华师大版（2024）八年级下册 17.1 平行四边形的性质 题型专练（参考答案）
【题型1】利用平行四边形的对边平行且相等求解
【典例】 如图， ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝3 cm，AB＝4 cm，则 ABCD的周长是( )
A. 20 cm B. 21 cm C. 22 cm D. 23 cm
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝4 cm，
∴BC＝BE＋CE＝7 cm，
∴ ABCD的周长＝2(DC＋BC)＝2×(4＋7)＝22 cm；
故选C.
【强化训练1】已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为( )
A. 4 B. 12 C. 24 D. 28
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2(AB＋BC)＝32，
∴BC＝12.
故选B.
【强化训练2】平行四边形ABCD的周长为36 cm，AB﹣BC＝2 cm，则AD、CD的长度分别是（ ）
A.12 cm，6 cm B.8 cm，10 cm C.6 cm，12 cm D.10 cm，8 cm
【答案】B
【解析】∵ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD．
∵ABCD的周长为36 cm，∴AB+BC＝18 cm．
又AB﹣BC＝2 cm，
∴AB＝10 cm，BC＝8 cm．
∴AD＝8 cm，CD＝10 cm．
故选：B．
【强化训练3】 如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝AD－AE＝2.
故选D.
【强化训练4】 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A. m＋n B. mn C. 2(m＋n) D. 2(n－m)
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝m，AD＝BC＝n，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长＝DE＋CE＋DC＝DE＋AE＋DC＝AD＋DC＝m＋n，
故选A.
【强化训练5】 如图，在 ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__________．
【答案】24
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB＋∠CBA＝180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°，
在△APB中，∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5，
同理：PC＝CB＝5，
即AB＝DC＝DP＋PC＝10，
在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，
∴BP＝＝6，
∴△APB的周长＝6＋8＋10＝24.
【强化训练6】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________.
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝＝=，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝＝＝.
【强化训练7】一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是____________米．
【答案】2.5
【解析】设长边和短边长分别为5x m,3x m，
∴2(5x＋3x)＝8，解得x＝0.5，
∴长边的长是2.5米．
【题型2】利用平行四边形的对边平行且相等证明
【典例】如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】D
【解析】①∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∴平行四边形的周长，故②正确；
③∵，，
∴，
∴，故③正确；
④在中，
∵，，
∴，故④正确；
⑤∵，
∴E为中点，故⑤正确；
综上所述：正确的结论有①②③④⑤，共5个，故D正确．
故选：D．
【强化训练1】如图，在 中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接、，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①≌；②；③是等边三角形；④．
A.只有①② B.只有①②③ C.只有③④ D.①②③④
【答案】B
【解析】、是等边三角形，
，，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
≌，故正确；
，
，
，故正确；
同理可得：，
，
≌，
，
，
，
，
是等边三角形，故正确；
在等边三角形中，
等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
如果，则是的中点，，题目缺少这个条件，不能求证，故错误．
故选：B．
【强化训练2】在中，延长AB到E，使，连结DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠E=∠CDF，（故A成立）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥BE，
∴∠C=∠CBE，
∵BE=AB，
∴CD=EB，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△DCF≌△EBF（AAS），
∴EF=DF，（故B成立）；
∵△DCF≌△EBF，
∴CF=BF=BC，
∵AD=BC，
∴AD=2BF，（故C成立）；
∵AD≠BE，
∴2CF≠BE，（故D不成立）；
故选：D．
【强化训练3】如图，在 ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论：①BO＝OH；②DF＝CE；③DH＝CG；④AB＝AE；正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠H＝∠HBG，
∴BH是∠ABC的角平分线
∵∠HBG＝∠HBA，
∴∠H＝∠HBA，
∴AH＝AB，
同理可证BG＝AB，
∴AH＝BG，
∵AD＝BC，
∴DH＝CG，故③正确，
∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB，
∴BO＝OH，故①正确，
∵DF∥AB，
∴∠DFH＝∠ABH，
∵∠H＝∠ABH，
∴∠H＝∠DFH，
∴DF＝DH，
同理可证EC＝CG，
∵DH＝CG，
∴DF＝CE，故②正确，
无法证明AB＝AE，
故答案为：①②③．
【强化训练4】 在 ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝AD.求证：∠BAE＝∠CDF.
【答案】证明 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCF，
又∵EF＝AD，
∴BC＝EF，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，AB＝DC，∠B＝∠DCF，EB＝CF，
∴△BAE≌△CDF(SAS)，
∴∠BAE＝∠CDF.
【题型3】利用平行四边形的对角相等求解
【典例】 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为( )
A. 66° B. 104° C. 114° D. 124°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质，得∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°，
故选C.
【强化训练1】 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于( )
A. 105° B. 15° C. 30° D. 25°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝75°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°－∠B＝15°.
故选B.
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______.
【答案】23°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝67°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠BCD＝67°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°－67°＝23°.
【强化训练3】 如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数．
【答案】解 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
又∵BG＝DE，
在△ABG和△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，BG＝DE，
∴△ABG≌△CDE，
∴∠AGB＝∠CED，
∵∠CED＝∠AEF＝70°，
∴∠AGB＝70°.
【题型4】利用平行四边形的对角相等证明
【典例】如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，AB=BH，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论①∠A=∠BHE；②BD=BE；③∠BDE=45°；④∠BHD=∠BDG，其中正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BH，
∴AB=CD=BH，∠A=∠C，
∵DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，
∴∠C+∠CBF=∠C+∠CDE=90°，
∴∠CBF=∠CDE，
在△BEH和△DEC中，
∴△BEH≌△DEC，
∴∠BHE=∠C，
∴∠A=∠BHE；所以①正确；
∵△BEH≌△DEC，
∴BE=DE，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BD=BE，∠BEH=∠BDE=45°，所以②③正确；
∵∠BHD=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠EBH，
∴∠BDG＞∠BHD，所以④错误；
综上，①②③正确．
故选：C．
【强化训练1】平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是（ ）
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角
【答案】B
【解析】如图，∵平行四边形的对边平行，
∴平行四边形的两邻角的角互补，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠4＝90°，
∴两邻角的角平分线相交所成的角是直角．
故选：B．
【强化训练2】如图，四边形是平行四边形，以下四个结论中：
①；
②；
②；
④．
正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四边形是平行四边形，
，，，，
故正确，正确，正确，
，但不一定等于，
故②错误，
故选：B．
【强化训练3】如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 ．（只需写一种情况）
【答案】（答案不唯一）
【解析】 ，
所以补充：
△AEG≌△CFH，
故答案为：（答案不唯一）.
【强化训练4】如图，在平行四边形中，，分别平分和，交对角线于点E，F．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【强化训练5】 如图，在 ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，
∵点E，F分别为边BC，AD的中点，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
【题型5】求平行线间的距离
【典例】如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C是DA延长线与BC的交点，BCOM，则CD的最小值是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】A
【解析】∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM，
∴AD=AE=3，
∵BC∥OM，
∴∠DOA=∠B，
∵A为OB中点，
∴AB=AO，
在△ADO与△ABC中，
∴△ADO≌△ABC(SAS),
∴AC=AD=3，
∴，
故选A．
【强化训练1】已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm，则m与n之间的距离（ ）
A.等于5 cm B.等于6 cm C.等于4 cm D.小于或等于4 cm
【答案】D
【解析】∵直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，
且AB＝4 cm，AC＝5 cm，AD＝6 cm，
∴AB＜AC＜AD，
∴m与n之间的距离小于或等于4 cm，
故选：D．
【强化训练2】如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5 cm，BC=3 cm，那么平行线a，b之间的距离为（ ）
A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.不能确定
【答案】B
【解析】∵AC⊥b，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB=5 cm，BC=3 cm，
∴AC===4（ cm），
∴平行线a、b之间的距离是：AC=4 cm．
故选：B．
【强化训练3】如图，在中，点是定点，点、是直线和上两动点，，且点到直线和的距离分别是1和4，则对角线长度的最小值是 ．
【答案】5
【解析】如图，过点D作DM⊥l1于点M，延长DM交l2于点H，过点B作BN⊥l2于点N，连接MN，设CD与l1交于点E，AB与l2交于点F，
∵DM⊥l1，l1∥l2，
∴DM⊥l2，∠AED=∠DCF，
∵点D是定点，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，
∴DM=1，DH=4，
∴MH=DH-DM=4-1=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，∠ADC=∠CBA，
∴∠BFC=∠DCF，
∴∠AED=∠BFC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴BN=DM=1，
根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，
当MN⊥l1时，MN最短，BD的长度有最小值，最小值为DM+BN+MH的长，
∴对角线BD长度的最小值是1+3+1=5，
故答案为：5．
【强化训练4】如图，已知，，于点，于，．
（1）求证：；
（2）求点到的距离．
【答案】解：（1）∵，，
∴，
∴；
（2），，
∴，
∴即为点到的距离，
∵，，
∴，
，
故点到的距离为6．
【题型6】利用平行线间的距离解决问题
【典例】如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∴与面积相等的三角形为：、，
故选：B．
【强化训练1】如图，，AC与BD相交于点O．若三角形AOB的面积为4，则三角形COD的面积为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】过点A作于D点E，如图所示．
因为，
所以，
，
所以，
所以，
所以，
即．
【强化训练2】如图，，，点在上，，的面积为6，则的面积为（ ）
A.6 B.12 C.16 D.20
【答案】C
【解析】∵，，
∴．
∵，
∴的边上的高和的边上的高长度相同．
设的边上的高和的边上的高为．
根据题意，得，．
∴．
故选：C．
【强化训练3】如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于 ．
【答案】
【解析】如图，将逆时针旋转到，连接、，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【强化训练4】如图：已知，点在上，，的面积为6，则平行四边形的面积为 ．
【答案】20
【解析】如图，作于G，于H，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
又∵的面积为6，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积，
故答案为：20．
【强化训练5】如图①，我们知道若直线．则三角形与三角形的面积相等；反之，若三角形与三角形的面积相等，则也可得到直线，利用此知识解答以下问题：
如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，连接，若三角形的面积是4．
(1)求四边形的面积；
(2)求证：．
【答案】解：（1）如图所示，连接交于O，连接，
∵，和等高（分别以为底），
∴，
同理可得；
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
（2）如图所示，连接，
由（1）得，，
∴，
∴，
同理可证，
∴．
【强化训练6】如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在格点上．
(1)将平移，使得格点M、N在的内部，画出平移后的图形；
(2)利用格点画出的高线，中线；
(3)若的面积与的面积相等，满足条件的格点P有__________个．
【答案】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，高线，中线即为所求；
（3）如图，点即为所求．
满足条件的格点P有4个．
故答案为：4.
【题型7】利用平行四边形的对角线互相平分求解
【典例】如图，对角线和相交于点 O，过点O，且与，分别相交于点E，F．若，，，则四边形的周长是____________.
【答案】15
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
又，，，
∴四边形的周长是，
故答案为：15．
【强化训练1】如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是 ．
【答案】
【解析】如图所示，过点作，垂足为，
，，，
∴，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形周长，
当的值最小时，四边形的周长最小，此时，即为最小值，
四边形的周长最小值为，
故答案为：．
【强化训练2】如图，的对角线交于点O，，，且．
(1)求的长；
(2)求的面积．
【答案】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴设．
∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴.
（2）∵四边形是平行四边形，
∴.
【强化训练3】综合与实践：
如图，已知中，对角线，交于点，过点任作直线分别交，于点，．
(1)请判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，，，求四边形的周长；
(3)若，，，，请直接写出的长．
【答案】解：（1），理由如下：
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，，，
，
．
（2），
，
，
又，
四边形的周长．
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴.
【题型8】利用平行四边形的对角线互相平分证明
【典例】如图，平行四边形的对角线、交于点O，平分交于点E，，，连接OE．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】在中，，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，故①正确；
，
，
，
故平分，故②正确；
依据中，，即可得到，
故③错误；
是中点，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，故④正确．
综上所述，①、②、④正确．
故选：C．
【强化训练1】如图O为对角线、的交点，经过点O且与边、分别交于点E、F，则图中的全等三角形最多有（ ）
A.2对 B.3对 C.5对 D.6对
【答案】D
【解析】共6对，有，，，，，，
理由是：∵四边形是平行四边形，
∴，， ，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴， 而，，
∴，
同理，，
故选：D．
【强化训练2】如图，在中，对角线，交于点O，过点O作交，于点E，F，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
【强化训练3】如图，平行四边形的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：① ；②平分；③ ；④，其中正确的有 （写序号即可）．
【答案】①②④
【解析】①：根据已知条件易得△ODC为等边三角形，然后求得∠ABD=90°，即AB⊥BD，即可得到S ABCD=AB BD；
②：根据∠ADE=60°，∠BDE=30°，可得∠ADB=30°=∠BDE，即可得出DB平分∠CDE；
③：依据①②容易得到OE=CD，而CD=AB，AD=2AB，即可得到OE=BC；
④：由BE=EC可得S△CDE=S△CDB，由BO=OD可得S△BOC=S△CDB，即可得出S△CDE=S△BOC．
∵四边形ABCD为平行四边形，∠BCD=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=60°=∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，
∵AD=2AB，BC=AD，CD=AB，
∴BC=2CD=2CE=2DE，
∴DE=CE=BE，
∴∠BDE=∠DBE=∠CED=30°，
∴∠CDB=90°，
∴∠ABD=90°，即AB⊥BD，
∴S ABCD=AB BD，故①正确；
由①知，∠ADE=60°，∠BDE=30°，
∴∠ADB=30°=∠BDE，
∴DB平分∠ADE，故②正确；
∵BC=2CD=2CE，
∴OE=CD，
∵AD=2AB，
∴BC=2CD，
∴OE=BC，故③不正确；
∵BE=EC，
∴S△CDE=S△CDB，
∵BO=OD，
∴S△BOC=S△CDB，
∴S△CDE=S△BOC，故④正确；
故答案为：①②④．
【强化训练4】如图，的对角线相交于点分别是的中点，求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
．
分别是的中点，
，
．
在和中，，
．
【强化训练5】[教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
[性质应用]如图2，在中，对角线相交于点，过点且与边分别相交于点．
求证：．
[拓展提升]在[性质应用]的条件下，连结．若，的周长是，则的周长是________．
【答案】解：[教材呈现]
四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
，；
性质应用
四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
；
[拓展提升]
如图2，，
，，
，
是等腰三角形，
，
，
的周长，
四边形是平行四边形，
，，
的周长，
故答案为：．华师大版（2024）八年级下册 17.2 平行四边形的判定 题型专练
【题型1】根据定义判定平行四边形
【典例】如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC AD，则四边形ABCD为平行四边形．
【强化训练3】如图，四边形ABCD中，AB＝CB，AC与BD交于点F，F为AC的中点，E为四边形ABCD外一点，且ABDE，∠EAC＝90°．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形．
(2)若DA平分∠BAE，AB=10，AD=12，求AC的长．
【题型2】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【典例】如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（ ）
A.△ABD≌△ECD
B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形
C.DA＝DE
D.CE＝CD
【强化训练1】要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】若四边形中，，相交于点，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足 ，从对角线的关系看应满足 ．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD的中，AD//BC，，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F，连接BD，CF．
(1)求证：四边形BCFD是平行四边形；
(2)若，，求四边形ABCF的面积．
【强化训练4】如图，四边形的对角线相交于点O，，过点O且与，分别相交于点E，F，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若，的周长是15，求四边形的周长．
【题型3】判定能否构成平行四边形
【典例】下列说法错误的是（ ）
A.对角分别相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.相邻的角互补的四边形是平行四边形
【强化训练1】如图，是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】有4张大小相同的正方形纸片，按图中的虚线剪开（同一图形中，作相同标记的两条线段相等），利用剪下来的两部分图形能拼成三角形和平行四边形的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练3】下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 （填上正确答案的序号）
①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等．
【强化训练4】图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上，请图1、图2中各画一个四边形，满足以下要求：
（1）在图1中，以AB、BC为边画平行四边形ABCD，点D在小正方形的顶点上；
（2）在图2中，以AB、BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，且此四边形有一组对边平行，而另一组对边不平行，并直接写出四边形ABCE的面积．
【题型4】添加一个条件成为平行四边形
【典例】如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，在正六边形中，，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是（ ）
A.①②④ B.①③④ C.①②③④ D.①④
【强化训练2】如图，木棒平行于木棒，当木棒 木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形．
【强化训练3】如图，E，F是对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形．
【强化训练4】如图，E、F是四边形的对角线上的两点．
(1)若，只添加一个条件： ，使四边形为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形．
【强化训练5】在①AD＝BC，②，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，_______（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形．
【题型5】平行四边形的个数问题
【典例】如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A.7个 B.8个 C.9个 D.11个
【强化训练1】数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ）
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
【强化训练2】如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．
【强化训练3】如图所示，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，图中有 个平行四边形．
【强化训练4】已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为．
(1)作出经平移后所得的图形．
(2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）．
【题型6】动点中的平行四边形判定问题
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A. B. C.或 D.或
【强化训练1】如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（ ）
A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（ ）
A.3 s B.6 s C.3 s或5 s D.4 s或6 s
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6 cm，AD＝12 cm，BC＝15 cm．点P从A点出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，规定其t＝ s时，PQ∥CD且PQ＝CD．
【强化训练4】如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27 cm，BC＝36 cm，点P从A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
【强化训练5】如图，长方形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝9 cm，点E、F分别在AD、BC上，且BF＝DE＝3 cm，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中：已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【题型7】综合运用平行线的性质与判定进行求解
【典例】如图，在四边形中，，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】在四边形中，，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，在四边形中，，，，点O为的中点，则 ．
【强化训练4】已知：如图，E、F是对角线上的两点．
(1)若，求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数．
【题型8】综合运用平行线的性质与判定进行证明
【典例】如图所示，已知与关于点中心对称，过任作直线分别交，于点，，下面的结论：
①点和点，点和点是关于中心的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与成中心对称．
其中正确的是 ．
【强化训练1】如图，在中，E，F是对角线上的两点，，下列结论：①；②；③四边形为平行四边形；④；正确的是 ．（填写序号）
【强化训练2】如图，在平行四边形 中，分别平分和，交于点E，交于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接分别交于点G、H，连接与交于点M，与交于点N，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形除外）．
【强化训练3】如图，在中，E、F分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)对角线分别与交于点M、N，求证：．
