 的右支,得
解得 或 . (7 分)
综上,直线 倾斜角的取值范围为 . (8 分)
(ii) 联立 ,得 ,
联立 ,得 . (9 分)
当直线 斜率存在时, ,此时 ,所以 . (10 分)
当直线 斜率不存在时, ,
则 ,
(13 分)
要证明 ,只需证 , (14 分)
只需证 ,只需证 , (15 分)
由 (i) 知, ,则 (*) 成立,所以 .
综上, . (17 分)
19.(17分)
(1)由题意得， . (1 分)
设 与 的切点为 ,
则 ,解得 ,所以 . (2 分)
由 与 相切,同理得 ,
所以 ,即 . (4 分)
(2)(i)由 得直线 与 有两个不同的交点，与 有两个不同的交点, (5 分)
由 (1) 知, 在 上单调递减,在 上单调递增; (6 分)
在 上单调递减,在 上单调递增, (7 分)
又 ,且 ;
,且 ,
作出函数 和 的图象,
由图象知, 的取值范围为 . (9 分)
(ii) 不妨设 ,
由 (i) 知, , (10 分)
显然 ,且 ,所以 ,
同理, . (12 分)
要证 ,只需证 ,
只需证 . (13 分)
又 ，只需证 . (15 分)
令函数 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，
由 得 ,所以 显然成立,
综上, . (17 分)
以上各解答题如有不同解法并且正确, 请按相应步骤给分.
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