(共34张PPT)
第三章 图形的平移与旋转
问题解决活动--最短距离
01
教学目标
02
知识回顾
03
探究新知
04
课堂练习
06
作业布置
05
课堂小结
01
教学目标
能利用轴对称、平移、旋转的性质解决“两点在一条直线异侧”的最短路径问题。
01
通过“将军饮马”模型的探究，体会“化折为直”的转化思想，经历将实际问题抽象为数学模型的过程。
02
感受数学在生活中的应用价值，培养勇于探索、严谨求实的科学态度。
03
02
故事导入
”将军饮马“由来
相传亚历山大城有一位精通数学的学者海伦。某日，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传。
02
故事导入
抽象为数学模型：直线同侧有两个定点A、B,请在直线上找一点C,使AC+BC值最小。如果点A、B在直线的两侧，我们便可用两点之间线段最短，找到点C的位置了。即连接AB交直线于点C。
02
故事导入
因此，构造点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线于点C，点C就找到了。（找对称点，本质上是通过AC=A'C,把问题转化为求A'C+BC最小值）
03
新知探究
提出问题
如图3-32，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过地下通道去工厂上班，已知地下通道长a米，那么地下通道的两个出口应该设计在何处，才能使居民经过地下通道去工厂上班的线路最短？请画出这条最短线路并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度）
03
新知探究
C、D在什么位置，使AC+CD+DB最短？
理解问题
上述问题可以抽象怎样的数学问题，试着写一写，画一画。
03
新知探究
拟定计划
（1）你以前遇到过类似的问题吗？
（2）解决这个问题的最大困难时什么？
（3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？
03
新知探究
实施计划
（1）写出你的解决方案，
（2）说明方案的合理性。
（1）居民区点A沿城铁方向平移am到 ，连接 B交城铁线点C.
（2）作AD平行 C,交城铁线点D
理论根据：AD+DC+CB= C+CB+a= B+a
(两点之间线段最短）
03
新知探究
回顾反思
将固定的一段线路平移，将问题转化成两点之间线段最短的问题来解答；解决最短距离问题的关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决
知识要点1
关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。
最短距离问题
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使ΔPAB周长最小的是( )
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
4 B.5 C.6 D.7
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭的道路两旁，现计划修建一座天桥，要求天桥与道路垂直，那么天桥建在何处才能使由甲到乙的路程最短？
把甲点沿垂直方向平移至C，平移距离等于天桥的长度,连接C乙两点，交道路的另一边于N,作MN垂直于道路。则MN就是天桥的位置。
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.已知点P（0，1），Q（5，4），点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为______ ．
解答提示：
找点P关于x轴的对称点 （0，-1），求直线 Q的解析式y=x-1
当Y=0,X=1,所以M(1,0)
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①若∠A=30°，求∠DBC的度数；
②若△ABC的面积是12，BC=4，点M、N
分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（1）如图，DE为所作；
（2）①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=12×（180°-30°）=75°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=75°-30°=45°；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
②如图，∵DE垂直平分AB，
∴NA=NB，
∴BN+NM=AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号），
∵当AM⊥BC时，AM的长度最小，
∵ AM BC=12，
∴AM=6，
∴BN+NM的最小值为6
05
课堂小结
关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。
最短距离问题
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0）
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）．
A．15° B．22．5° C．30° D．45°
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（ ）米．
A． 1400 B． 1300 C． 1200 D． 1100
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新建两个储物点，两个储物点的距离固定，工作人员每天进入大门后先到甲储物点取物品。然后沿道路到乙储物点取物品，最后到另一侧的车间，请画图说明两个储物点设在何处，使工作人员所走的路程最短？
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
大门沿道路方向平移至点A，平移距离等于两个储物点之间的距离，连接A和车间两点，和道路相交的点就是乙储物点。根据两储物点的距离是固定的，再确定甲储物点的位置。
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝____；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是 ．
2
06
作业布置
【综合拓展类作业】
7.在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示
06
作业布置
【综合拓展类作业】
证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，
∵A、E关于ON对称，
∴AC＝EC，
同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，
∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，
AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，
∵ET＋TR＋FR＞EF，
∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，
即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．
Thanks!
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第三章 《图形的平移与旋转》导学案
问题解决活动-距离最短
学习目标与重难点
学习目标：
能利用轴对称、平移、旋转的性质解决“两点在一条直线异侧”的最短路径问题。
通过“将军饮马”模型的探究，体会“化折为直”的转化思想，经历将实际问题抽象为数学模型的过程。
感受数学在生活中的应用价值，培养勇于探索、严谨求实的科学态度。
学习重点：
构建模型、转化思想。
学习难点：
严谨的逻辑语音证明最短距离问题。
预习自测
知识链接
”将军饮马“由来
相传亚历山大城有一位精通数学的学者海伦。某日，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传。
抽象为数学模型：直线同侧有两个定点A、B,请在直线上找一点C,使AC+BC值最小。如果点A、B在直线的两侧，我们便可用两点之间线段最短，找到点C的位置了。即连接AB交直线于点C。
因此，构造点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线于点C，点C就找到了。（找对称点，本质上是通过AC=A'C,把问题转化为求A'C+BC最小值）
教学过程
提出问题
如图3-32，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过地下通道去工厂上班，已知地下通道长a米，那么地下通道的两个出口应该设计在何处，才能使居民经过地下通道去工厂上班的线路最短？请画出这条最短线路并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度）
理解问题
上述问题可以抽象怎样的数学问题，试着写一写，画一画。
。
拟定计划
（1）你以前遇到过类似的问题吗？
（2）解决这个问题的最大困难时什么？
（3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？
实施计划
（1）写出你的解决方案，
（2）说明方案的合理性。
（1）居民区点A沿城铁方向平移am到 ，连接B交城铁线点C.
（2）作AD平行C,交城铁线点D
理论根据：AD+DC+CB= C+CB+a= B+a
(两点之间线段最短）
回顾反思
将固定的一段线路平移，将问题转化成两点之间线段最短的问题来解答；解决最短距离问题的关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决
【强调】：
最短距离问题，关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
2.如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使ΔPAB周长最小的是( )
3.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
4.A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
5.如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭的道路两旁，现计划修建一座天桥，要求天桥与道路垂直，那么天桥建在何处才能使由甲到乙的路程最短？
能力提升：
已知点P（0，1），Q（5，4），点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为______ ．
解答提示：
拓展迁移
7.如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①若∠A=30°，求∠DBC的度数；
②若△ABC的面积是12，BC=4，点M、N分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值．
总结反思、拓展升华
最短距离问题
关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。
五、【作业布置】
基础达标：
1.如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0）
2．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）．
A．15° B．22．5° C．30° D．45°
第1题 第2题 第3题
3．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
4.已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（ ）米．
A． 1400 B． 1300 C． 1200 D． 1100
第4题 第5题
5.如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新建两个储物点，两个储物点的距离固定，工作人员每天进入大门后先到甲储物点取物品。然后沿道路到乙储物点取物品，最后到另一侧的车间，请画图说明两个储物点设在何处，使工作人员所走的路程最短？
能力提升：
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝ ；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是 ．
第6题 第7题
拓展迁移：
在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）
课堂练习参考答案：
C
D
A
D
5、解析：把甲点沿垂直方向平移至C，平移距离等于天桥的长度,连接C乙两点，交道路的另一边于N,作MN垂直于道路。则MN就是天桥的位置。
6、找点P关于x轴的对称点 （0，-1），求直线Q的解析式y=x-1,当Y=0,X=1,所以M(1,0)
7、解：（1）如图，DE为所作；
（2）①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=12×（180°-30°）=75°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=75°-30°=45°；
②如图，∵DE垂直平分AB，
∴NA=NB，
∴BN+NM=AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号），
∵当AM⊥BC时，AM的长度最小，
∵ AM BC=12，
∴AM=6，
∴BN+NM的最小值为6
课外作业参考答案：
C
C
C
B
5、解析：大门沿道路方向平移至点A，
平移距离等于两个储物点之间的距离，
连接A和车间两点，和道路相交的点
就是乙储物点。根据两储物点的距离
是固定的，再确定甲储物点的位置。
6、2；
7、解：沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示
证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，
∵A、E关于ON对称，
∴AC＝EC，
同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，
∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，
AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，
∵ET＋TR＋FR＞EF，
∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，
即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．
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北师大版（2026）八年级数学下册第三章《图形的平移与旋转》
问题解决活动--最短距离教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 三
课题 问题解决活动--最短距离 课时 1
课标要求 能利用图形的对称、平移等变换探索图形的性质，解决简单的最短距离问题；掌握两点之间线段最短等基本公理，并将其作为解决最短路径的理论依据；能识别并构建“将军饮马”模型，体会数学在解决实际问题中的运用价值，增强运用意识。
教材分析 本节课是典型的“综合与实践”活动，它不仅是已学知识（轴对称性质、线段公理、三角形三边关系）的综合运用，也是为后续学习《一次函数》，《锐角三角函数》以及高中的解析几何奠定重要的模型基础。本节教材编排蕴含丰富的数学思想（转化与化归思想、建模思想、对称思想、数形结合思想），是教学中的重中之重。
学情分析 学生虽然对轴对称的基本作图已经很熟悉，但在解决最短路径问题时，往往存在以下困难：①想不到为什么要作对称点（或平移），找不到知识的连接点；②不会证为什么只有这样路径最短；③无法识别背后的“将军饮马”模型
核心素养目标 能利用轴对称、平移、旋转的性质解决“两点在一条直线异侧”的最短路径问题。通过“将军饮马”模型的探究，体会“化折为直”的转化思想，经历将实际问题抽象为数学模型的过程。感受数学在生活中的应用价值，培养勇于探索、严谨求实的科学态度。
教学重点 构建模型、转化思想。
教学难点 严谨的逻辑语音证明最短距离问题。
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 ”将军饮马“由来 相传亚历山大城有一位精通数学的学者海伦。某日，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传。 抽象为数学模型：直线同侧有两个定点A、B,请在直线上找一点C,使AC+BC值最小。如果点A、B在直线的两侧，我们便可用两点之间线段最短，找到点C的位置了。即连接AB交直线于点C。 因此，构造点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线于点C，点C就找到了。（找对称点，本质上是通过AC=A'C,把问题转化为求A'C+BC最小值） 了解“将军饮马”的由来，并抽象为数学模型，转化为两点之间线段最短。 温故知新，为新授奠基。
二、活动探究 提出问题 如图3-32，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过地下通道去工厂上班，已知地下通道长a米，那么地下通道的两个出口应该设计在何处，才能使居民经过地下通道去工厂上班的线路最短？请画出这条最短线路并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度）理解问题上述问题可以抽象怎样的数学问题，试着写一写，画一画。C、D在什么位置，使AC+CD+DB最短？拟定计划（1）你以前遇到过类似的问题吗？（2）解决这个问题的最大困难时什么？（3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？实施计划（1）写出你的解决方案，（2）说明方案的合理性。（1）居民区点A沿城铁方向平移am到 ，连接B交城铁线点C.（2）作AD平行C,交城铁线点D理论根据：AD+DC+CB= C+CB+a= B+a(两点之间线段最短）回顾反思将固定的一段线路平移，将问题转化成两点之间线段最短的问题来解答；解决最短距离问题的关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决活动小结：最短距离问题，关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。 小组活动：提出问题、理解问题、拟定计划（相互补充完善）、实施计划，回顾反思（畅所欲言，发表自己的见解）。活动小结最短距离问题解决的关键是什么？理论根据是什么？ 活动过程按：提出问题、理解问题、拟定计划、实施计划，回顾反思这几个步骤进行，重点是回顾反思阶段。
三、尝试 基础达标：1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ C ）2.如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使ΔPAB周长最小的是( D )3.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ A ） A.4 B.5 C.6 D.74.A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ D ）5.如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭的道路两旁，现计划修建一座天桥，要求天桥与道路垂直，那么天桥建在何处才能使由甲到乙的路程最短？解析：把甲点沿垂直方向平移至C，平移距离等于天桥的长度,连接C乙两点，交道路的另一边于N,作MN垂直于道路。则MN就是天桥的位置。能力提升：已知点P（0，1），Q（5，4），点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为______ ．解答提示：找点P关于x轴的对称点 （0，-1），求直线Q的解析式y=x-1,当Y=0,X=1,所以M(1,0)拓展迁移7.如图，在△ABC中，AB=AC．（1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，①若∠A=30°，求∠DBC的度数；②若△ABC的面积是12，BC=4，点M、N分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值．解：（1）如图，DE为所作；（2）①∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=12×（180°-30°）=75°，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=30°， ∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=75°-30°=45°；②如图，∵DE垂直平分AB，∴NA=NB，∴BN+NM=AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号），∵当AM⊥BC时，AM的长度最小，∵ AM BC=12，∴AM=6，∴BN+NM的最小值为6 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
四、提升 最短距离问题关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 最短距离问题提出问题--理解问题--拟定计划--实施计划--回顾反思理论根据：两点之间线段最短；三角形两边之和大于第三边；垂线段最短。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ C ）A．（－2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0）2．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ C ）．A．15° B．22．5° C．30° D．45° 第1题 第2题 第3题3．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（ C ）．A． B． C． D． 4.已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（ B ）米．A． 1400 B． 1300 C． 1200 D． 1100 第4题 第5题 5.如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新建两个储物点，两个储物点的距离固定，工作人员每天进入大门后先到甲储物点取物品。然后沿道路到乙储物点取物品，最后到另一侧的车间，请画图说明两个储物点设在何处，使工作人员所走的路程最短？解析：大门沿道路方向平移至点A，平移距离等于两个储物点之间的距离，连接A和车间两点，和道路相交的点就是乙储物点。根据两储物点的距离是固定的，再确定甲储物点的位置。能力提升：6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝ 2 ；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是 ． 第6题 第7题拓展迁移：在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）解：沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，∵A、E关于ON对称，∴AC＝EC，同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，∵ET＋TR＋FR＞EF，∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．
教学反思
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 下册第三章
课标要求 1、让学生经历观察、操作、欣赏和设计的过程，进行图形的平移、旋转和中心对称的基本性质的探索2、能在方格纸上作出平移、旋转、中心对称图形。3、在同一平面直角坐标系中，感受平移点坐标的变化。
内容分析 本单元是平面图形在同一平面内运动、平移、旋转与中心对称。通过生活实例认识平移、旋转、中心对称，并且理解平移、旋转、中心对称的基本性质。能在方格纸上作出平移、旋转、中心对称图形。在同一平面直角坐标系中，感受平移点坐标的变化。5、感受并设计平移、旋转、中心对称组合图形的图案
学情分析 学生已经学习了轴对称和位置坐标，初步积累了一定的图形变化的数学活动经验，能在平面直角坐标系中确定点的位置。本章在此基础上。让学生经历观察、分析、画图、设计等数学活动，丰富学生对图形变化的认识。使学生正确把握图形的平移、旋转、中心对称的图形性质。呈现内容以现实生活中的内容为情景，如超市电梯、游乐场旋转木马是学生相对轻松有趣的活动激发了学生的学习兴趣，培养学生的运用意识。
单元目标 教学目标掌握平移、旋转、中心对称的概念；掌握图形的平移和旋转的基本性质，中心对称和中心对称图形的性质；掌握在平面坐标系中图形平移后坐标的变化规律。2、在方格纸上能够画出经过平移或旋转后的图形，知道中心对称图形的部分图形画出另一部分图形。3、构建本章知识网络图，明确平移、旋转、中心对称的性质，梳理知识间的关系。根据所学知识创造性设计图案。4、通过对生活中的典型图案的观察、分析、欣赏的过程，增强学生对数学审美意识。通过学生之间的交流、讨论，培养学生的合作意识，（二）教学重点、难点重点：图形的平移、旋转、中心对称的基本性质。难点：图形的平移、旋转、中心对称的基本性质以及性质的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01图形的平移（平移定义与性质）102图形的平移（x轴或y轴平移）103图形的平移（x轴y轴平移）104图形的旋转（旋转定义与性质）105图形的旋转（旋转作图）106图形的旋转（中心对称）107简单的图片设计108活动探究最短距离问题109回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务图形的平移（平移定义与性质）1、通过具体实例认识平面图形的平移，探索它的基本性质，会进行简单的平移画图。2、经历有关平移的观察、操作、分析和抽象、概括等过程，进一步积累数学活动经验，增强动手实践能力，发展空间观念。1、学生观看视频思考问题。2、理解平移的定义、平移的要素、特征，完成4个练习。3、观察、思考，小组讨论得出平移的基本性质。4、根据平移的性质正确作出平移后的图形。5、完成课堂练习。6、课堂总结。环节一：场景导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置图形的平移（x轴或y轴平移）1.在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标．2．知道沿坐标轴平移前后两图形对应顶点坐标之间的关系.3.通过“变化的鱼”探究横向(或纵向)平移一次，其坐标变化的规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系.4.经历在坐标系中有关平移的观察、操作、分析及抽象等活动，积累数学活动经验.1、回顾平移的定义和平移的性质.2、学生自主画出四种平移后的新“鱼”，培养学生的动手能力.3、让学生对比画出的新“鱼”，再进行交流，找出规律，培养学生探究的兴趣、小组合作的能力.4、总结平移规律：沿x轴平移右加左减，纵坐标不变；沿y轴平移上加下减，横坐标不变。5、学生独立完成例题解答，教师关注中下生。6、完成课堂练习。7、课堂总结。环节一：复习导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置图形的平移（x轴y轴平移）1、继续探究一次平移既有横向又有纵向时坐标的变化特点。2、在探究图形的平移与坐标变化关系的过程中，体会知识的形成过程及数形结合的方法，积累数学经验。3、通过观察生活中“平移”的实例，感受“生活中处处有数学”，激发学生学习数学的兴趣。1、回顾沿x轴或y轴平移坐标变化规律，完成第3题习题，问题导入新课。2、观察、猜想、交流总结图形两次平移坐标变化规律。3、理解平移方向和计算平移距离。4、自学例题，提出疑问。5、完成课堂练习。6、课堂总结。环节一：复习导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置图形的旋转（旋转定义与性质）1. 学生通过具体实例认识平面图形的旋转，理解旋转的基本要素. 2. 掌握旋转的性质并能解决简单的旋转问题. 3.学生亲身经历实验操作—观察—发现—猜想—验证—归纳等过程，进一步积累数学活动经验，发展合情推理能力，体会图形运动中的变与不变，培养空间观念.1、学生观看动画，试着描述线段和三角形的运动过程。2、学生自学后，师生共同讨论。旋转方向、旋转中心、旋转角度、对应点、对应角。3、动手操作，小组合作交流、教师引导得出旋转的性质。4、自学例题1、2，关注中差生。5、完成课堂练习。6、课堂总结。环节一：场景导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置图形的旋转（旋转作图）能根据旋转的三要素与旋转的基本性质作出简单平面图形旋转后的图形，进一步培养学生用尺规作图的能力。经历对具有旋转特征的图形的观察、操作、画图等过程， 完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、 从感性认识到理性认识的转变， 发展学生的直观能力，分析、归纳、抽象概括的思维能力。体验和感受数学活动的探索性，拉近数学与生活的距离，使学生充分感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感。观看动画演示平移、旋转过程，复述平移、旋转的性质。2、利用已有的知识作出已知线段旋转一定角度后的线段。3、根据旋转的性质作三角形旋转后的图形（注意旋转的三要素）4、理解往往平移和旋转同时存在。5、学生试着按要求作图，并复述作图过程。6、完成课堂练习。7、课堂总结。环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置图形的旋转（中心对称）1、了解中心对称、中心对称图形的概念，探索中心对称的性质；2、能够运用中心对称的性质作中心对称图形；3、通过图形间的变换关系，可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受图形是相互联系和规律的变化， 激发学生的好奇心和求知欲望，获得成功的体验.回顾旧知，学生之间互相补充。独立完成两个习题。3、观察图形的变换，得出中心对称的定义和性质。4、小组讨论中心对称与轴对称的联系与区别。5、根据中心对称图形的性质，教师讲述中心对称的作图要点，学生根据要点作图。6、完成课堂练习。7、课堂总结。环节一：回顾旧知环节二：探究中心对称的定义与性质。环节三：典例精析（中心对称作图）环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置简单的图片设计1、认识和欣赏平移,旋转在现实生活中的应用,能够灵活运用轴对称、平移、旋转的组合,设计出简单的图案.2、经历对生活中的典型图案进行观察、分析、欣赏等过程,进一步发展空间观念、增强审美意识.3、通过学生之间的交流、讨论、培养学生的合作精神.1、欣赏图片，增强审美意识。简述图案变化过程。2、观看动画演示，小组讨论图案的形成过程。3、学生按要求设计图案。4、分析图案的形成过程，用语言正确的表达出来。5、完成课堂练习。6、课堂总结。环节一：欣赏图片环节二：探究图片形成过程。环节三：操作与思考环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置活动探究最短距离问题能利用轴对称、平移、旋转的性质解决“两点在一条直线异侧”的最短路径问题。通过“将军饮马”模型的探究，体会“化折为直”的转化思想，经历将实际问题抽象为数学模型的过程。感受数学在生活中的应用价值，培养勇于探索、严谨求实的科学态度。了解“将军饮马”的由来，并抽象为数学模型，转化为两点之间线段最短。2、小组活动：提出问题、理解问题、拟定计划（相互补充完善）、实施计划，回顾反思（畅所欲言，发表自己的见解）。3、活动小结最短距离问题解决的关键是什么？理论根据是什么？4、完成课堂练习。5、课堂总结。环节一：复习导入环节二：活动探究最短距离问题环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：作业布置回顾与反思1、学生经历课前知识架构梳理和课堂知识结构图展示，构建和完善本章的知识结构.2、通过对典型问题的剖析来梳理总结本章知识点，通过变式研究让学生掌握解题方法，形成分析问题解决问题的综合能力。 3、经历对典型问题的剖析等过程，进一步发展空间观念、通过学生之间的交流、讨论、培养学生的探究能力、合作精神，提高学习数学的兴趣。1、展示课前布置的思维导图（知识架构图）2、回顾各个知识点，准确描述平移、旋转的性质及中心对称图形。3、讲练结合，教师讲解例题，学生完成习题。4、完成课堂练习。5、课堂总结。环节一：展示展示架构图。环节二：知识梳理环节三：考点讲练环节四：课堂总结环节五：作业布置
《图形的平移与旋转》单元教学设计
活动一：场景导入
活动二：探究平移定义
活动三：探究平移性质
任务一：图形的平移（平移的定义与性质）
活动四：典例分析（平移作图）
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：复习导入
活动二：探究图形的平移
活动三：典例精析
任务二：图形的平移（x轴或y轴平移）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
图形的平移和旋转
活动一：复习导入
活动二：探究图形的平移
活动三：典例精析
任务三：图形的平移（x轴y轴平移）
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：场景导入
活动二：探究旋转定义
任务四：图形的旋转（旋转的的定义与性质）
活动三：探究旋转性质
活动四：典例分析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一：回顾旧知
活动二：探究旋转作图
图形的平移和旋转
任务五：图形的旋转（旋转作图）
活动三：典例分析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：回顾旧知
任务六：图形的旋转（中心对称）
活动二：探究中心对称
活动三：典例分析
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：欣赏图片
活动二：探究图片形成过程
任务七：简单的图案设计
活动三：操作与思考
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：故事映入
活动二：活动探究最短距离
任务八：问题解决活动
---最短距离
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
活动三：考点讲练
任务九：回顾与思考
活动三：课堂作业
活动四：课堂总结
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