华师大版（2024）八年级下册 18.2 菱形 题型专练
【题型1】利用菱形的性质求角度
【典例】如图，在菱形中，，是对角线，的交点，点在的延长线上，且．则 度．
【强化训练1】已知菱形为对角线上一点（点不与重合），若是等腰三角形，则的度数为 度．
【强化训练2】如图，在菱形中，于点，于点．，求的度数．
【强化训练3】如图，在菱形中，分别是和上的点，且
（1）求证：
（2）若，求的度数．
【题型2】利用菱形的性质求面积
【典例】如图，菱形的边长为4，，则菱形的面积为（ ）
A.6 B. C. D.12
【强化训练1】如图，菱形的周长为32，，，，垂足为别为E、F，连接，则的面积是( )
A.8 B. C. D.
【强化训练2】如图，某市计划在一片空地上修建一个边长为的菱形公园，顶点作为主要出入口．为小路的中点，、是两条主要通道，要在它们的交点以及点处建两个休息亭，使得这两个休息亭到出入口的距离相等，则计划建造的这个菱形公园的面积为 ．
【强化训练3】如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点D作对角线的垂线交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求菱形的面积．
【题型3】菱形中的翻折问题
【典例】如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，为矩形的对角线，点E、F分别在边上，将边沿折叠，点B恰好落在上的点M处，将边沿折叠、点D恰好落在上的点N处，若四边形是菱形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知、，则的度数为( )
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，为矩形的对角线，点E、F分别在边上，将边沿折叠，点B恰好落在上的点M处，将边沿折叠、点D恰好落在上的点N处，若四边形是菱形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练4】如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知、，则的度数为( )
A. B. C. D.
【强化训练5】如图，在菱形中，，分别在边上，，将沿折叠，点落在的延长线上的点处，则 ．
【强化训练6】如图，菱形中，，E是上的点，沿折叠，点A恰好落在上的点F，那么的度数是 ．
【强化训练7】如图，已知菱形的边长为3，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，使得点恰好落在边的中点处，则 ．
【题型4】菱形中的动点问题
【典例】如图，在菱形中，°，在对角线上任取一点Р（端点除外），连接、．在BA的延长线上取一点Q，使．当点Р在线段上移动时：①；②当点P沿CA方向运动时，的度数先变小，后变大；③；④．其中，说法正确的序号是 ．
【强化训练1】在菱形ABCD中，∠C=120°，点E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，则当PA+PE的值最小时，∠APB= ．
【强化训练2】如图，在菱形中，，点E是上的动点，点F是上的动点，
(1)若，求证∶ ；
(2)若，猜想形状（不写证明过程）．
【强化训练3】如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，．
(1)求证：；
(2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由．
【题型5】用定义判定菱形
【典例】如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是( )
A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60°
【强化训练1】汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形
【强化训练2】如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为______________．
【强化训练3】菱形判定方法1：有一组邻边 的平行四边形是菱形．
【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.
求证：(1)△AEH≌△CGF；
(2)四边形EFGH是菱形．
【强化训练5】如图，已知在 ABCD中，AE平分∠BAD，即∠1＝∠2，BF平分∠ABC，即∠3＝∠4，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形．
【题型6】添加一个条件是菱形
【典例】如图，平行四边形中，点在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有三种方案：
①只需要满足；
②只需要满足；
③只需要满足
则上述方案正确的是( )
A.①②③ B.①③ C.③ D.②③
【强化训练1】嘉嘉自编一题：“如图，在四边形中，对角线交于点O，，．求证：四边形是菱形．”并将自己的证明过程与同学淇淇交流．
证明：∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∴四边形是菱形．
淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明．下列正确的是( )
A.题目严谨，不用添加条件
B.题目不严谨，可补充：
C.题目不严谨，可补充：
D.题目不严谨，可补充：
【强化训练2】如图，在中，、分别为边、的中点，点、在上，且，若添加一个条件使四边形是菱形，则下列可以添加的条件是
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是 ．
【强化训练4】如图，已知平行四边形中，延长至点，使，连接和．
(1)求证：；
(2)请你给图中补充适当的条件，使四边形成为菱形；请结合补充条件证明.
【强化训练5】如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点H．连接、．
(1)四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
(2)若长为2，则的长为 时， 四边形为菱形．
【题型7】综合利用菱形的判定与性质进行证明
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，，，以点A为圆心AB长为半径画弧交边AD于点F：以点B为圆心AB长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，BF和EF．下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
【强化训练1】四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是( )
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q，
①；
②四边形是菱形；
③P，A重合时，；
④点C、M、G三点共线．
其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练3】四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是( )
A. B. C. D.
【强化训练4】如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q，
①；
②四边形是菱形；
③P，A重合时，；
④点C、M、G三点共线．
其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练5】如图，在四边形中，是上一动点，连接交于，连接．
(1)证明：；
(2)若，试证明四边形是菱形；
(3)在（2）的条件下，当点运动到离点距离最近时，猜想与的关系，并说明理由．
【强化训练6】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，点E为边CD上一点，且DE＝DA，过点E作EQ//DA交AB于点Q，连接DQ．点G在AQ上，点F在EQ上，连接CG，DG，DF，CF，满足CG＝CD，EF＝GQ．
(1)求证：△DGQ≌△DFE；
(2)求证：CF平分∠DCG．华师大版（2024）八年级下册 18.2 菱形 题型专练（参考答案）
【题型1】利用菱形的性质求角度
【典例】如图，在菱形中，，是对角线，的交点，点在的延长线上，且．则 度．
【答案】52
【解析】四边形是菱形，是对角线，的交点，
，，是的角平分线．
．
又，
．
．
又，
，
．
．
故答案是：．
【强化训练1】已知菱形为对角线上一点（点不与重合），若是等腰三角形，则的度数为 度．
【答案】或
【解析】如图，
∵是菱形，，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
当时，
∴，
∴，
当时，
∴，
∵，
∴，
故答案为：或．
【强化训练2】如图，在菱形中，于点，于点．，求的度数．
【答案】解：在菱形中，，
，，
于点，于点，
，
在和中，，
．
【强化训练3】如图，在菱形中，分别是和上的点，且
（1）求证：
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AB=CB，AD=DC，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=150°，
∵∠ADB∠ADC=75°，
∵∠CDF=50°，
∴∠EDB=∠ADB-∠ADE=∠ADB-∠CDF=25°．
【题型2】利用菱形的性质求面积
【典例】如图，菱形的边长为4，，则菱形的面积为（ ）
A.6 B. C. D.12
【答案】C
【解析】如图，连接，过点作交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵菱形的边长为4，即，
∴在中，，
∴，
∴菱形的面积是．
故选：C．
【强化训练1】如图，菱形的周长为32，，，，垂足为别为E、F，连接，则的面积是( )
A.8 B. C. D.
【答案】C
【解析】菱形的周长为32，
，
，
，，
和都为等边三角形，
，，
，，，，
，，，
∴为等边三角形，
的面积．
故选：C．
【强化训练2】如图，某市计划在一片空地上修建一个边长为的菱形公园，顶点作为主要出入口．为小路的中点，、是两条主要通道，要在它们的交点以及点处建两个休息亭，使得这两个休息亭到出入口的距离相等，则计划建造的这个菱形公园的面积为 ．
【答案】
【解析】如图，连接交于点，则，
为的中点，
)，
)，
，
，
，
，
，
)，
)，
)，
在中，由勾股定理得，
，
菱形公圆的面积为 ．
故答案为：．
【强化训练3】如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点D作对角线的垂线交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
又 ，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
菱形中，，，
菱形的面积．
【题型3】菱形中的翻折问题
【典例】如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由翻折变换可知，AB=FB，∠A=∠EFB=65°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=65°，
∴BF=BC，
∴∠BFC=∠C=65°，
∴∠DFE=180°-∠EFB-∠BFC =180°-65°-65° =50°，
故选：D．
【强化训练1】如图，为矩形的对角线，点E、F分别在边上，将边沿折叠，点B恰好落在上的点M处，将边沿折叠、点D恰好落在上的点N处，若四边形是菱形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【强化训练2】如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知、，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由翻折得，，
四边形是菱形，
，，
，
，
,
故选：C．
【强化训练3】如图，为矩形的对角线，点E、F分别在边上，将边沿折叠，点B恰好落在上的点M处，将边沿折叠、点D恰好落在上的点N处，若四边形是菱形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【强化训练4】如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知、，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由翻折得，，
四边形是菱形，
，，
，
，
,
故选：C．
【强化训练5】如图，在菱形中，，分别在边上，，将沿折叠，点落在的延长线上的点处，则 ．
【答案】
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵将沿折叠后得，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
【强化训练6】如图，菱形中，，E是上的点，沿折叠，点A恰好落在上的点F，那么的度数是 ．
【答案】75°
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A+∠ABC=180°，BD平分∠ABC，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠FBC=30°，
根据折叠可得AB=BF，
∴FB=BC，
∴∠BFC=∠BCF=（180°-30°）÷2=75°，
故答案为：75°．
【强化训练7】如图，已知菱形的边长为3，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，使得点恰好落在边的中点处，则 ．
【答案】2.1
【解析】过点作于点，如图所示：
，四边形是菱形，
，
，
设，则，，，
，
，
中，，
解得：，
，
故答案为：2.1．
【题型4】菱形中的动点问题
【典例】如图，在菱形中，°，在对角线上任取一点Р（端点除外），连接、．在BA的延长线上取一点Q，使．当点Р在线段上移动时：①；②当点P沿CA方向运动时，的度数先变小，后变大；③；④．其中，说法正确的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】连接，过点分别作于点，于点，如图所示，
四边形为菱形，
，．
，
，
，，
①和④正确．
，，
为等边三角形，
．
，，
，．
，
．
，
．
为定值．
②不正确．
，，
是等边三角形．
，，
，
，，
．
．
③正确．
故答案为：①③④
【强化训练1】在菱形ABCD中，∠C=120°，点E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，则当PA+PE的值最小时，∠APB= ．
【答案】60°
【解析】如图，连接AC，CE，AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，AO=CO，，AB=BC=CD=AD，，
∴AP=CP， ，
∵∠BCD=120°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
又∵点E为AD的中点，
∴CE⊥AD，
∵CP+PE≥CE，AP=CP，
∴当C，P，E三点共线时，PA+PE的值最小，等于CE的长，
此时，∠ADP=∠DAP=30°，
∴∠APB=30°+30°=60°．
故答案为：60°．
【强化训练2】如图，在菱形中，，点E是上的动点，点F是上的动点，
(1)若，求证∶ ；
(2)若，猜想形状（不写证明过程）．
【答案】解：（1）连接，如下图：
在菱形中，，，
∴为等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）等边三角形，理由如下：
作，如下图，
则，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
【强化训练3】如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，．
(1)求证：；
(2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，
∴．
∵E为的中点，
∴.
在和中，
，
∴．
（2）解：当时，四边形是矩形．
理由如下：
由（1）知，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵在菱形中，，M为的中点，
∴．
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形．
【题型5】用定义判定菱形
【典例】如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是( )
A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60°
【答案】B
【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC平行且等于ED，
∴四边形ACDE为平行四边形，
当AC＝BC时，则DE＝EC，
∴平行四边形ACED是菱形．
故选B.
【强化训练1】汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形
【答案】C
【解析】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD＝BC AE＝CD AF．又AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
【强化训练2】如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为______________．
【答案】菱形
【解析】由题意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG＝EF＝AC，EH＝FG＝BD，
∵矩形的对角线相等，
∴AC＝BD，
∴EH＝HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．
【强化训练3】菱形判定方法1：有一组邻边 的平行四边形是菱形．
【答案】相等
【解析】有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为：相等．
【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.
求证：(1)△AEH≌△CGF；
(2)四边形EFGH是菱形．
【答案】证明：(1)如题图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△AEH与△CGF中，AE=CG，∠A=∠C，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF(SAS)；
(2)∵在ABCD中，∠B＝∠D，且AB＝CD，AD＝BC，
又∵AE＝CG，AH＝CF，
∴BE＝DG，DH＝BF，
∴△DHG≌△BFE，
∴HG＝EF，又∵HE＝GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵EG平分∠HEF，
∴∠1＝∠2又∵HG∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴HE＝HG，
∴EFGH是菱形.
【强化训练5】如图，已知在 ABCD中，AE平分∠BAD，即∠1＝∠2，BF平分∠ABC，即∠3＝∠4，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠5，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠5，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形．
【题型6】添加一个条件是菱形
【典例】如图，平行四边形中，点在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有三种方案：
①只需要满足；
②只需要满足；
③只需要满足
则上述方案正确的是( )
A.①②③ B.①③ C.③ D.②③
【答案】B
【解析】在中，，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是菱形，
∴，
∴平行四边形是菱形，①符合要求；
②：平行四边形中存在，
根据②，无法确定平行四边形是菱形，②不符合要求；
③∵平行四边形中，，
∴平行四边形是菱形，③符合要求；
故选：B．
【强化训练1】嘉嘉自编一题：“如图，在四边形中，对角线交于点O，，．求证：四边形是菱形．”并将自己的证明过程与同学淇淇交流．
证明：∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∴四边形是菱形．
淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明．下列正确的是( )
A.题目严谨，不用添加条件
B.题目不严谨，可补充：
C.题目不严谨，可补充：
D.题目不严谨，可补充：
【答案】C
【解析】根据题意得：嘉嘉的说法无法证得四边形是菱形，故A选项不符合题意；
若添加无法说明四边形是平行四边形，
则不能得到四边形是菱形，故B选项不符合题意；
若添加，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故C选项符合题意；
若添加无法说明四边形是平行四边形，
则不能得到四边形是菱形，故D选项不符合题意；
故选：C．
【强化训练2】如图，在中，、分别为边、的中点，点、在上，且，若添加一个条件使四边形是菱形，则下列可以添加的条件是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】可以添加的条件是，
理由：四边形是平行四边形，
，，
、分别为边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
连接交于，
，，
，
四边形是菱形，
故选：D．
【强化训练3】如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意知，可添加：．
则三角形是等腰三角形，
由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，
即点D是的中点，
∴是三角形的中位线，
∴， ，
∴四边形是平行四边形，
∵，点E，F分别是的中点，
∴，
∴平行四边形为菱形．
故答案为：、或（答案不唯一）．
【强化训练4】如图，已知平行四边形中，延长至点，使，连接和．
(1)求证：；
(2)请你给图中补充适当的条件，使四边形成为菱形；请结合补充条件证明.
【答案】（1）证明：∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴.
（2）解：补充条件为：且，
证明如下：在平行四边形中，，．
∴四边形是平行四边形，
∵且,
∴是等边三角形，
∴，
又∵．
∴,
∴平行四边形是菱形．
【强化训练5】如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点H．连接、．
(1)四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
(2)若长为2，则的长为 时， 四边形为菱形．
【答案】解：（1）四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，，
在和中，
，
，
，
矩形由矩形旋转得到，
，，
四边形为平行四边形；
（2）当时，四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【题型7】综合利用菱形的判定与性质进行证明
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，，，以点A为圆心AB长为半径画弧交边AD于点F：以点B为圆心AB长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，BF和EF．下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由作图可知：AB=BE，AF=AB，
∴AB=BE=AF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，即AFBE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AB=EF，AE⊥BF，∠AEB=∠AEF，故A、B、C选项都不符合题意；
而∠ABC≠90° ，∴四边形ABEF不是矩形，∴AE≠BF，故D选项符合题意．
故选：D．
【强化训练1】四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接AC，
∵，
∴，．
∵四边形APCQ是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴AD=BC，，故A正确，不符合题意．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴，，故B、C正确，不符合题意．
∵当AP=BP时，，
∴D选项不一定成立，故该选项符合题意．
故选D．
【强化训练2】如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q，
①；
②四边形是菱形；
③P，A重合时，；
④点C、M、G三点共线．
其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】，
，
由翻折可知：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故②正确；
，，
，
，
若，则，
，这个不一定成立，故①错误；
点与点重合时，如图2，
设，则，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
，故③正确；
由折叠可知：，
，
四边形是菱形，
，
，
，，三点一定在同一直线上，故④正确，
综上所述：正确的结论有②③④，共3个，
故选：C．
【强化训练3】四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接AC，
∵，
∴，．
∵四边形APCQ是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴AD=BC，，故A正确，不符合题意．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴，，故B、C正确，不符合题意．
∵当AP=BP时，，
∴D选项不一定成立，故该选项符合题意．
故选D．
【强化训练4】如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q，
①；
②四边形是菱形；
③P，A重合时，；
④点C、M、G三点共线．
其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】，
，
由翻折可知：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故②正确；
，，
，
，
若，则，
，这个不一定成立，故①错误；
点与点重合时，如图2，
设，则，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
，故③正确；
由折叠可知：，
，
四边形是菱形，
，
，
，，三点一定在同一直线上，故④正确，
综上所述：正确的结论有②③④，共3个，
故选：C．
【强化训练5】如图，在四边形中，是上一动点，连接交于，连接．
(1)证明：；
(2)若，试证明四边形是菱形；
(3)在（2）的条件下，当点运动到离点距离最近时，猜想与的关系，并说明理由．
【答案】解：（1）在和中，
，
，
；
（2）
，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形.
（3），
当时最短,
此时，，
四边形是菱形,
，
又，，
，
，
．
【强化训练6】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，点E为边CD上一点，且DE＝DA，过点E作EQ//DA交AB于点Q，连接DQ．点G在AQ上，点F在EQ上，连接CG，DG，DF，CF，满足CG＝CD，EF＝GQ．
(1)求证：△DGQ≌△DFE；
(2)求证：CF平分∠DCG．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵EQ∥AD，
∴四边形ADEQ是平行四边形，
∵AD＝ED，
∴四边形ADEQ是菱形，
∴AD＝ED＝EQ＝AQ，
∵∠A＝60°，
∴△ADQ、△DEQ是等边三角形，
∴∠DQA＝∠EDQ＝∠DEQ＝60°，DQ＝AD＝DE，
在△DGQ和△DFE中，
，
∴△DGQ≌△DFE（SAS）；
（2）连接GF，
∵△DGQ≌△DFE，
∴∠QDG＝∠EDF，DF＝DG，
∴∠QDG+∠FDQ＝∠EDF+∠FDQ＝∠EDQ＝60°，即∠GDF＝60°，
∴△GDF是等边三角形，
∴DF＝GF，
在△CDF和△CGF中，，
∴△CDF≌△CGF（SSS），
∴∠DCF＝∠GCF．
