黑龙江哈尔滨2025-2026学年下学期高三数学2月开学考试卷（含答案）

二月阶段性测试 2023 级高三数学试卷
(本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟)
第 I 卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题: 本题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个是 符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 若复数 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 在等比数列 中，若 ，则 ( )
A. 6 B. 9 C. 15 D. 81
4. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 ()
A. B. 4 C. D.
5. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 从装有 3 个黑球和 3 个白球(球的大小、质地完全相同)的不透明袋子中随机取出 2 个球，已知三个白球的编号分别为1,2,3，三个黑球的编号分别为4,5,6，则取出的 2 个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为( )
A. B. C. D.
7. 设双曲线 的右顶点为 ,过点 且斜率为 2 的直线与 的两条渐近线分别交于 两点 (其中点 在第一象限). 若 为坐标原点,点 满足 , ，则双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，若不等式 在 上恒成立， 则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合 题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 的部分图像如图所示,且阴影部分的面积为 , 则下列说法正确的有( )
A. 函数 的最小正周期为
B. 为函数 的一个对称轴
C. 要得到函数 ,需将函数 向右平移 个单位长度
D. 函数 在区间 上单调递增
10. 已知 ,且 ,则下列说法正确的有( )
A. 的最大值为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为 4
11. 在正四面体 中,已知 平面 平面 ,点 分别在棱 上, 下列说法正确的是( )
A. 若 分别为棱 的中点，且平面 不经过点 ， 则 平面
B. 当 为棱 的中点时,平面 平面
C. 若四面体 的棱长为 2,则其外接球的体积为
D. 若点 为 的中点，则 与平面 所成角的正弦值的最大值为
三、填空题:本题共 3 个小题，每题 5 分，共 15 分.
12. 在 的展开式中, 项的系数是_____. (用数字作答)
13. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与抛物线交于 两点,其准线与 轴的交点为 ，若 ，且 的面积为 ，则 的值为_____.
14. 已知函数 ，直线 与 和 均相切，切点分别为 ，则 _____.
第 II 卷(非选择题 共 77 分)
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分) 在 中,角 的对边分别为 ,若 ,且 的面积为 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的周长.
16. (本小题满分 15 分)如图所示，四边形 与 均为菱形， ，且 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)试问直线 上是否存在点 ，使直线 平面 ，若存在， 求出点 的位置; 若不存在,请说明理由.
17. (本小题满分 15 分) 为落实中央经济工作会议 “坚持内需主导, 建设强大国内市场” 的精神, 某市大力推行某项消费补贴政策. 政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”, 形成消费涟漪, 进一步扩大内需. 政策规定每个家庭在 2026 年一年内有两次机会领取补贴, 每次消费 5000 元以上可以领取 500 元补贴. 通过调查可知,该市有 的家庭了解政策; 在所有了解政策的家庭中，有 的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有 的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向. 调研发现,每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为 ，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为 .
(1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是 “因了解政策而产生消费意向” 的概率;
(2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列；
(3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下:两个家庭合计拿到 1000 元补贴，带动家庭可以拿到
100 元奖励; 两个家庭合计拿到 1500 元补贴, 带动家庭可以拿到 200 元奖励; 两个家庭合计拿到 2000 元补贴，带动家庭可以拿到 300 元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励(单位:元).
18. (本小题满分 17 分) 已知椭圆 的长轴长为 4,且点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ，连接 ( 为坐标原点) 并延长,交椭圆 于点 ,交直线 于点 .
① 若 ，求 的值；
②若 ，试问直线 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
19. (本小题满分 17 分) 已知函数 ,且 为函数 的极值.
(1)求实数 的值；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明:当 时， .
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D A B C C B C ABD AC ABD
二、填空题
12. -8 13. 4 =-801.4 14. -3
三、解答题
15. (1)因为 ，由正弦定理可知， ， —2 分所以 ,所以 ，_____4分
因为 ,所以 ,所以 . ————6 分
(2)因为 ，所以 ， ————7 分
因为 且 ，所以 ，且 _9分
所以 ，一乎——10 分
因为 ，所以 ，_____ 12 分
所以周长为 . 13 分
16.(1)设 的交点为 ，连接 ，因为四边形 与 均为菱形，且
，所以 ，_____2分
又因为 ,且 为 中点,所以 ,_____3 分
又因为 ,所以 平面 ,
所以平面 平面 . 5 分
(2)因为 ，且 ，所以 平面 ，_____ 设 ，因为四边形 与 均为菱形，且 ，所以 ,又因为 ,所以在 中, , 所以 - - - - - 7 分
因为 ,所以 平面 ,所以,以 为坐标原点,
为 轴建立空间直角坐标系,
所以 ,
所以
设平面 的法向量 ,所以 分
因为平面 的法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ,所以 10 分
(3)设 ，所以 ，_____11分
,
设平面 的法向量 ,所以 , 13 分
因为 平面 ,所以 ,所以 , 14 分
所以点 在 延长线上,且满足 .15 分
17. (1)设事件 为抽取到的是一个有消费意向的家庭，事件 为该家庭是 “因了解政策而产生消费意向” 的家庭———1 分
,———2 分 3 分
所以
所以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下, 该家庭是 “因了解政策而产生消费意向” 的概率为
(2)设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为 ， 的可能取值为
0,500,1000,1500,2000
分
分
, 7 分
8 分
.9 分
所以 的分布列为
0 500 1000 1500 2000
1 6 1 8 3 8 9 64
10 分
带动家庭可以拿到 100 元奖励的概率为 ，11 分
带动家庭可以拿到 200 元奖励的概率为 .12 分
带动家庭可以拿到 300 元奖励的概率为 ，_____13分
该带动家庭可以拿到的奖励为 (元) 15 分
18.(1)因为 ，所以 ，1 分
因为 ,所以 _____3 分
所以椭圆 的方程为
(2)①当直线 的斜率一条不存在，另一条为 0 时，
当直线 的斜率存在且不为 0 时,设 因为
设直线 ,联立方程得 ,所以 , 7 分
所以 , 8 分
同理 , 9 分
所以 ，10 分
② 设 ，将 带入椭圆方程，得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，_____ 12 分
所以直线 ,
同理 , 13 分
联立 ,所以 ,
所以 ,所以 , 14 分
令 ，所以 ，所以 ，_____15分
又因为 ,所以
所以直线 ,所以直线 过定点 ————17 分
19.(1)因为 ，且 为函数 的极值，所以 ， 所以 分
(2)设 ，
设 ,所以 在 上是增函数,所以
分
当 时, ,所以 在 上是增函数,所以 ,所以 或 ,因为 ,所以 分
当 时,设 在 上的根为 ,即 ,所以 在 上是增函数,
在 上是减函数,所以 , 所以 或 ,因为 ,所以 分
因为 ,设 ,所以 在 上是减
函数,所以 ,所以 , 分
综上所述， 或 _____ 11 分
(3)由 可知， ，
所以 时, , 15 分
所以 ,
因为 ,所以 时, ，17 分