沪科版（2024）八年级下册 19.3 矩形、菱形、正方形 题型专练
【题型1】根据矩形的性质求边长
【典例】矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为（ ）
A.1cm B.2cm C.2.5cm D.4cm
【强化训练1】如图，矩形ABCD的周长为18cm，M为CD的中点，且AM⊥BM，则矩形ABCD的两邻边的边长分别为（ ）
A.3cm和6cm B.6cm和12cm C.4cm和5cm D.以上都不对
【强化训练2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为 ．
【强化训练3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝12cm，则AB的长为 cm．
【强化训练4】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，求PQ的长度．
【强化训练5】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
【题型2】矩形的翻折变换问题
【典例】如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝58°，则∠1＝（ ）
A.60° B.64° C.42° D.52°
【强化训练1】如图，矩形ABCD，点E是AD边上的一点，将矩形沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则线段AE的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上，将△ABE沿直线BE翻折，点A落在AD与BC之间的点F处，如果∠CBF＝20°，那么∠BEF＝ 度．
【强化训练3】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD交于G点．
（1）求证：AP＝DG；
（2）求线段CG的长．
【题型3】根据图中数据判断是否为矩形
【典例】依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】依据所标数据，下列一定为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】依据所标数据，下列一定为矩形的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.③
【题型4】矩形的性质和判定的综合运用
【典例】如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ）
A.2.4 B.3 C.4.8 D.5
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S ABCD＝ ．
【强化训练3】如图，∠B＝∠C＝90°，AB＝20，DC＝12，AD＝10，求BC的长．
【题型5】根据直角三角形的性质求角
【典例】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为 ．
【强化训练1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点D为△ABC外一点，且AD⊥BD，连接CD，若CD＝4，则∠AEB的度数为 ．
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是BC的中点，∠A＝55°，求∠DEC的度数．
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD是BC边上的中线，且，AE⊥BC于点E．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若CE＝2，求BE的长．
【题型6】根据菱形的性质求线段长
【典例】如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（ ）
A.2.4 B.3 C.4.8 D.4
【强化训练1】菱形的周长为16，较长对角线所对的角为120°，那么较短对角线的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.8
【强化训练2】如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（ ）
A.4 B.2.4 C.4.8 D.5
【强化训练3】若菱形的相邻内角之比为1：5，其面积为50cm2，其边长为 ．
【强化训练4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝2cm，则BD的长为 cm．
【强化训练5】一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，求菱形的周长．
【题型7】根据菱形的性质求角的度数
【典例】从菱形的钝角顶点，向对角的两边作垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）
A.150° B.135° C.120° D.100°
【强化训练1】如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A.20° B.30° C.35° D.40°
【强化训练2】如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（ ）
A.90° B.60° C.45° D.30°
【强化训练3】如图，平行四边形ABCD和平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝70°，∠F＝130°，则∠DAE的度数为 ．
【强化训练4】如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．
【强化训练5】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥CD，垂足为E，且AE＝OB，求∠CAE的度数．
【题型8】添加条件使四边形为菱形
【典例】如图，若四边形ABCD是一个菱形，则应满足的条件是（ ）
A.AB＝BC＝CD＝AC B.∠1＝∠2＝∠3＝∠4 C.AB＝CD，AC⊥BD D.AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD
【强化训练1】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF．在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（ ）
A.EB⊥EC B.AB＝AC C.AB⊥AC D.BF∥CE
【强化训练2】如图，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连接DE、DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件不可能是（ ）
A.BD＝DC B.AB＝AC C.AD＝BC D.AD⊥BC
【强化训练3】如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件 ，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）
【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，E、F分别为AC上的两点，AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF．
（1）求证：BF＝DE．
（2）对△ABC添加一个条件 ，使四边形BEDF是菱形，并说明理由．
【题型9】根据正方形的性质求角的度数
【典例】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
【强化训练1】如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ ）
A.135° B.120° C.112.5° D.67.5°
【强化训练2】如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（ ）
A.15° B.32.5° C.22.5° D.30°
【强化训练3】如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连接CE，AE，则∠AEC的度数为 ．
【强化训练4】如图，正方形ABCD中，点E在正方形ABCD外，△AEB为等边三角形，求∠BED的度数．
【强化训练5】已知正方形ABCD，∠ADE＝∠EAD＝15°，求△BEC各内角度数．
【题型10】坐标系中的正方形
【典例】如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A.（，1） B.（﹣1，） C.（，1） D.（，﹣1）
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（ ）
A.34 B.25 C.20 D.16
【强化训练2】如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（ ）
A.（2，2） B.（﹣2，2） C.（﹣2，﹣2） D.（2，﹣2）
【强化训练3】如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系．点A的坐标为（1，1），写出点B，C，D的坐标：B ，C ，D ．
【强化训练4】已知一个边长为4的正方形OABC，按如图所示的方式放在平面直角坐标系中，其中的一个顶点与原点重合，两边分别与x轴、y轴重合．则顶点A的坐标是 ．
【强化训练5】如图，正方形ABCD的边长为4，如果以AD的中点为原点，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，那么AB与x轴的位置关系是什么？BC与x轴的位置关系怎样？并写出A，B，C，D各点的坐标．
【强化训练6】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），以AB为边向右侧作正方形ABCD．求点C和点D的坐标．
【题型11】正方形的判定
【典例】有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的 （填“对”或“不对”）．
【强化训练1】对角线相等的菱形是正方形． （判断对错）
【强化训练2】如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，求证：四边形ABCD是正方形．
【强化训练3】如图，在矩形ABCD中，AD＝2CD，E是AD的中点，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．沪科版（2024）八年级下册 19.3 矩形、菱形、正方形 题型专练（参考答案）
【题型1】根据矩形的性质求边长
【典例】矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为（ ）
A.1cm B.2cm C.2.5cm D.4cm
【答案】D
【解析】矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，
根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA＝OD，∠DAO＝45°，
所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB，由矩形ABCD的周长为24cm得到，24＝2AB+2×2AB，
解得AB＝4cm．故选D．
【强化训练1】如图，矩形ABCD的周长为18cm，M为CD的中点，且AM⊥BM，则矩形ABCD的两邻边的边长分别为（ ）
A.3cm和6cm B.6cm和12cm C.4cm和5cm D.以上都不对
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C，
∵M为CD的中点，
∴DM＝CM，
在△ADM和△BCM中，
∴△ADM≌△BCM（SAS），
∴AM＝BM，
∵AM⊥BM，
∴∠AMB＝90°，
∴∠MAB＝∠MBA＝45°，
∴∠DAM＝90°﹣45°＝45°＝∠DMA，
∴AD＝DM，
即DM＝AD＝BC＝CM，
∵矩形ABCD的周长为18cm，
∴AD+2AD+AD+2AD＝18cm，
∴AD＝BC＝3cm，AB＝DC＝6cm，
故选：A．
【强化训练2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为 ．
【答案】8．
【解析】∵BE⊥AC，E点为CO的中点，
∴BE垂直平分OC，
∴BC＝OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝OA，OD＝OB，∠CBA＝90°，
∴OC＝OB，
∴CB＝BO＝CO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CBD＝60°，
∴∠DBA＝30°，
∵OF⊥AB，OF＝2，
∴BO＝2OF＝4，
∵O点为BD中点，
∴BD＝2BO＝8．
故答案为：8．
【强化训练3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝12cm，则AB的长为 cm．
【答案】6．
【解析】∵AE垂直且平分线段BO，
∴AB＝AO，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12cm，
∴，
∴AB＝AO＝6cm，
故答案为：6．
【强化训练4】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，求PQ的长度．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，BO＝DOBD，
∴ODBD＝5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQDO＝2.5．
【强化训练5】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°
∵EF⊥CE
∴∠CEF＝90°
∴∠CED+∠AEF＝90°
∵∠CED+∠DCE＝90°
∴∠DCE＝∠AEF
∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF
∴△AEF≌△DCE
∴AE＝DC
由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2
∴2AE＝6
∴AE＝3
【题型2】矩形的翻折变换问题
【典例】如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝58°，则∠1＝（ ）
A.60° B.64° C.42° D.52°
【答案】B
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，且∠ABC＝58°，
∴∠BAD＝122°，
∵将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，
∴∠BAD＝∠BAD'＝122°，
∴∠1＝122°+122°﹣180°＝64°，
故选：B．
【强化训练1】如图，矩形ABCD，点E是AD边上的一点，将矩形沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则线段AE的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】∵△EFB是由△EAB沿直线BE翻折得到，
∴△EFB≌△EAB，
则AE＝EF，BF＝AB＝10．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，∠C＝∠D＝90°．
在Rt△BCF中，
CF6，
∴DF＝DC﹣CF＝10﹣6＝4．
设AE＝x，则EF＝AE＝x，DE＝8﹣x，
在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2＝EF2，
∴（8﹣x）2+42＝x2．
解得：x＝5．
则AE＝5．
故选：C．
【强化训练2】如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上，将△ABE沿直线BE翻折，点A落在AD与BC之间的点F处，如果∠CBF＝20°，那么∠BEF＝ 度．
【答案】55
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
又∵∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝90°﹣20°＝70°，
∵△FBE是△ABE沿直线BE翻折得到的，
∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB，
∴∠FBE∠ABF70°＝35°，
∴∠CBE＝∠CBF+∠FBC＝20°+35°＝55°，
∴∠FEB＝∠AEB＝∠CBE＝55°，
故答案为：55．
【强化训练3】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD交于G点．
（1）求证：AP＝DG；
（2）求线段CG的长．
【答案】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEG中，，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
∴AP＝DG；
（2）解：设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，
∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8，
∴CG＝8﹣4.8＝3.2．
【题型3】根据图中数据判断是否为矩形
【典例】依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、不能证明是矩形，故该选项符合题意；
C、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意．
故选：B．
【强化训练1】依据所标数据，下列一定为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、两个角是直角的四边形不一定是矩形，故A不符合要求；
B、两个角是直角的四边形不一定是矩形，故B不符合要求；
C、两个角是直角得出一组对边平行，且这组对边相等，是平行四边形，且有一个角是直角，故可得是矩形，符合题意；
D、两个角是直角的四边形不一定是矩形，故D不符合要求；
故选：C．
【强化训练2】依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、不能证明是矩形，故该选项符合题意；
C、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意．
故选：B．
【强化训练3】依据所标数据，下列一定为矩形的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.③
【答案】C
【解析】图①中有一组对边相等与一个直角，对边可能不平行，故不一定是矩形，故①错误；
图②中，连接BD，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴∠CDB＝∠ABD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故②正确；
图③中，
∵∠A+∠D＝90°+90°＝180°，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故③正确．
故选：C．
【题型4】矩形的性质和判定的综合运用
【典例】如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ）
A.2.4 B.3 C.4.8 D.5
【答案】C
【解析】如图，连接BD．
∵在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°．
又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形EDFB是矩形，
∴EF＝BD．
∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：C．
【强化训练1】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设Rt△ABC的斜边BC上的高为h．
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴h，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AMEFAP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，
∴AM的最小值是．
故选：D．
【强化训练2】在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S ABCD＝ ．
【答案】42cm2
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴S四边形ABCD＝AB×AD＝7cm×6cm＝42cm2，
故答案为：42cm2．
【强化训练3】如图，∠B＝∠C＝90°，AB＝20，DC＝12，AD＝10，求BC的长．
【答案】解：作DE⊥AB于E，如图所示：
则∠DEA＝∠DEB＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE＝DC＝12，DE＝BC，
∴AE＝AB﹣BE＝20﹣12＝8，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE6，
∴BC＝6．
【题型5】根据直角三角形的性质求角
【典例】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为 ．
【答案】15°．
【解析】连接DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点，
∴DEAC，BEAC，AE＝CE＝DE，AE＝BE＝CE，
∴DE＝BE，
∵∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∠BAC＝∠EBA＝30°，
∴∠DEC＝∠ADE+∠DAC＝90°，∠BEC＝∠BAC+∠EBA＝60°，
∴∠DBE＝∠EDB（180°﹣∠DEB）（180°﹣90°﹣60°）＝15°，
故答案为：15°．
【强化训练1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点D为△ABC外一点，且AD⊥BD，连接CD，若CD＝4，则∠AEB的度数为 ．
【答案】120°
【解析】设AB边的中点为F，连接DF，CF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴DF＝CFAB，
∵AB＝8，
∴DF＝CF＝4，
∵CD＝4，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠DFC＝60°，
∴∠AFD+∠CFB＝120°，
∵AF＝DF，CF＝BF，
∴∠DAF+∠ABC＝360°﹣2（∠AFD+∠BFC）＝120°，
∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE，
∴∠DAE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝90°+∠CBE＝∠DAB+∠ABD+∠CBE＝∠DAB+∠ABC＝120°．
故答案为：120°．
【强化训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是BC的中点，∠A＝55°，求∠DEC的度数．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣55°＝35°，
∵CD⊥AB，E是BC的中点，
∴DE＝BEBC，
∴∠B＝∠BDE＝35°，
∴∠DEC＝∠B+∠BDE＝35°+35°＝70°．
【强化训练3】如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD是BC边上的中线，且，AE⊥BC于点E．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若CE＝2，求BE的长．
【答案】解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CDBC，
∵ADBC，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝∠C＝60°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝30°；
（2）在Rt△ACE中，CE＝2，∠CAE＝30°，
∴AC＝2CE＝4，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝6．
【题型6】根据菱形的性质求线段长
【典例】如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（ ）
A.2.4 B.3 C.4.8 D.4
【答案】A
【解析】连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，ODBD＝3，OCAC＝4，
由勾股定理得CD5，
又∵EF⊥OC，EG⊥OD，
∴四边形OFEG为矩形，
∴GF＝OE，
当OE⊥CD时，OE值最小，
此时，S△OCDOC ODCD OE，
∴OE2.4，
∴FG的最小值为2.4．
故选：A．
【强化训练1】菱形的周长为16，较长对角线所对的角为120°，那么较短对角线的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.8
【答案】B
【解析】∵菱形的周长为16，较长对角线所对的角为120°
∴∠ABC＝60°，AB＝4
∵AB＝BC
∴△ABC是等边三角形
∴AC＝4
故选：B．
【强化训练2】如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（ ）
A.4 B.2.4 C.4.8 D.5
【答案】C
【解析】连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∴AC⊥BD，AOAC，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∴BO4，
∴DB＝8，
∴菱形ABCD的面积是AC DB6×8＝24，
∴BC AE＝24，
∵BC＝AB＝5，
∴AE，
故选：C．
【强化训练3】若菱形的相邻内角之比为1：5，其面积为50cm2，其边长为 ．
【答案】10cm
【解析】如图，∵菱形的相邻内角之比为1：5，
∴锐角∠B＝180°30°，
过点A作AE⊥BC于E，
则AEABBC，
∴菱形的面积＝BC AE＝BC BC＝50，
解得BC＝10cm，
即菱形的边长为10cm．
故答案为：10cm．
【强化训练4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，AC＝2cm，则BD的长为 cm．
【答案】4．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝2cm，
∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝1cm，
∵ABcm，
∵BO2cm，
∴DO＝BO＝2cm，
∴BD＝4cm，
故答案为：4．
【强化训练5】一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，求菱形的周长．
【答案】解：如图设菱形的一条对角线为xcm，则另一条对角线为（10﹣x）cm，
x（10﹣x）＝12，
解得x1＝4，x2＝6，
即BD＝4，AC＝6，
在Rt△AOB中，AB，
所以菱形的周长为4．
【题型7】根据菱形的性质求角的度数
【典例】从菱形的钝角顶点，向对角的两边作垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）
A.150° B.135° C.120° D.100°
【答案】C
【解析】过A作AE⊥BC，
由题意知AE⊥BC，且E为BC的中点，
则△ABC为等腰三角形
即AB＝AC，即AB＝AC＝BC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
【强化训练1】如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A.20° B.30° C.35° D.40°
【答案】C
【解析】∵∠1＝50°，∠2＝20°，
∴∠BCD＝110°，
在菱形ABCD中，
BC＝CD，
∴∠BDC＝35°，
故选：C．
【强化训练2】如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（ ）
A.90° B.60° C.45° D.30°
【答案】B
【强化训练3】如图，平行四边形ABCD和平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝70°，∠F＝130°，则∠DAE的度数为 ．
【答案】30°
【解析】∵ ABCD与 DCFE的周长相等，且CD＝CD，
∴AD＝DE，
∵∠DAE＝∠DEA，
∵∠BAD＝70°，∠F＝130°，
∴∠ADC＝110°，∠CDE＝∠F＝130°，
∴∠ADE＝360°﹣110°﹣130°＝120°，
∴∠DAE＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
故答案为30°．
【强化训练4】如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．
【答案】解：在菱形ABCD中，AB＝AD，
∵AE＝AD，
∴AB＝AE，
设∠BAE＝x，
则∠EAD＝2x，∠ABE（180°﹣x），
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABE＝180°，
∴x+2x（180°﹣x）＝180°，
解得x＝36°，
即∠BAE＝36°．
【强化训练5】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥CD，垂足为E，且AE＝OB，求∠CAE的度数．
【答案】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AC⊥BD，AD＝DC，
又∵AE⊥CD，垂足为E，且AE＝OB，
∴DO×AC＝AE×DC，
∴AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∵AE⊥DC，
∴∠CAE＝30°．
【题型8】添加条件使四边形为菱形
【典例】如图，若四边形ABCD是一个菱形，则应满足的条件是（ ）
A.AB＝BC＝CD＝AC B.∠1＝∠2＝∠3＝∠4 C.AB＝CD，AC⊥BD D.AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD
【答案】B
【解析】A、∵AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
B、∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，故符合题意；
C、∵AB＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
D、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
故选：B．
【强化训练1】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF．在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（ ）
A.EB⊥EC B.AB＝AC C.AB⊥AC D.BF∥CE
【答案】B
【解析】∵BD＝DC，DE＝DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
要使得四边形BECF是菱形，对角线必须垂直，
只有AB＝AC时，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴此时四边形BECF是菱形，
故选：B．
【强化训练2】如图，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连接DE、DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件不可能是（ ）
A.BD＝DC B.AB＝AC C.AD＝BC D.AD⊥BC
【答案】C
【解析】添加BD＝CD，
∵E、F分别是边AB、AC的中点，
∴DE，EF是三角形的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵AB＝AC，
点E，F分别是AB，AC的中点，
∴AE＝AF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
添加AB＝AC，则三角形是等腰三角形，
由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，
即点D是BC的中点再证明即可；
添加AD⊥BC，
再由AD是△ABC的角平分线可证明△ABD≌△ACD，进而得到BD＝CD，再证明四边形ADEF为菱形即可，
故选：C．
【强化训练3】如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件 ，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）
【答案】OA=OC
【解析】OA＝OC，
∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC．
【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，E、F分别为AC上的两点，AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF．
（1）求证：BF＝DE．
（2）对△ABC添加一个条件 ，使四边形BEDF是菱形，并说明理由．
【答案】1）证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF＝DE；
（2）解：当AB＝BC时，四边形BEDF是菱形，理由如下：
由（1）得：四边形BEDF是平行四边形，
∴EO＝FO，
∵AB＝BC，O是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形BEDF是菱形，
故答案为：AB＝BC．
【题型9】根据正方形的性质求角的度数
【典例】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD于点O，
∴∠AOB＝90°，
故选：D．
【强化训练1】如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ ）
A.135° B.120° C.112.5° D.67.5°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝∠ABD＝45°，
∵四边形BEFD是菱形，
∴∠EBF∠DBC＝22.5°，
∴∠FPC＝∠BCD+∠EBF＝90°+∠22.5°＝112.5°；
故选：C．
【强化训练2】如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（ ）
A.15° B.32.5° C.22.5° D.30°
【答案】C
【解析】∵AC、BD是正方形ABCD对角线，
∴∠BAE＝∠ABD＝45°，
又AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∴∠DBE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故选：C．
【强化训练3】如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连接CE，AE，则∠AEC的度数为 ．
【答案】135°．
【解析】∵正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，
∴BE＝AB＝BC，∠ABE＝∠EBC＝45°，
∴，，
∴∠AEC＝∠BEA+∠BEC＝135°；
故答案为：135°．
【强化训练4】如图，正方形ABCD中，点E在正方形ABCD外，△AEB为等边三角形，求∠BED的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，△AEB为等边三角形，
∴AD＝AB＝AE，∠DAB＝90°，∠BAE＝∠AEB＝60°，
∴∠DAE＝90°+60°＝150°，
∴∠AED＝∠ADE15°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．
即∠BED的度数45°．
【强化训练5】已知正方形ABCD，∠ADE＝∠EAD＝15°，求△BEC各内角度数．
【答案】解：如图，过点E作EF⊥AD于点F；作∠ADM＝60°，
则∠MDE＝75°；而∠ADE＝∠EAD＝15°，
∴AE＝DE，EF平分∠AED，AF＝DF；
∴∠DEM75°，
∴∠M＝180°﹣2×75°＝30°，∠MED＝∠MDE＝75°
∴DM＝2DF，MD＝ME；而DC＝AD＝2DF，
∴MD＝CD；在△MDE与△CDE中，
，
∴△MDE≌△CDE（SAS），
∴ME＝EC；同理可证ME＝BE；
∴BE＝CE＝MD＝DC＝BC，
∴△BEC为等边三角形，
∴△BEC各内角度数为60°．
【题型10】坐标系中的正方形
【典例】如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A.（，1） B.（﹣1，） C.（，1） D.（，﹣1）
【答案】C
【解析】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：
则∠ADO＝∠OEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵点A的坐标为（1，），
∴OD＝1，AD，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC＝90°，OC＝AO，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE＝AD，CE＝OD＝1，
∴点C的坐标为（，1）；
故选：C．
【强化训练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（ ）
A.34 B.25 C.20 D.16
【答案】B
【解析】作BE⊥x轴于E，如图，
∵A（﹣3，0），B（1，b），
∴AE＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠BAE，
在△ADO和△BAE中，
∴△ADO≌△BAE，
∴OD＝AE＝4，
在Rt△AOD中，AD2＝32+42＝52＝25，
∴正方形ABCD的面积为25．
故选：B．
【强化训练2】如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（ ）
A.（2，2） B.（﹣2，2） C.（﹣2，﹣2） D.（2，﹣2）
【答案】B
【解析】如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（2，2），
∴点B、C、D的坐标分别为：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）．
故选：B．
【强化训练3】如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系．点A的坐标为（1，1），写出点B，C，D的坐标：B ，C ，D ．
【答案】（1，﹣1），（﹣1，﹣1），（﹣1，1）．
【解析】∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（1，1），
∴点B、C、D的坐标分别为：（1，﹣1），（﹣1，﹣1），（﹣1，1）；
故答案为：（1，﹣1），（﹣1，﹣1），（﹣1，1）．
【强化训练4】已知一个边长为4的正方形OABC，按如图所示的方式放在平面直角坐标系中，其中的一个顶点与原点重合，两边分别与x轴、y轴重合．则顶点A的坐标是 ．
【答案】（4，0）．
【解析】∵四边形OABC是正方形，且一个顶点与原点重合，两边分别与x轴、y轴重合，
∴OA＝4，
∴点A坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
【强化训练5】如图，正方形ABCD的边长为4，如果以AD的中点为原点，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，那么AB与x轴的位置关系是什么？BC与x轴的位置关系怎样？并写出A，B，C，D各点的坐标．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB⊥AD，BC∥AD
∵AD⊥x轴
∴AB∥x轴，BC⊥x轴，
∵AB＝BC＝CD＝AD，点O是AD中点，
∴AO＝OD＝2
∴点A（0，2），点D（0，﹣2），点B（4，2），点C（4，﹣2）
【强化训练6】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），以AB为边向右侧作正方形ABCD．求点C和点D的坐标．
【答案】解：CE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，DG⊥x轴于G．
∵四边形AOCB是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠DAB＝∠CDA＝90°．
∵A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），
∴AB
∵∠ABO+∠EBC＝∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠DAG＝∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠EBC＝∠BAO＝∠ADG，
在△BEC和△AOB与△GDA中，
，
∴△BEC≌△AOB≌△GDA（AAS），
∴EC＝OB＝AG＝3，BE＝AO＝DG＝1，
∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，OG＝AD﹣OA＝3﹣1＝2，
∴C（3，2），D（2，﹣1）．
【题型11】正方形的判定
【典例】有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的 （填“对”或“不对”）．
【答案】不对．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
再根据现有条件无法证明平行四边形ABCD为正方形，
∴文文选择的不对，
故答案为：不对．
【强化训练1】对角线相等的菱形是正方形． （判断对错）
【答案】正确．
【解析】对角线相等的菱形是正方形，故正确．
故答案为：正确．
【强化训练2】如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，求证：四边形ABCD是正方形．
【答案】证明：∵∠AED＝∠CED，
∴∠AEB＝∠CEB，
在△BAE和△BCE中，
，
∴△BAE≌△BCE（AAS），
∴BA＝BC，
∴四边形ABCD是正方形．
【强化训练3】如图，在矩形ABCD中，AD＝2CD，E是AD的中点，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．
【答案】证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形EBFC是平行四边形，
∵在矩形ABCD中，AD＝2CD，E是AD的中点，
∴AE＝AB＝DE＝DC，
在△ABE和△CDE中，
∵，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴BE＝EC，∠AEB＝∠DEC＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∴四边形EBFC是正方形．
