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第三章 《图形的平移与旋转》导学案
3.2图形的旋转（中心对称）
学习目标与重难点
学习目标：
1、了解中心对称、中心对称图形的概念，探索中心对称的性质；
2、能够运用中心对称的性质作中心对称图形；
3、通过图形间的变换关系，可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受图形是相互联系和规律的变化， 激发学生的好奇心和求知欲望，获得成功的体验.
学习重点：
能判断一个图形是否为中心对称图形，并利用中心对称的性质进行作图.
学习难点：
中心对称与中心对称图形的联系与区别，运用中心对称的性质作图的方法.
预习自测
一、知识链接
1.轴对称图形和轴对称的概念是什么？
（1）轴对称：如果把一个图形沿着一条直线对折后，与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，两个图形中相互重合的点叫做对称点，这条直线叫做对称轴。
（2）轴对称图形：如果把一个图形沿某条直线对折，对折后图形的一部分与另一部分完全重合，我们把具有这样性质的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称的性质是什么？
（1）任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段关于对称轴对称。
自学自测
观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是 （填写序号
如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．
教学过程
一、探究中心对称定义
1、观察下图，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？
2、观察图形旋转过程，发现什么？
旋转180°与原图完成重合
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度，它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。如图3-20，△ABC与△A′B′C′成中心对称，点O是它们的对称中心。这个图形是中心对称图形。
中心对称是一种特殊的旋转，其特殊之处就在于其旋转角是180度。
二、探究中心对称性质
1、观察图形，发现什么？
2、中心对称性质
（1）：OA =OA',OB=OB', OC=OC',即对称中心平分对称点所连的线段。
（2）中心对称的两个图形是全等图形．
2、欣赏中心对称图形
中心对称与轴对称的区别与联系
轴对称 中心对称
有一条对称轴——直线 有一个对称中心——点
图形沿对称轴对折后重合 图形绕对称中心旋转180°后重合
对称点的连线被对称轴垂直平分 对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分
三、典例精析
例1：如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A'B'C'D'.
分析：要画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，只要画出A，B，C，D四点关于点O的对称点，再顺次连接各对应点即可.
作法：
连接AO并延长到A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'；
同理，可作出点B，C，D的对应点B'，C'，D'；
顺次连接A'，B'，C'，D'，则四边形A'B'C'D'即为所作.
例2：如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形
作法：
1.连接BO并延长到B'，使OB'=OB，连接DO并延长到D'，使OD'=OD，连接CO并延长到C'，使OC'=OC，
2.顺次连接E，B'，C'，D'，A则四边形AB'C'D' E就是五边形ABCDE成中心对称图形.
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 角 B. 等边三角形 C. 线段 D. 平行四边形
3.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4.如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有（ ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
5. 判断下列说法是否正确。
（1）轴对称图形也是中心对称图形。（ ）
（2）旋转对称图形也是中心对称图形。（ ）
（3）平行四边形、长方形和正方形都是中心对称图形，对角线的交点是它们的对称中心。（ ）
（4）角是轴对称图形也是中心对称图形。（ ）
（5）在成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 （ ）
能力提升：
6、在方格纸中选择标有序号的一个小正方形涂上颜色，与图中阴影部分构成中心对称图形，应选 。
拓展迁移
7.正三角形是中心对称图形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？……你能发现什么规律？
规律：边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
8.如图，在10×10的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)．
(1)请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△ABC；
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A BC中，点C的坐标是______；
(3)当△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△ABC，求点C所经过的路径长．
9.如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.
操作发现：如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，
(1)猜想线段DE与AC的位置关系是__________，并加以证明；
(2)设△BDC的面积为S，△AEC的面积为，则S与S的数量关系是__________，并加以证明．
总结反思、拓展升华
1、中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180度，它能与另一个图形重合，这个点是它们的对称中心。这个图形是中心对称图形。
2、中心对称图形的性质
①对称中心平分对称点所连的线段。
②中心对称的两个图形是全等图形．
3、作中心对称图形
五、【作业布置】
基础达标：
1. 下图是几种名车标志,其中是轴对称图形的有 (填序号),是中心对称图形的有 (填序号).
2.观察图形，并回答下面的问题：
（1）哪些只是轴对称图形？
（2）哪些只是中心对称图形？
（3）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？
3.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积
是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
4.以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 .
能力提升：
5.如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心O.
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是 ．
拓展迁移：
7.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高为 .
8.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 。
9.如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上，且∠ADC＝45°.
(1)求∠BCD的度数；
(2)将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′，当点D′恰好落在BC边上时，如图2所示，连接C′C并延长交AB于点E.
①求∠C′CB的度数；
②求证：△C′BD′≌△CAE.
课堂作业参考答案
C
C
A
D
×，×，√，× ，√
④
7、正方形、正六边形是中心对称图形，规律：边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
8、解：(1)如图，△AB C为所作；
(2)如图，△A B C为所作，点C的坐标是( 3, 4)；
故答案为( 3, 4)；
（3）
所以点C所经过的路径长
9、解：(1)DE∥AC
证明：∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD.
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°.
∵∠CDE＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠CDE.
∴DE∥AC.
(2)S＝S
证明：由(1)知△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD＝AD.
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴CD＝AC＝AD＝ AB.
∴BD＝AD＝AC.
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC，AD上的高相等，又DE∥AC，
∴易得△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S＝S
课外作业参考答案
①②③，①④⑤
2、（1）（3），（4）、（6）；（2） （1）；（3） （2），（5）
3、B
4、①，②，③； ①，③
5、解法1：连接对应点，对应点的交点就是对称中心。
解法2：连接其中一组对应点，作线段的垂直平分线，其交点就是对称中心。
6、3
解答提示：取AB的中点E，连接CE,PE,证三角形BCE为等边三角形，再证△BCQ≌△BEP，PE=CQ当EP垂直AC时,EP值最小，即CQ最小。
7、8
解析：因为△AOB与△DOC成中心对称，所以△COD≌△AOB
△COD与△AOB的面积相等为12
CD=AB=3
故CD边上的高为8
8、3
解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对称，由此图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中，易得阴影部分的面积为3．
9、解：(1)∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠B＝∠A＝30°.
∵∠ADC＝45°，∴∠BCD＝∠ADC－∠B＝15°
(2)①由旋转，得BC＝BC′＝AC，∠C′BD′＝∠CBD＝∠A＝30°.
∴∠CC′B＝∠C′CB＝75°
②证明：∵∠CEB＝∠C′CB－∠CBA＝45°，
∴∠ACE＝∠CEB－∠A＝15°.∴∠BC′D′＝∠BCD＝∠ACE.
在△C′BD′和△CAE中,
∴△C′BD′≌△CAE(ASA)
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第三章 图形的平移与旋转
3.2图形的旋转（中心对称）
01
教学目标
02
知识回顾
03
探究新知
04
典例精析
06
课堂小结
07
作业布置
05
课堂练习
01
教学目标
了解中心对称、中心对称图形的概念，探索中心对称的性质；
01
能够运用中心对称的性质作中心对称图形；
02
通过图形间的变换关系，可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受图形是相互联系和规律的变化， 激发学生的好奇心和求知欲望，获得成功的体验.
03
02
复习导入
1.轴对称和轴对称图形的概念
（1）轴对称：如果把一个图形沿着一条直线对折后，与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，两个图形中相互重合的点叫做对称点，这条直线叫做对称轴。
（2）轴对称图形：如果把一个图形沿某条直线对折，对折后图形的一部分与另一部分完全重合，我们把具有这样性质的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
02
复习导入
2.轴对称的性质是什么？
(1).任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分；
(2).对应线段关于对称轴对称。
3.观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是_________．（填写序号）
②
02
复习导入
4
4.如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．
03
新知探究
1、观察下图，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？
探究中心对称
03
新知探究
2、观察图形旋转过程，发现什么？
旋转180°与原图完成重合
03
新知探究
中心对称是一种特殊的旋转，其特殊之处就在于其旋转角是180度。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度，它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。如图3-20，△ABC与△A′B′C′成中心对称，点O是它们的对称中心。这个图形是中心对称图形。
03
新知探究
探究中心对称性质
中心对称性质（1）：OA =OA',OB=OB', OC=OC',即对称中心平分对称点所连的线段。
中心对称性质（2）中心对称的两个图形是全等图形．
观察图形，发现什么？
03
新知探究
欣赏中心对称图形
03
新知探究
中心对称与轴对称的区别与联系
轴对称 中心对称
有一条对称轴——直线 有一个对称中心——点
图形沿对称轴对折后重合 图形绕对称中心旋转180°后重合
对称点的连线被对称轴垂直平分 对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分
04
典例精析
例1：如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A'B'C'D'.
A
B
C
D
O
分析：要画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，只要画出A，B，C，D四点关于点O的对称点，再顺次连接各对应点即可.
探究中心对称作图
04
典例精析
作法：
1.连接AO并延长到A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'；
2.同理，可作出点B，C，D的对应点B'，C'，D'；
3.顺次连接A'，B'，C'，D'，则四边形A'B'C'D'即为所作.
A
B
C
D
O
A'
B'
C'
D'
04
典例精析
例2：如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形。
04
典例精析
作法：
1.连接BO并延长到B'，使OB'=OB，
连接DO并延长到D'，使OD'=OD，
连接CO并延长到C'，使OC'=OC，
2.顺次连接E，B'，C'，D'，A则四边
形AB'C'D' E就是五边形ABCDE成中
心对称图形.
知识要点1
把一个图形绕着某一点旋转180度，它能与另一个图形重合，这个点是它们的对称中心。这个图形是中心对称图形。
中心对称
中心对称图形的性质
1、对称中心平分对称点所连的线段。
2、中心对称的两个图形是全等图形．
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 角 B. 等边三角形 C. 线段 D. 平行四边形
3.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4.如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有（ ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
C
A
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5. 判断下列说法是否正确。
（1）轴对称图形也是中心对称图形。（ ）
（2）旋转对称图形也是中心对称图形。（ ）
（3）平行四边形、长方形和正方形都是中心对称图形，对角线的交点是它们的对称中心。（ ）
（4）角是轴对称图形也是中心对称图形。（ ）
（5）在成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 （ ）
×
×
√
×
√
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6、在方格纸中选择标有序号的一个小正方形涂上颜色，与图中阴影部分构成中心对称图形，应选____。
① ②
③
④
④
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.正三角形是中心对称图形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？……你能发现什么规律？
规律：边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
×
√
×
√
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
8.如图，在10×10的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)．
(1)请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB C ；
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A B C 中，点C 的坐标是______；
(3)当△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB C ，求点C所经过的路径长．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(1)如图，△AB C 为所作；
(2)如图，△A B C 为所作，点C 的坐标是( 3, 4)；
故答案为( 3, 4)；
所以点C所经过的路径长
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.
操作发现：如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，
(1)猜想线段DE与AC的位置关系是__________，并加以证明；
(2)设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是__________，并加以证明．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(1)DE∥AC
证明：∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD.
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°.
∵∠CDE＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠CDE.
∴DE∥AC.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
(2)S1＝S2
证明：由(1)知△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD＝AD.
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴CD＝AC＝AD＝ AB.
∴BD＝AD＝AC.
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC，AD上的高相等，又DE∥AC，
∴易得△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1＝S2
05
课堂小结
1.中心对称的概念。
2.中心对称的性质：
（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
(2)中心对称的两个图形是全等图形．
3.中心对称图形。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 下图是几种名车标志,其中是轴对称图形的有____________________(填序号),
是中心对称图形的有_______________(填序号).
(1)（2)（3）
(1)（4)（5）
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.观察图形，并回答下面的问题：
（1）哪些只是轴对称图形？
（2）哪些只是中心对称图形？
（3）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？
（１）
（３）
（２）
（４）
（５）
（６）
（3）（4）（6）
（2）（5）
（1）
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积
是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
4.以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 .
A
B
C
D
O
B
一石激起千层浪
①
汽车方向盘
②
铜钱
③
①
②
③
①
③
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心O.
A
B
C
A′
B′
C′
解法1：连接对应点，对应点的交点就是对称中心。
解法2：连接其中一组对应点，作线段的垂直平分线，其交点就是对称中心。
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．
解答提示：
取AB的中点E，连接CE,PE,
证三角形BCE为等边三角形，
再证△BCQ≌△BEP，PE=CQ
当EP垂直AC时,EP值最小，
即CQ最小。
3
06
作业布置
【综合拓展类作业】
7.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高为________.
8
解析：因为△AOB与△DOC成中心对称，所以△COD≌△AOB
△COD与△AOB的面积相等为12
CD=AB=3
故CD边上的高为8
06
作业布置
【综合拓展类作业】
8.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为_______
解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对称，由此图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中，易得阴影部分的面积为3．
3
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上，且∠ADC＝45°.
(1)求∠BCD的度数；
(2)将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′，当点D′恰好落在BC边上时，如图2所示，连接C′C并延长交AB于点E.
①求∠C′CB的度数；
②求证：△C′BD′≌△CAE.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠B＝∠A＝30°.
∵∠ADC＝45°，∴∠BCD＝∠ADC－∠B＝15°
(2)①由旋转，得BC＝BC′＝AC，∠C′BD′＝∠CBD＝∠A＝30°.
∴∠CC′B＝∠C′CB＝75°
②证明：∵∠CEB＝∠C′CB－∠CBA＝45°，
∴∠ACE＝∠CEB－∠A＝15°.∴∠BC′D′＝∠BCD＝∠ACE.
在△C′BD′和△CAE中,
∴△C′BD′≌△CAE(ASA)
∠BC′D′=∠ACE
BC′=AC
∠C′BD′=∠A
Thanks!
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 下册第三章
课标要求 1、让学生经历观察、操作、欣赏和设计的过程，进行图形的平移、旋转和中心对称的基本性质的探索2、能在方格纸上作出平移、旋转、中心对称图形。3、在同一平面直角坐标系中，感受平移点坐标的变化。
内容分析 本单元是平面图形在同一平面内运动、平移、旋转与中心对称。通过生活实例认识平移、旋转、中心对称，并且理解平移、旋转、中心对称的基本性质。能在方格纸上作出平移、旋转、中心对称图形。在同一平面直角坐标系中，感受平移点坐标的变化。5、感受并设计平移、旋转、中心对称组合图形的图案
学情分析 学生已经学习了轴对称和位置坐标，初步积累了一定的图形变化的数学活动经验，能在平面直角坐标系中确定点的位置。本章在此基础上。让学生经历观察、分析、画图、设计等数学活动，丰富学生对图形变化的认识。使学生正确把握图形的平移、旋转、中心对称的图形性质。呈现内容以现实生活中的内容为情景，如超市电梯、游乐场旋转木马是学生相对轻松有趣的活动激发了学生的学习兴趣，培养学生的运用意识。
单元目标 教学目标掌握平移、旋转、中心对称的概念；掌握图形的平移和旋转的基本性质，中心对称和中心对称图形的性质；掌握在平面坐标系中图形平移后坐标的变化规律。2、在方格纸上能够画出经过平移或旋转后的图形，知道中心对称图形的部分图形画出另一部分图形。3、构建本章知识网络图，明确平移、旋转、中心对称的性质，梳理知识间的关系。根据所学知识创造性设计图案。4、通过对生活中的典型图案的观察、分析、欣赏的过程，增强学生对数学审美意识。通过学生之间的交流、讨论，培养学生的合作意识，（二）教学重点、难点重点：图形的平移、旋转、中心对称的基本性质。难点：图形的平移、旋转、中心对称的基本性质以及性质的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01图形的平移（平移定义与性质）102图形的平移（x轴或y轴平移）103图形的平移（x轴y轴平移）104图形的旋转（旋转定义与性质）105图形的旋转（旋转作图）106图形的旋转（中心对称）107简单的图片设计108活动探究最短距离问题109回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务图形的平移（平移定义与性质）1、通过具体实例认识平面图形的平移，探索它的基本性质，会进行简单的平移画图。2、经历有关平移的观察、操作、分析和抽象、概括等过程，进一步积累数学活动经验，增强动手实践能力，发展空间观念。1、学生观看视频思考问题。2、理解平移的定义、平移的要素、特征，完成4个练习。3、观察、思考，小组讨论得出平移的基本性质。4、根据平移的性质正确作出平移后的图形。5、完成课堂练习。6、课堂总结。环节一：场景导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置图形的平移（x轴或y轴平移）1.在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标．2．知道沿坐标轴平移前后两图形对应顶点坐标之间的关系.3.通过“变化的鱼”探究横向(或纵向)平移一次，其坐标变化的规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系.4.经历在坐标系中有关平移的观察、操作、分析及抽象等活动，积累数学活动经验.1、回顾平移的定义和平移的性质.2、学生自主画出四种平移后的新“鱼”，培养学生的动手能力.3、让学生对比画出的新“鱼”，再进行交流，找出规律，培养学生探究的兴趣、小组合作的能力.4、总结平移规律：沿x轴平移右加左减，纵坐标不变；沿y轴平移上加下减，横坐标不变。5、学生独立完成例题解答，教师关注中下生。6、完成课堂练习。7、课堂总结。环节一：复习导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置图形的平移（x轴y轴平移）1、继续探究一次平移既有横向又有纵向时坐标的变化特点。2、在探究图形的平移与坐标变化关系的过程中，体会知识的形成过程及数形结合的方法，积累数学经验。3、通过观察生活中“平移”的实例，感受“生活中处处有数学”，激发学生学习数学的兴趣。1、回顾沿x轴或y轴平移坐标变化规律，完成第3题习题，问题导入新课。2、观察、猜想、交流总结图形两次平移坐标变化规律。3、理解平移方向和计算平移距离。4、自学例题，提出疑问。5、完成课堂练习。6、课堂总结。环节一：复习导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置图形的旋转（旋转定义与性质）1. 学生通过具体实例认识平面图形的旋转，理解旋转的基本要素. 2. 掌握旋转的性质并能解决简单的旋转问题. 3.学生亲身经历实验操作—观察—发现—猜想—验证—归纳等过程，进一步积累数学活动经验，发展合情推理能力，体会图形运动中的变与不变，培养空间观念.1、学生观看动画，试着描述线段和三角形的运动过程。2、学生自学后，师生共同讨论。旋转方向、旋转中心、旋转角度、对应点、对应角。3、动手操作，小组合作交流、教师引导得出旋转的性质。4、自学例题1、2，关注中差生。5、完成课堂练习。6、课堂总结。环节一：场景导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置图形的旋转（旋转作图）能根据旋转的三要素与旋转的基本性质作出简单平面图形旋转后的图形，进一步培养学生用尺规作图的能力。经历对具有旋转特征的图形的观察、操作、画图等过程， 完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、 从感性认识到理性认识的转变， 发展学生的直观能力，分析、归纳、抽象概括的思维能力。体验和感受数学活动的探索性，拉近数学与生活的距离，使学生充分感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感。观看动画演示平移、旋转过程，复述平移、旋转的性质。2、利用已有的知识作出已知线段旋转一定角度后的线段。3、根据旋转的性质作三角形旋转后的图形（注意旋转的三要素）4、理解往往平移和旋转同时存在。5、学生试着按要求作图，并复述作图过程。6、完成课堂练习。7、课堂总结。环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置图形的旋转（中心对称）1、了解中心对称、中心对称图形的概念，探索中心对称的性质；2、能够运用中心对称的性质作中心对称图形；3、通过图形间的变换关系，可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受图形是相互联系和规律的变化， 激发学生的好奇心和求知欲望，获得成功的体验.回顾旧知，学生之间互相补充。独立完成两个习题。3、观察图形的变换，得出中心对称的定义和性质。4、小组讨论中心对称与轴对称的联系与区别。5、根据中心对称图形的性质，教师讲述中心对称的作图要点，学生根据要点作图。6、完成课堂练习。7、课堂总结。环节一：回顾旧知环节二：探究中心对称的定义与性质。环节三：典例精析（中心对称作图）环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置简单的图片设计1、认识和欣赏平移,旋转在现实生活中的应用,能够灵活运用轴对称、平移、旋转的组合,设计出简单的图案.2、经历对生活中的典型图案进行观察、分析、欣赏等过程,进一步发展空间观念、增强审美意识.3、通过学生之间的交流、讨论、培养学生的合作精神.1、欣赏图片，增强审美意识。简述图案变化过程。2、观看动画演示，小组讨论图案的形成过程。3、学生按要求设计图案。4、分析图案的形成过程，用语言正确的表达出来。5、完成课堂练习。6、课堂总结。环节一：欣赏图片环节二：探究图片形成过程。环节三：操作与思考环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置活动探究最短距离问题能利用轴对称、平移、旋转的性质解决“两点在一条直线异侧”的最短路径问题。通过“将军饮马”模型的探究，体会“化折为直”的转化思想，经历将实际问题抽象为数学模型的过程。感受数学在生活中的应用价值，培养勇于探索、严谨求实的科学态度。了解“将军饮马”的由来，并抽象为数学模型，转化为两点之间线段最短。2、小组活动：提出问题、理解问题、拟定计划（相互补充完善）、实施计划，回顾反思（畅所欲言，发表自己的见解）。3、活动小结最短距离问题解决的关键是什么？理论根据是什么？4、完成课堂练习。5、课堂总结。环节一：复习导入环节二：活动探究最短距离问题环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：作业布置回顾与反思1、学生经历课前知识架构梳理和课堂知识结构图展示，构建和完善本章的知识结构.2、通过对典型问题的剖析来梳理总结本章知识点，通过变式研究让学生掌握解题方法，形成分析问题解决问题的综合能力。 3、经历对典型问题的剖析等过程，进一步发展空间观念、通过学生之间的交流、讨论、培养学生的探究能力、合作精神，提高学习数学的兴趣。1、展示课前布置的思维导图（知识架构图）2、回顾各个知识点，准确描述平移、旋转的性质及中心对称图形。3、讲练结合，教师讲解例题，学生完成习题。4、完成课堂练习。5、课堂总结。环节一：展示展示架构图。环节二：知识梳理环节三：考点讲练环节四：课堂总结环节五：作业布置
《图形的平移与旋转》单元教学设计
活动一：场景导入
活动二：探究平移定义
活动三：探究平移性质
任务一：图形的平移（平移的定义与性质）
活动四：典例分析（平移作图）
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：复习导入
活动二：探究图形的平移
活动三：典例精析
任务二：图形的平移（x轴或y轴平移）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
图形的平移和旋转
活动一：复习导入
活动二：探究图形的平移
活动三：典例精析
任务三：图形的平移（x轴y轴平移）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：场景导入
活动二：探究旋转定义
任务四：图形的旋转（旋转的的定义与性质）
活动三：探究旋转性质
活动四：典例分析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：回顾旧知
活动二：探究旋转作图
图形的平移和旋转
任务五：图形的旋转（旋转作图）
活动三：典例分析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：回顾旧知
任务六：图形的旋转（中心对称）
活动二：探究中心对称
活动三：典例分析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：欣赏图片
活动二：探究图片形成过程
任务七：简单的图案设计
活动三：操作与思考
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：故事映入
活动二：活动探究最短距离
任务八：问题解决活动
---最短距离
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
活动三：考点讲练
任务九：回顾与思考
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
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北师大版（2026）八年级数学下册第三章《图形的平移与旋转》
3.2图形的旋转（中心对称）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 三
课题 图形的旋转（中心对称） 课时 1
课标要求 了解中心对称的有个概念，探索并了解中心对称的基本性质；理解中心对称图形与两个图形形成中心对称的联系与区别，掌握“连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分”这一核心性质；能画出简单的平面图形关于某一点成对称的图形（作图能力），能利用中心对称的性质解决简单的问题；在探索过程中，进一步发展空间观念，培养学生的几何直观能力。
教材分析 《中心对称》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（下）第三章《图形的平移与旋转》第二节的内容。本节课以图形的旋转为基础，通过活动认识中心对称与中心对称图形，探索成中心对称的基本性质，利用中心对称的基本性质研究中心对称的画图。本节内容是在八年级知识的基础上，继续通过对图形变换的考察，让学生初步掌握中心对称的基本性质，为后续学习打下基础。同时，中心对称的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受图形是相互联系和规律的变化
学情分析 在前面学习轴对称、平移、旋转等知识过程中，学生已经初步积累了一定的图形变换的数学活动经验，具备了一定的识图能力和主动参与、合作的意识。本节课旨在让学生在进行观察、分析、欣赏等操作性活动中，丰富学生对图形变换的认识，并使他们正确理解和把握平移、旋转等内容，进一步深化对图形的三种基本变换的理解和认识。
核心素养目标 1、了解中心对称、中心对称图形的概念，探索中心对称的性质；2、能够运用中心对称的性质作中心对称图形；3、通过图形间的变换关系，可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受图形是相互联系和规律的变化， 激发学生的好奇心和求知欲望，获得成功的体验.
教学重点 能判断一个图形是否为中心对称图形，并利用中心对称的性质进行作图.
教学难点 中心对称与中心对称图形的联系与区别，运用中心对称的性质作图的方法.
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1.轴对称图形和轴对称的概念是什么？（1）轴对称：如果把一个图形沿着一条直线对折后，与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，两个图形中相互重合的点叫做对称点，这条直线叫做对称轴。（2）轴对称图形：如果把一个图形沿某条直线对折，对折后图形的一部分与另一部分完全重合，我们把具有这样性质的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。2.轴对称的性质是什么？（1）任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段关于对称轴对称。3.观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是 ②．（填写序号如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 4 个． 回顾旧知，学生之间互相补充。独立完成两个习题。 复习旧知，为新授奠基。
二、探究 探究中心对称定义1、观察下图，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？2、观察图形旋转过程，发现什么？旋转180°与原图完成重合中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度，它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。如图3-20，△ABC与△A′B′C′成中心对称，点O是它们的对称中心。这个图形是中心对称图形。中心对称是一种特殊的旋转，其特殊之处就在于其旋转角是180度。探究中心对称性质1、观察图形，发现什么？中心对称性质（1）：OA =OA',OB=OB', OC=OC',即对称中心平分对称点所连的线段。（2）中心对称的两个图形是全等图形．2、欣赏中心对称图形中心对称与轴对称的区别与联系轴对称中心对称有一条对称轴——直线有一个对称中心——点图形沿对称轴对折后重合图形绕对称中心旋转180°后重合对称点的连线被对称轴垂直平分对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分 观察图形的变换，得出中心对称的定义和性质。小组讨论中心对称与轴对称的联系与区别。 1、通过观察、类比、讨论等方式总结中心对称的概念和性质。2、通过填写表格理解中心对称与轴对称的区别与联系。
三、变式 例1：如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A'B'C'D'.分析：要画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，只要画出A，B，C，D四点关于点O的对称点，再顺次连接各对应点即可.作法：连接AO并延长到A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'；同理，可作出点B，C，D的对应点B'，C'，D'；顺次连接A'，B'，C'，D'，则四边形A'B'C'D'即为所作.例2：如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形作法：1.连接BO并延长到B'，使OB'=OB，连接DO并延长到D'，使OD'=OD，连接CO并延长到C'，使OC'=OC，2.顺次连接E，B'，C'，D'，A则四边形AB'C'D' E就是五边形ABCDE成中心对称图形. 根据中心对称图形的性质，教师讲述中心对称的作图要点，学生根据要点作图。 设计例题探究中心对称的作图方法。加强学生对知识的深化和理解，增强学生的应用能力
四、尝试 基础达标：1.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( C )下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ） A. 角 B. 等边三角形 C. 线段 D. 平行四边形3.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ A ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形4.如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有（ D ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组5. 判断下列说法是否正确。 （1）轴对称图形也是中心对称图形。（ × ）（2）旋转对称图形也是中心对称图形。（ × ） （3）平行四边形、长方形和正方形都是中心对称图形，对角线的交点是它们的对称中心。（ √ ）（4）角是轴对称图形也是中心对称图形。（ × ）（5）在成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 （ √ ）能力提升：6、在方格纸中选择标有序号的一个小正方形涂上颜色，与图中阴影部分构成中心对称图形，应选 ④ 。拓展迁移7.正三角形是中心对称图形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？……你能发现什么规律？规律：边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。8.如图，在10×10的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)．(1)请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△ABC；(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A BC中，点C的坐标是______；(3)当△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△ABC，求点C所经过的路径长．解：(1)如图，△AB C为所作；(2)如图，△A B C为所作，点C的坐标是( 3, 4)；故答案为( 3, 4)；（3）所以点C所经过的路径长9.如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.操作发现：如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，(1)猜想线段DE与AC的位置关系是__________，并加以证明；(2)设△BDC的面积为S，△AEC的面积为，则S与S的数量关系是__________，并加以证明．解：(1)DE∥AC证明：∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD.∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD＝60°.∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE.∴DE∥AC.(2)S＝S证明：由(1)知△ACD是等边三角形，∴AC＝CD＝AD.∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴CD＝AC＝AD＝ AB.∴BD＝AD＝AC.根据等边三角形的性质，△ACD的边AC，AD上的高相等，又DE∥AC，∴易得△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S＝S 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、提升 1、中心对称把一个图形绕着某一点旋转180度，它能与另一个图形重合，这个点是它们的对称中心。这个图形是中心对称图形。2、中心对称图形的性质①、对称中心平分对称点所连的线段。②、中心对称的两个图形是全等图形．3、作中心对称图形 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 中心对称把一个图形绕着某一个点旋转 ,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图关于这个点对称或中心对称,这个点就叫对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。中心对称图形的性质：1、对称中心平分对称点所连的线段。2、中心对称的两个图形是全等图形． 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1. 下图是几种名车标志,其中是轴对称图形的有 ① ② ③ (填序号),是中心对称图形的有 ① ④ ⑤(填序号). 2.观察图形，并回答下面的问题：（1）哪些只是轴对称图形？ （3），（4）、（6）（2）哪些只是中心对称图形？ （1）（3）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？ （2），（5）3.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积 是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（ B ） A.2 B.4 C.6 D.84.以下三个图形中是轴对称图形的有 ①，②，③ ，是中心对称图形的有 ①，③ .能力提升：5.如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心O.解法1：连接对应点，对应点的交点就是对称中心。解法2：连接其中一组对应点，作线段的垂直平分线，其交点就是对称中心。6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是 3 ．解答提示：取AB的中点E，连接CE,PE,证三角形BCE为等边三角形，再证△BCQ≌△BEP，PE=CQ当EP垂直AC时,EP值最小，即CQ最小。拓展迁移：7.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高为 8 .解析：因为△AOB与△DOC成中心对称，所以△COD≌△AOB△COD与△AOB的面积相等为12CD=AB=3故CD边上的高为88.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 3 解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对称，由此图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中，易得阴影部分的面积为3．9.如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上，且∠ADC＝45°.(1)求∠BCD的度数；(2)将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′，当点D′恰好落在BC边上时，如图2所示，连接C′C并延长交AB于点E.①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD′≌△CAE.解：(1)∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠B＝∠A＝30°.∵∠ADC＝45°，∴∠BCD＝∠ADC－∠B＝15°(2)①由旋转，得BC＝BC′＝AC，∠C′BD′＝∠CBD＝∠A＝30°.∴∠CC′B＝∠C′CB＝75°②证明：∵∠CEB＝∠C′CB－∠CBA＝45°，∴∠ACE＝∠CEB－∠A＝15°.∴∠BC′D′＝∠BCD＝∠ACE.在△C′BD′和△CAE中,∴△C′BD′≌△CAE(ASA)
教学反思
A
B
C
D
O
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