湖南师大附中2025-2026学年下学期高三数学月考试卷七（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南师大附中2025-2026学年下学期高三数学月考试卷七（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 116.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-28 00:00:00 | ||
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文档简介
高三数学
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知命题 ,则命题 的否定为 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知幂函数 的定义域为 ,则 ( )
A. B. 2
C. D. 4
3. 甲、乙两名学生在学校组织的课后服务活动中,准备从①②③④③这 5 个项目中分别随机选择其中 1 个项目,记事件 : 甲和乙选择的项目不同,事件 : 甲和乙恰好一人选择项目①,则 ( )
A. B. C. D.
4. 若直线 . 过抛物线 的焦点,与抛物线交于 两点,且线段 中点的横坐标为 3,则弦 的长为 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 反射性元素的特征是不断发生同位素衰变, 而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量 (单位:贝克) 与时间 (单位:天)满足函数关系 ( 为自然对数的底数),其中 为 时该同位素的含量,已知当 时,该放射性同位素含量的瞬时变化率为 -1,则 ( )
A. 贝克 B. 贝克
C. 贝克 D. 贝克
6. 在 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中系数最小项的系数为 ( )
A. -126 B. -70 C. -56 D. -28
7. 若双曲线 不存在以点 为中点的弦,则正实数 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若函数 恰有三个零点时,关于 的函数 的零点个数为 ( )(参考数据: )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在复数范围内关于 的实系数一元二次方程 的两根为 ,其中 ,则 ( )
A. B. C. D.
10. 已知 的内角 的对边分别为 ，则 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则 是锐角三角形
C. 若 ,则 为钝角三角形
D. 若 为锐角三角形,且 ,则 的最小值为 8
11. 已知 ,若 ,且 (e 为自然对数的底数),则 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知集合 ,且 ,则 的取值范围是_____
13. 在三棱锥 中, , 都是等边三角形,且 ,则三棱锥 表面积的最大值为_____.
14. 某文件被切分成 个独立分片上传云端,每个分片上传成功的概率为 ,且相互独立. 当成功上传了 个分片时,文件可被成功恢复的概率为 . 为使文件最终成功恢复的概率不小于 ，正整数 的最小值为_____. (参考数据:
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知函数 .
(1)若 ,求 的值；
(2)若偶函数 与 的图象关于直线 对称,且 在 上单调递增, 求 的值.
16.(本小题满分 15 分)
在平面四边形 中， 为边长为 2 的正三角形， 为等腰三角形且 ，将 沿 向上翻折至 ，其中 为动点.
(1)若 ，证明: 平面 ；
(2)当直线 与平面 所成角的正弦值取到最大值时，求点 到平面 的距离.
17. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线交椭圆于 两点,若 的周长为 8 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，且 的斜率之积为 ，试判断 的面积 是否为定值，并说明理由.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 的定义域为 ,区间 ,当 时,如果 ,则称函数 是 上的凹函数. 若函数 在 上连续,在 上可导,则 为凹函数的充要条件是其导函数 在 上单调递增.
(1)证明:函数 是凹函数；
(2)若函数 是 上的凹函数，证明:对于任意的 和任意的 ,总有 ;
(3)求证:( ，其中 均为正数.
19. (本小题满分 17 分)
已知数列 满足 是公差为 2 的等差数列， 是首项为 4 的等比数列，且 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和；
(3)是否存在两个不同的正整数 ，使得 可以按某种顺序构成一个新的等差数列 如果存在,求出所有的 ; 如果不存在,请说明理由.
高三数学参考答案
题弓 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II
答案 C D B D C C A C BD ACD ACD
一、选择题:本题共 8 小题、每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C 在 中，符号“ ”改为“ ”,结论“ ”改为“ ”.
2. 由幂函数的概念可得 ,解得 或 . 当 时, . 定义域为 . 不符合题意。舍去:当 时, . 定义域为 . 符合题意,所以 . 所以 .
3. 由题意知, ,所以 .
4. D 因为抛物线为 ,所以 ,设 两点的横坐标分别为 ,因为线段 中点的横坐标为 3,则 ,即 . 故 .
5. C 因为 ,所以 ,令 得 . 所以 . 则 .
6. C 下只有第 5 项的二项式系数最大, 的展开式的通项为 , 展开式中奇数项的二项式系数与相应的系数相等,偶数项的二项式系数与相应的系数互为相反数. 而展开式中第 5 项的二项式系数最大, 因此展开式第 4 项和第 6 项的系数相等且最小。系数为 .
7. A 假设以 为中点的弦存在且与双曲线交于 ， 则 ,由 两式作差得: ,即 ,双曲线 的渐近线方程为 ,
当点 在双曲线上时,不存在以 为中点的弦,此时 ;
当点 在双曲线焦点所在的内部区域时, ,得 ,此时直线 的斜率 ,
则该直线与双曲线右支必有两个交点,且 为中点,所求弦存在;
当点 在双曲线外部 (无焦点区域) 时, ,得 ,此时直线 的斜率 , 当 时,请直线与双曲线左、右两支各有一个交点,且 为中点,则所求弦存在; 当 时,该直线与双曲线的左支无交点,则不存在以 为中点的弦,此时 . 综上,得 .
8.
当 时， 恒成立。
在 上单调递减,
.
当 时， 为偶函数，在 上单调递增，在 上单调递减，
,即 .
易得函数 为偶函数，由此作出函数 的大致图象如图 ] 所示，
由函数 恰有三个零点可得 .
由 得 .
所以将函数 的零点个数问题转化为函数 的图象与直线 的交点个数问题。 易得直线 与 轴的交点坐标为 ,在点 的左边.
又 可求得函数 斜率为 -1 的切线方程为 .
因为 ,所以 的图象与直线 必有 2 个交点,如图 2 所示.
即 的零点有 2 个.
图1
图2
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中. 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分. 部分选对的得部分分. 有选错的得 0 分.
9. BD 由题意得 . 又 ,故 ,故 B 正确; 则 ,故 ,故 A 错误; ,则 ,故 C 错误; ,故 D 正确.
10. ACD 对于 ，结合大角对大边得 ，
由正弦定理可得 ，故 正确；
对于 ，在 中. 若 ，即 ，
所以 ,只能得到角 为锐角,不能判断角 和角 是否也为锐角,所以 错误;
对于 . 因为 ,所以 ,
由正弦定理有 ,则由余弦定理有 .
则 为钝角，所以 为钝角三角形，所以 正确；
对于 D. 因为 ,所以 .
已知 ,则 ,
因为 为锐角三角形. 。两边同时除以 ，得 ，
又因为 ,所以 .
则 为锐角三角形. 故 .
所以 ,令 ,则 .
,
根据基本不等式得 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,即 的最小值为 8 . 故 D 正确.
11. ACD 由 ,可知 或
又 ,令 ,则 ,
所以当 时, 在 上单调递减,
当 时. 在 上单调递增,
当 且 . 此时 ,与题意不符合;
当 且 时, ,故 .
由 得 ,
所以 ,又 ,所以 ,所以 ,故 正确；
令 . 则 .
所以当 时, 在 上单调递增,
当 时, 在 上单调递减,
因为 ,所以当 时, ,
即 ,即 . 故 B 错误;
令 ,则 ,
记 ,则 ,
所以 ,则 ,所以 在 上单调递增,
所以 ,即 ,即 ,所以 ,即 ,故 正确;
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,
所以 . 即 . 故 D 正确.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 因 到直线 的距离为 ,因为 ,所以直线和圆相离，故 .
又 ,故 的取值范围为 .
13. 如图,取 的中点 ,连接 ,
都是等边三角形,
,
因此有 .
又因为 ,所以
.
所以三棱锥 表面积为 ,
当且仅当 ，即 时取等，
综上,三棱锥 表面积的最大值为 .
14. 13 记文件最终成功恢复为事件 ，则由全概率公式:
.
令 ,得 ,
所以 的最小值为 13 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. . 2 分
(1) ,即 , 3 分
又 . 4 分
. 6 分
(2) . 当 时, 在 上单调递增,
, 9 分
在 的图象上任取一点 ,它关于直线 的对称点为 ,
由题设条件,点 在 的图象上,
从而 . 11 分
又 为偶函数,则 . 12 分
又 . 13 分
16.(1)因为 ，
所以 ,所以 . 3 分
又因为 . 且 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)如图，建立以 为原点的空间直角坐标系。设二面角 的平面角为 0。
则 .
所以 ,平面 的法向量为 . 8 分
设直线 与平面 所成角为 .
则 . 10 分
设 ,
设 .
所以 .
当且仅当 ,即 时取等号,直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ,
此时 .
设点 到平面 的距离为 ,点 . 到平面 的距离为 .
因为 ,即 ,所以 . 15 分
17.(1)因为 的周长为 8,所以 ，解得 。 2 分
由 ,得 ,所以 ,
因此椭圆 的标准方程为 . 5 分
(2) 法一: 设 . 则 . 即 . 8 分由 得 , 10 分
所以 .
直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，
所以 ,为定值. 15 分
法二: 依题可设 ,其中 ,即 .
若直线 不垂直于 轴,设直线 的方程为 。
联立 得 .
所以 ,且
所以 . 9 分
由 ,得 . 11 分
又因为 .
原点 到直线 的距离为 . 13 分
所以 ,
若直线 垂直于 轴,易知 .
综上可知, 的面积 为定值. 15 分
法三: 设直线 的方程分别为 .
联立 得 ,同理 . 9 分
点 到直线 的距离为 ,
所以
所以 的面积 为定值. 15 分
18.(1) ,所以 ,所以函数 在 上为凹函数. 4 分
(2) 证明: 不妨设 ,则 ,
令 ,因为函数 为区间 上的凹函数,且 ,
所以 ,
6 分
化简得 ,
,
,
.
.
. 10 分
(3)因为当 时, . 当且仅当 时取等号.
所以要证 ,只需证 成立.
同时取自然对数得 . 即证 成立.
也即证 成立. 13 分
由 (1) 知 是凹函数,
由 (2),取 ,即 . 15 分
所以 。故原不等式成立.
因此当 均为正数时, . 17 分
19.(1)因为 ,所以 . 故 .
所以 ，又因为 是公差为 2 的等差数列.
所以 ,
由已知 ,得 .
解得: ,
故 ,
所以 . 5 分
(2) 由题意. . 记数列 的前 项和为 .
,①
,②
于是① ② 得: ,
即 ,③
令 . ④
则 ;⑤
于是④ 一⑤得: .
所以 .
代入③式化简得: . 10 分
(3)假设存在两个不同的正整数 ， 满足条件。
因为 ，所以数列 是递减数列。
故 ,注意到 ,于是有 .
由题意 . 即 .
整理得: ,故 ,所以 ,
注意到等式右边为偶数. 由奇偶性分析可得 ,即 ,此时 ,
但此时 分别为一 ,不满足 ,
故不存在满足条件的正整数3,1. 17 分
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知命题 ,则命题 的否定为 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知幂函数 的定义域为 ,则 ( )
A. B. 2
C. D. 4
3. 甲、乙两名学生在学校组织的课后服务活动中,准备从①②③④③这 5 个项目中分别随机选择其中 1 个项目,记事件 : 甲和乙选择的项目不同,事件 : 甲和乙恰好一人选择项目①,则 ( )
A. B. C. D.
4. 若直线 . 过抛物线 的焦点,与抛物线交于 两点,且线段 中点的横坐标为 3,则弦 的长为 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 反射性元素的特征是不断发生同位素衰变, 而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量 (单位:贝克) 与时间 (单位:天)满足函数关系 ( 为自然对数的底数),其中 为 时该同位素的含量,已知当 时,该放射性同位素含量的瞬时变化率为 -1,则 ( )
A. 贝克 B. 贝克
C. 贝克 D. 贝克
6. 在 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中系数最小项的系数为 ( )
A. -126 B. -70 C. -56 D. -28
7. 若双曲线 不存在以点 为中点的弦,则正实数 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若函数 恰有三个零点时,关于 的函数 的零点个数为 ( )(参考数据: )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在复数范围内关于 的实系数一元二次方程 的两根为 ,其中 ,则 ( )
A. B. C. D.
10. 已知 的内角 的对边分别为 ，则 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则 是锐角三角形
C. 若 ,则 为钝角三角形
D. 若 为锐角三角形,且 ,则 的最小值为 8
11. 已知 ,若 ,且 (e 为自然对数的底数),则 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知集合 ,且 ,则 的取值范围是_____
13. 在三棱锥 中, , 都是等边三角形,且 ,则三棱锥 表面积的最大值为_____.
14. 某文件被切分成 个独立分片上传云端,每个分片上传成功的概率为 ,且相互独立. 当成功上传了 个分片时,文件可被成功恢复的概率为 . 为使文件最终成功恢复的概率不小于 ，正整数 的最小值为_____. (参考数据:
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知函数 .
(1)若 ,求 的值；
(2)若偶函数 与 的图象关于直线 对称,且 在 上单调递增, 求 的值.
16.(本小题满分 15 分)
在平面四边形 中， 为边长为 2 的正三角形， 为等腰三角形且 ，将 沿 向上翻折至 ，其中 为动点.
(1)若 ，证明: 平面 ；
(2)当直线 与平面 所成角的正弦值取到最大值时，求点 到平面 的距离.
17. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线交椭圆于 两点,若 的周长为 8 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，且 的斜率之积为 ，试判断 的面积 是否为定值，并说明理由.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 的定义域为 ,区间 ,当 时,如果 ,则称函数 是 上的凹函数. 若函数 在 上连续,在 上可导,则 为凹函数的充要条件是其导函数 在 上单调递增.
(1)证明:函数 是凹函数；
(2)若函数 是 上的凹函数，证明:对于任意的 和任意的 ,总有 ;
(3)求证:( ，其中 均为正数.
19. (本小题满分 17 分)
已知数列 满足 是公差为 2 的等差数列， 是首项为 4 的等比数列，且 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和；
(3)是否存在两个不同的正整数 ，使得 可以按某种顺序构成一个新的等差数列 如果存在,求出所有的 ; 如果不存在,请说明理由.
高三数学参考答案
题弓 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II
答案 C D B D C C A C BD ACD ACD
一、选择题:本题共 8 小题、每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C 在 中，符号“ ”改为“ ”,结论“ ”改为“ ”.
2. 由幂函数的概念可得 ,解得 或 . 当 时, . 定义域为 . 不符合题意。舍去:当 时, . 定义域为 . 符合题意,所以 . 所以 .
3. 由题意知, ,所以 .
4. D 因为抛物线为 ,所以 ,设 两点的横坐标分别为 ,因为线段 中点的横坐标为 3,则 ,即 . 故 .
5. C 因为 ,所以 ,令 得 . 所以 . 则 .
6. C 下只有第 5 项的二项式系数最大, 的展开式的通项为 , 展开式中奇数项的二项式系数与相应的系数相等,偶数项的二项式系数与相应的系数互为相反数. 而展开式中第 5 项的二项式系数最大, 因此展开式第 4 项和第 6 项的系数相等且最小。系数为 .
7. A 假设以 为中点的弦存在且与双曲线交于 ， 则 ,由 两式作差得: ,即 ,双曲线 的渐近线方程为 ,
当点 在双曲线上时,不存在以 为中点的弦,此时 ;
当点 在双曲线焦点所在的内部区域时, ,得 ,此时直线 的斜率 ,
则该直线与双曲线右支必有两个交点,且 为中点,所求弦存在;
当点 在双曲线外部 (无焦点区域) 时, ,得 ,此时直线 的斜率 , 当 时,请直线与双曲线左、右两支各有一个交点,且 为中点,则所求弦存在; 当 时,该直线与双曲线的左支无交点,则不存在以 为中点的弦,此时 . 综上,得 .
8.
当 时， 恒成立。
在 上单调递减,
.
当 时， 为偶函数，在 上单调递增，在 上单调递减，
,即 .
易得函数 为偶函数，由此作出函数 的大致图象如图 ] 所示，
由函数 恰有三个零点可得 .
由 得 .
所以将函数 的零点个数问题转化为函数 的图象与直线 的交点个数问题。 易得直线 与 轴的交点坐标为 ,在点 的左边.
又 可求得函数 斜率为 -1 的切线方程为 .
因为 ,所以 的图象与直线 必有 2 个交点,如图 2 所示.
即 的零点有 2 个.
图1
图2
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中. 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分. 部分选对的得部分分. 有选错的得 0 分.
9. BD 由题意得 . 又 ,故 ,故 B 正确; 则 ,故 ,故 A 错误; ,则 ,故 C 错误; ,故 D 正确.
10. ACD 对于 ，结合大角对大边得 ，
由正弦定理可得 ，故 正确；
对于 ，在 中. 若 ，即 ，
所以 ,只能得到角 为锐角,不能判断角 和角 是否也为锐角,所以 错误;
对于 . 因为 ,所以 ,
由正弦定理有 ,则由余弦定理有 .
则 为钝角，所以 为钝角三角形，所以 正确；
对于 D. 因为 ,所以 .
已知 ,则 ,
因为 为锐角三角形. 。两边同时除以 ，得 ，
又因为 ,所以 .
则 为锐角三角形. 故 .
所以 ,令 ,则 .
,
根据基本不等式得 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,即 的最小值为 8 . 故 D 正确.
11. ACD 由 ,可知 或
又 ,令 ,则 ,
所以当 时, 在 上单调递减,
当 时. 在 上单调递增,
当 且 . 此时 ,与题意不符合;
当 且 时, ,故 .
由 得 ,
所以 ,又 ,所以 ,所以 ,故 正确；
令 . 则 .
所以当 时, 在 上单调递增,
当 时, 在 上单调递减,
因为 ,所以当 时, ,
即 ,即 . 故 B 错误;
令 ,则 ,
记 ,则 ,
所以 ,则 ,所以 在 上单调递增,
所以 ,即 ,即 ,所以 ,即 ,故 正确;
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,
所以 . 即 . 故 D 正确.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 因 到直线 的距离为 ,因为 ,所以直线和圆相离，故 .
又 ,故 的取值范围为 .
13. 如图,取 的中点 ,连接 ,
都是等边三角形,
,
因此有 .
又因为 ,所以
.
所以三棱锥 表面积为 ,
当且仅当 ，即 时取等，
综上,三棱锥 表面积的最大值为 .
14. 13 记文件最终成功恢复为事件 ，则由全概率公式:
.
令 ,得 ,
所以 的最小值为 13 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. . 2 分
(1) ,即 , 3 分
又 . 4 分
. 6 分
(2) . 当 时, 在 上单调递增,
, 9 分
在 的图象上任取一点 ,它关于直线 的对称点为 ,
由题设条件,点 在 的图象上,
从而 . 11 分
又 为偶函数,则 . 12 分
又 . 13 分
16.(1)因为 ，
所以 ,所以 . 3 分
又因为 . 且 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)如图，建立以 为原点的空间直角坐标系。设二面角 的平面角为 0。
则 .
所以 ,平面 的法向量为 . 8 分
设直线 与平面 所成角为 .
则 . 10 分
设 ,
设 .
所以 .
当且仅当 ,即 时取等号,直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ,
此时 .
设点 到平面 的距离为 ,点 . 到平面 的距离为 .
因为 ,即 ,所以 . 15 分
17.(1)因为 的周长为 8,所以 ，解得 。 2 分
由 ,得 ,所以 ,
因此椭圆 的标准方程为 . 5 分
(2) 法一: 设 . 则 . 即 . 8 分由 得 , 10 分
所以 .
直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，
所以 ,为定值. 15 分
法二: 依题可设 ,其中 ,即 .
若直线 不垂直于 轴,设直线 的方程为 。
联立 得 .
所以 ,且
所以 . 9 分
由 ,得 . 11 分
又因为 .
原点 到直线 的距离为 . 13 分
所以 ,
若直线 垂直于 轴,易知 .
综上可知, 的面积 为定值. 15 分
法三: 设直线 的方程分别为 .
联立 得 ,同理 . 9 分
点 到直线 的距离为 ,
所以
所以 的面积 为定值. 15 分
18.(1) ,所以 ,所以函数 在 上为凹函数. 4 分
(2) 证明: 不妨设 ,则 ,
令 ,因为函数 为区间 上的凹函数,且 ,
所以 ,
6 分
化简得 ,
,
,
.
.
. 10 分
(3)因为当 时, . 当且仅当 时取等号.
所以要证 ,只需证 成立.
同时取自然对数得 . 即证 成立.
也即证 成立. 13 分
由 (1) 知 是凹函数,
由 (2),取 ,即 . 15 分
所以 。故原不等式成立.
因此当 均为正数时, . 17 分
19.(1)因为 ,所以 . 故 .
所以 ，又因为 是公差为 2 的等差数列.
所以 ,
由已知 ,得 .
解得: ,
故 ,
所以 . 5 分
(2) 由题意. . 记数列 的前 项和为 .
,①
,②
于是① ② 得: ,
即 ,③
令 . ④
则 ;⑤
于是④ 一⑤得: .
所以 .
代入③式化简得: . 10 分
(3)假设存在两个不同的正整数 ， 满足条件。
因为 ，所以数列 是递减数列。
故 ,注意到 ,于是有 .
由题意 . 即 .
整理得: ,故 ,所以 ,
注意到等式右边为偶数. 由奇偶性分析可得 ,即 ,此时 ,
但此时 分别为一 ,不满足 ,
故不存在满足条件的正整数3,1. 17 分
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