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高频考点专练09 分式方程
（3个知识点+6个题型+1个专练+验收卷）
1．分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
【归纳】
（1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
（2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．
（3）分母中含有字母的方程未必是分式方程．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
（3）解分式方程产生不适合原方程解的原因：
在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．
3．分式方程的应用
分式方程的应用基本思路和方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
类型1 解分式方程
【例题】
1．（2025·广东广州·模拟预测）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解法是正确解答此题的关键，注意要检验．
将分母因式分解后通分，转化为整式方程求解，并检验分母不为零．
【详解】解：
原方程化为，
两边同乘，得．
∴，
解得，
检验：当时，，
∴原方程的解为，
故选：B．
【变式】
2．（2025·广东江门·二模）代数式与代数式的和为1，则 ．
【答案】或
【知识点】解分式方程（化为一元二次）
【分析】本题考查了解分式方程，根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：∵代数式与代数式的和为1，
∴，
去分母得，，
解得，，，
经检验，，均为原方程的解，
故答案为：或．
3．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下：
第一步：，第二步：，第三步：，第四步：．第五步：检验：当时，．第六步：原分式方程的解为．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
【答案】见解析
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验．
先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可．
【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立；
小李的解答过程不正确，正确解答如下：
，
，
解得：，
经检验，是增根，
∴原方程无解．
4．（2025·广东·模拟预测）解分式方程：．
解：方程两边同乘以，得，……第一步
去括号，得，……第二步
移项 合并同类项，得，……第三步
方程两边同除以2，得，……第四步
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________；
②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________；
任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程．
【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、等式的性质2
【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
任务一：①利用等式的基本性质判断即可；
②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可；
任务二：写出分式方程的正确的解即可．
【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误；
故答案为：二，完全平方式展开错误；
任务二：，
，
，
，
，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
5．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程．
题目：先化简，再求值：，其中解：原式．
(1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程；
(2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值．
【答案】(1)①，加括号时，括号内的第二项没有变号；正确的解答过程见解析；
(2)
【知识点】分式化简求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，然后再写出正确的解答过程即可；
（2）令（1）中化简后的结果为，求出相应的的值即可．
【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，
故答案为：，加括号时，括号内的第二项没有变号；
正确的解答过程如下所示：
；
（2）解：当时，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
即若代入求值后的计算结果为，题目中被墨水遮住的的值为．
类型2 由分式方程解的情况求参数
【例题】
6．（2025·广东梅州·一模）已知是关于x的方程的解，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程，由题意可得，再解分式方程即可得解，熟练掌握解分式方程的方法是解此题的关键．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
解得：，
当时，，
∴是分式方程的解，
故选：C．
【变式】
7．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了分式方程解的定义，分式方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可．
【详解】解：是分式方程的解，
，
解得：，
故选：C．
8．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可判断．
【详解】解：设印刷不清的分母为，
由题意得，，
解得：，
A、当时，，符合题意；
B、当时，，不符合题意；
C、当时，，不符合题意；
D、当时，，不符合题意；
故选：A．
9．（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，解不等式组可得，解分式方程可得，再结合已知不等式组和分式方程解的情况即可求解．
【详解】解：不等式组整理得：，
解得：，
由不等式组有且只有两个奇数解，得到，
解得：，
即整数，3，4，5，6，7，8，9，
分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程解为非负整数，
得到，6，8，之和为16，
故选：B．
类型3 分式方程无解问题
【例题】
10．（2020·广东深圳·一模）若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或 D．
【答案】C
【知识点】分式方程无解问题
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解的意义，计算即可求出m的值.
【详解】解：去分母得：，
整理得，，
当时，即时，方程无解，
当时，，即x=3时，方程无解，
此时，解得，
所以，或，
故选：C.
【点睛】本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，理解分式方程无解的意义，是解题的关键．
【变式】
11．（2021·广东广州·二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）
A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
【答案】C
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、分式方程无解问题
【分析】解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程无实数根，于是得到结论．
【详解】解：∵分式方程去分母后得到整式方程，
，
∴方程无实数根，
∴方程无解，
故整式方程不正确，分式方程无解，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判别式,熟练将分式方程转化为一元二次方程是解题的关键．
12．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是
【答案】2
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，即进行求解即可．
【详解】解：
去分母，得：，
整理，得：；
∵方式方程无解，当分式方程有增根时，则：，解得，
把，代入，得：，
解得：；
故答案为：2．
13．（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
【答案】第三步错误，见解析
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可．
【详解】解：
方程两边同乘，得，第一步，
整理，得，第二步，
当，即时，此时满足原方程无解，
当时，，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或，
∴第三步出现错误．
14．（2024九年级下·全国·专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答．
【详解】（1）解：依题意，
方程两边同时乘以得
解得
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：设？为，
方程两边同时乘以得
∵是原分式方程的增根，
∴把代入上面的等式得
∴，原分式方程中“？”代表的数是．
类型4 列分式方程
【例题】
15．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
【变式】
16．（2024·广东·模拟预测）某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的工程问题、列分式方程
【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，解题关键是根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“新工艺比原工艺少用9小时”这一等量关系列出方程．
【详解】解：设采用新工艺前每小时加工千克梨干，
因此根据题意，列方程为：，
故选：B．
17．（2025·广东广州·二模）马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为42公里，在比赛中选手甲的平均速度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早40分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙的平均速度为，由题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设乙的平均速度为，则甲的平均速度为，
由题意得：．
故选：B．
18．（2025·广东广州·二模）为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找出题中的等量关系．
设乙组每小时做个虾饺，根据“甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同”列出方程．
【详解】解：设乙组每小时做个虾饺，则甲组同学平均每小时做个虾饺，
根据题意，得，
故选： A．
19．（2025·广东广州·二模）赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒，根据时间等于路程除以速度分别表示出两队的时间，再根据A队比B队提前了25秒到达终点建立方程即可．
【详解】解：设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒，
由题意得，，
故选：A．
20．（2025·广东深圳·二模）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，行程问题常用的等量关系为：时间路程速度．设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，根据采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快，列出方程即可．
【详解】解：设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，根据题意：
，
故选：B．
21．（2025·广东深圳·一模）盲公饼是广东省某市的一种特色美食，其以味美酥脆而享誉国内外，许多人将其作为送礼佳品．春节期间，某商店老板第一次用1800元购进袋装盲公饼若干，发现很快销售一空．第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍，其中袋装盲公饼比盒装的每份进价便宜3元．若设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了列分式方程，设袋装盲公饼的进价为x元，则盒装盲公饼的进价为元，根据“第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为，
故选：A．
22．（2025·广东深圳·二模）在“书香随行，快乐过年”的寒假阅读活动中，小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页，因此实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同．设小明每天原计划读的页数为页，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同，列出方程即可．
【详解】解：设小明每天原计划读的页数为页，则实际每天读页，由题意，得：；
故选B．
23．（2025·广东深圳·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，体现我国古代劳动人民的智慧．它其中记载了下面一个数学问题：今有粟若干石，分与甲乙两户．甲户得五分之三，乙户得五分之二．后甲户拨粟二十石与乙户，此时甲户余粟为乙户所得粟的三分之二．问原粟共有多少石？设总粟数为石，可列分式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据变化后甲户余粟为乙户所得粟的三分之二列方程即可．
【详解】解：设总粟数为石，依题意可知，甲户拨粟二十石与乙户后，甲有石，乙有石；
，
故选D．
类型5 行程问题
【例题】
24．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
【变式】
25．（2025·广东珠海·三模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？
【答案】
【知识点】分式方程的行程问题、解分式方程（化为一元二次）
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可．
【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，
由题意得，，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：松延动力机器人的平均速度是．
26．（2025·广东广州·一模）如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：
(1)已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？
(2)高铁出发前，两车在什么时刻相距？
【答案】(1)动车的平均速度为时，高铁的平均速度为时
(2)
【知识点】有理数除法的应用、分式方程的行程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数除法的应用，理解题意是解题关键．
（1）设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时，根据题意列分式方程求解即可；
（2）根据动车的平均速度求出所需时间，即可求解．
【详解】（1）解：设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时．
由题意可得，
解得，
经检验，为方程的解，
∴，
答：动车的平均速度为时，高铁的平均速度为时；
（2）解：解：∵高铁出发前，动车的平均速度为h，
∴，
此时的时间为．
27．（2025·广东汕头·一模）如图，某森林公园从山脚B到山顶A有一段12千米长的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他从山脚走到山顶、再从山顶走到山脚一共需要5小时．
(1)求小牧上山的平均速度；
(2)在此山路上有一处C，小牧从C处走到山顶A所用的时间等于从C处走到山脚B所用的时间，则C处离山顶A有多远？
【答案】(1)4千米/时
(2)千米
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、分式方程的行程问题
【分析】本题考查一元一次方程和分式方程在行程问题中的应用；解题关键是根据路程、速度、时间关系，分别找出总时间和两段路程时间相等的等量关系，列出方程求解．
（1）设小牧上山平均速度为千米/时，根据路程千米、下山速度是上山速度倍及总时间小时，利用“时间 = 路程÷速度”，列出上山时间与下山时间之和为小时的分式方程，求解并检验得到上山平均速度．
（2）设C处离山顶A为a千米，依据第（1）问求出的速度，结合“小牧从处走到山顶所用时间等于从处走到山脚所用时间”这一条件，根据“时间 = 路程÷速度”列出方程，求解得出处离山顶的距离．
【详解】（1）解：设小牧上山的平均速度是x千米/时，根据题意，得
．
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：小牧上山的平均速度是4千米/时．
（2）设C处离山顶A为a千米．
根据题意，得．
解得．
答：C处离山顶A 4.8千米．
28．（2025·广东梅州·一模）下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝
解法二 设…等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度
任务：
(1)解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________；
A．步行的速度为
B．骑自行车的速度为
C．步行的时间为
(2)任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度．
【答案】(1)A，C
(2)步行的速度为，骑自行车的速度为
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据等量关系列出方程．
（1）根据列表中给出的等量关系得出结论；
（2）根据分式方程的解法解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的x表示步行的速度为；
解法二所列的方程中的x表示步行的时间为．
故答案为：A，C；
（2）解法一：设步行的速度为，则骑自行车的速度为，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：步行的速度为，骑自行车的速度为；
解法二：设步行的时间为，则骑自行车的时间为，
根据题意得：，
解得： ，
经检验，是原方程的解，
此时，，
答：步行的速度为，骑自行车的速度为．
类型6 工程问题
【例题】
29．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
【答案】(1)元
(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【知识点】列代数式、分式方程的工程问题
【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；
（1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可；
（2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．
∴用智能机器人采摘的成本是（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；
∴，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
∴（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【变式】
30．（2025·广东江门·三模）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？
【答案】甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，根据同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，列出分式方程，解分式方程即可．
【详解】解：设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨．
31．（2025·广东韶关·一模）某货运公司采用A、B两种型号的机器人搬运货物，已知A型机器人比B型机器人每分钟少搬运5千克货物，A型机器人搬运100千克货物和B型机器人搬运150千克货物所用时间相同，求这两种型号机器人每分钟分别搬运多少货物？
【答案】A型机器人每分钟搬运千克货物，B型机器人每分钟搬运千克货物
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设A型机器人每分钟搬运千克货物，根据A型机器人比B型机器人每分钟少搬运5千克货物，A型机器人搬运100千克货物和B型机器人搬运150千克货物所用时间相同，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设A型机器人每分钟搬运千克货物，由题意，得：
，
解得：；
经检验，是原方程的解，且符合题意；
；
答：A型机器人每分钟搬运千克货物，B型机器人每分钟搬运千克货物．
32．（2025·广东清远·二模）某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务．
(1)原计划每天铺设路面多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为1200元，提高工作效率后每天支付给工人的工资为1500元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【答案】(1)80米
(2)18000元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程的工程问题
【分析】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解．
（1）设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面米，根据工作时间工作总量工作效率结合共用天完成道路改造任务．即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总工资每天支付的工资工作天数，即可求出结论．
【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面米．
依题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设路面80米．
（2）解：（元）．
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资18000元．
类型7 经济问题
【例题】
33．（2024·广东佛山·一模）农历新年前，小龙打算和妈妈一起到商场采购贺岁迎新的饰品，预算买该饰品的金额是60元，下面是两人走到第二家商场时的对话，请根据对话，求出第一家商场该饰品的单价．
【答案】第一家商场该饰品的单价是10元．
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用．设第一家商场该饰品的单价是元，则第二家商场该饰品的单价是元，根据用60元买该饰品，在第二家商场比在第一家商场少买2件，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设第一家商场该饰品的单价是元，则第二家商场该饰品的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一家商场该饰品的单价是10元．
【变式】
34．（2025·广东清远·二模）为了贯彻落实“阳光2小时”，清远某学校准备一次性购买若干个足球和篮球，已知用900元购买足球的数量是用600元购买篮球数量的2倍，且篮球的单价比足球多30元，求足球与篮球的单价．
【答案】足球与篮球的单价分别为90元和120元
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键；设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据等量关系：用900元购买足球的数量是用600元购买篮球数量的2倍，列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，
由题意得：，解得：，
经检验，为原分式方程的解，并符合题意，
所以，篮球的单价为元；
答：足球与篮球的单价分别为90元和120元．
35．（2025·广东东莞·模拟预测）全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增．某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条．
(1)当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元．完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条；
(2)升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万，用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同．问拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？
【答案】(1)A制程生产线有25条，B制程生产线有15条；
(2)完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金．
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
（1）设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条，根据完成升级后该企业共获145万元补贴，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即有A制程生产线的数量），再将其代入中，即可求出有B制程生产线的数量；
（2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元，根据用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条，
根据题意得：，
解得：，
∴（条）．
答：A制程生产线有25条，B制程生产线有15条；
（2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元，
根据题意得：，
解得：，
∴（万元）．
答：完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金．
36．（2024·广东深圳·一模）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
(1)求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
(2)3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
【答案】(1)购进甲种笔记本本，乙种笔记本本
(2)第二次购买乙种笔记本本
【知识点】分式方程的经济问题、销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元一次方程和分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设文具店购进甲种笔记本本，根据题意列出等量关系即可得到答案；
（2）设第二次购买乙种笔记本本，列出方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设文具店购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，
依题意得：，
解得，
，
文具店购进甲种笔记本本，乙种笔记本本；
（2）解：设第二次购买乙种笔记本本，
依题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
故第二次购买乙种笔记本本．
37．（2025·广东惠州·一模）为推进惠州市新质生产力发展，某企业决定对现有的甲、乙两类共25条生产线设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业更新生产线设备，惠州市出台补贴政策：更新1条甲类生产线设备，企业可获3万元补贴；更新1条乙类生产线设备，可获2万元补贴．更新完这25条生产线设备后，该企业共获得65万元补贴．问该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，更新1条甲类生产线设备的费用，比更新1条乙类生产线设备费用的2倍少5万元，用200万元购买更新甲类生产线设备的数量与用180万元购买更新乙类生产线设备的数量相同．那么该企业在获得65万元补贴后，还需投入多少资金用于更新生产线的设备？
【答案】(1)该企业甲、乙两类生产线各有15条和10条
(2)85万元
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查了二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系．
（1）设企业甲生产线有条，企业乙生产线有条，根据甲、乙总数量和总补贴数列出方程，解方程即可；
（2）设1条乙类生产线的设备费用为万元，则1条甲类生成线的设备费用为万元，根据甲乙的数量关系列出分式方程，解方程后求出花费的资金，从而可以算出还需投入的资金．
【详解】（1）解：设企业甲生产线有条，企业乙生产线有条，
根据题意得，
解方程组得，
所以，该企业甲、乙两类生产线各有15条和10条；
（2）解：设1条乙类生产线的设备费用为万元，则1条甲类生成线的设备费用为万元，
根据题意得，
解方程得，
经检验为分式方程的解，
一条甲设备的费用：万元，一条乙设备的费用万元
再投入费用：万元
所以，还需投入85万元资金用于更新生产线的设备．
38．（2024·广东清远·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
燃油车油箱容积：40升油价：7.5元/升续航里程：千米每千米行驶费用：元 纯电动汽车电池容量：80千瓦时电价：0.55元/千瓦时续航里程：千米每千米行驶费用：_____元
(1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元；
(2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元：
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】(1)
(2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动车的每千米行驶费用为0.11元；②购买纯电动车年费用更低
【知识点】分式方程的经济问题、列代数式、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数四则混合运算的应用，列代数式等知识，根据题意准确列分式方程是解题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）①纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，据此列出分式方程，解方程并检验即可；②分别计算燃油车年费用和纯电动车年费用，计算后即可得到答案．
【详解】（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元）
（2）①由题意得：
经检验：是该分式方程的根；
燃油车每千米行驶费用为：（元）；
纯电动车的每千米行驶费用为：（元）
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元．
②当行驶里程为时，
燃油车年费用为：（元）
纯电动车年费用为：（元）
选纯电动车年费用更低．
答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低．
满分：60分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共21分）
1．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：．
检验：当时，，
∴原方程的解为．
故选：C
2．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程．
【详解】解：．
方程两边同时乘以，得：．
故选：A．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零．
【详解】∵ ，
去分母得，，
，
解得，
检验：当时，，满足条件．
故方程的解为．
故选：B．
4．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围．
【详解】解：，
得，
得，
解得：，
根据题意，解，
即，
解得：，
分母，
即，
即，
解得：，
，
故选：A．
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】C
【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可．
【详解】解：方程去分母，得：，
整理，得：；
∵原方程无解，
∴①整式方程无解，则：，解得：；
②分式方程有增根，则：，解得：；
把代入，得：，解得：；
综上：或
故选C．
6．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解．
设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率．
【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨．
，
解得，
∴智能机器人每小时装载货物吨．
故选：D．
7．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键．
由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字．
【详解】解：∵设第一次购买了个魔方，
∴方程中表示第二次购买魔方的数量，
∴第二次比第一次少买了 10 个；
∵单价总价数量，
∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价，
又 ∵所列方程为，
∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，
∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共12分）
8．（2025·北京·中考真题）方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
9．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可．
【详解】解：原方程去分母得：，
是该方程的解，
，
解得：，
当时，原分式方程有意义，
故答案为：．
10．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键．
根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案．
【详解】解：，
去分母：方程两边同时乘以，得：
，
，
，
，
原方程无解，
是原方程的增根，
由，，
，
，
故答案为：．
11．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为
【答案】
【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可．
【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，
根据题意得，，
故答案为：．
三、解答题（共27分）
12．（2025·山西·中考真题,6分）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．
根据题意得：．
解得：．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．
13．（2025·江苏扬州·中考真题,7分）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价．
【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可．
【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴则甲款书签价格为（元）.
答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元．
14．（2025·山东淄博·中考真题,7分）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动．
(1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；
(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
【答案】(1)80
(2)190
【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程．
（1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解；
（2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解．
【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时．
根据题意，可列方程：，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：大巴车的速度是80千米/小时．
（2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人，
根据题意，可列方程：，
解得．
答：参加本次活动的学生人数是190人．
15．（2025·重庆·中考真题,7分）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个
(2)每天乙文创产品增加的数量是个
【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键．
（1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可；
（2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可．
【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个．
，
解得：，
则甲文创产品数量为个，
答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个．
（2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个．
，
解得，
经检验：是原方程的解，
答：每天乙文创产品增加的数量是个．
分式方程验收卷
满分：42分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意，
B．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意，
C．选项中的方程符合分式方程的定义，符合题意，
D．选项是代数式，不是等式，不符合题意，
故选：C．
2．根据表格信息，m的值等于（ ）
x的值 3 m
分式的值（a，b为常数） 无意义 0 2
A． B．7 C． D．8
【答案】A
【分析】利用分式无意义时分母为零和分式值为零时分子为零的条件，解分式方程，求出常数a和b，再根据分式值为2列方程求解m．
本题考查了分式无意义的条件，分式的值为0的条件，求分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式的值为0的条件是解题的关键．
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴，即，
∴；
∵当时，分式值为0，
∴，即，
∴，
∴该分式为.
当时，分式值为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，
故选：A．
3．若代数式和的值相等，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了解分式方程.根据代数式的值相等得到关于x的分式方程，去分母把分式方程变为整式方程，解方程并检验即可得到答案.
【详解】解：代数式和的值相等，
则，
去分母得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
故选：C
4．电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻并联时，总电阻满足，若，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意代入数据，列出方程，解分式方程即可．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，
即的电阻值是．
故选：B．
5．若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的解法，分式方程无解的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
两边同乘，得，由原分式方程无解得，求出的值代入中即可求得的值．
【详解】解：两边同乘，得，
原分式方程无解，
，
，
将代入，得，
，
故选：A．
6．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（ ）
A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个
B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个
C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个
D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据分式方程的形式求解即可．
【详解】∵单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，
∴“……”表示的条件为双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个．
故选：A．
7．将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程求解即可判断A，B，C选项，同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，列出方程求解即可判断D选项．
【详解】解：根据图可知：，
即，故选项A错误，选项B正确；
解得：，
经检验，是原分式方程的解，故选项C错误；
同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，
则，解得：，
经检验，是原分式方程的解，故选项D错误；
故选：B．
8．数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（ ）
A．同学都答对 B．同学都答错
C．只有同学答对 D．只有同学答对
【答案】C
【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法．
解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确．
【详解】解：方程 ，解得：
当时，，方程的解为负数，同学说法正确；
当时，且时，方程的解为正数，同学说法错误，
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
x结果代数式 2 n
7 b
a 1
【答案】
【分析】把代入得，可求得a的值；把分别代入和，据此求解即可．
【详解】解：当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键．
10．方程的解为 ．
【答案】2
【分析】根据解分式方程的基本步骤解答即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根．
【详解】解：
方程两边同乘，去分母得，
移项，合并同类项，得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的根，
故答案为：．
11．若，则 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了解分式方程，准确的运算是解题的关键．把原方程两边乘以去分母化为整式方程即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
．
故答案为：6．
12．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ．
【答案】或1
【分析】此题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分和，依据新定义列出关于的分式方程，化为一元二次方程，解方程并检验即可求解．
【详解】①若，即，则，即，
解得：或 负值舍去，
经检验：是原分式方程的解；
②若，即，则，即，
解得：，
经检验：是原分式方程的解；
综上，方程的解为或1．
故答案为：或1．
13．“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则 （填编号）号木板最多可伸出．
【答案】25
【分析】本题考查了分式方程的应用，设n号木板最多可伸出，根据规律列方程求解即可．
【详解】解：设n号木板最多可伸出，
∵①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，
∴n号木板最多伸出自身长度的，
由题意，得
，
解得，
经检验符合题意且是原方程的解，
所以第25号木板最多可伸出．
故答案为：25．
三、解答题（共51分）
14．（7分）解方程：．
【答案】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
15．（8分）数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图1，小颖将问题转化为图2，※为运算符号，为一个代数式．
(1)小颖猜测※为“”，求；
(2)数学老师告诉小颖※为“”，用表示出，并求时的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了分式混合运算，解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先理解题意得，再化简运算，即可作答．
（2）先整理得，再结合，故，最后验根，即可作答．
【详解】（1）解：由题意得
；
（2）解：若※为“”
；
当时，即，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解．
16．（8分）按照如图和图所示的程序，进行计算．
(1)如果输入，求输出结果；
(2)若在图基础上增加一个计算程序“”，如图，重新输入，第一次运算得到，求输出结果．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了流程图，有理数的混合运算，解分式方程等知识点，根据流程图正确列式是解题的关键．
（）根据程序中的运算法则列式计算即可；
（）根据程序中的运算法则列出分式方程，求出的值，再根据运算法则列式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
∴，
经检验，是原分式方程的解，
∴
．
17．（7分）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．
根据题意得：．
解得：．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．
18．（7分）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
【答案】每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元
【分析】本题考查分式方程的应用，设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根．
【详解】解：设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的根，
此时，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元．
19．（7分）为推动绿色发展，我国大力发展新能源，光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将太阳能直接转变为电能的一种技术．现有一光伏发电厂经技术改良，每天的发电量比原来提高，现在发电千瓦比原来发电千瓦少用小时，求该光伏发电厂原来平均每小时的发电量．
【答案】千瓦
【分析】本题考查了分式方程的应用，设该光伏发电厂原来平均每小时发电千瓦，根据“现在发电千瓦比原来发电千瓦少用小时”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设该光伏发电厂原来平均每小时发电千瓦，
根据题意可得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符号题意，
故该光伏发电厂原来平均每小时的发电量为千瓦．
20．（7分）电动垂直起降飞行器凭借其独特的电动化与垂直起降技术，开辟了全新的空中勤模式，极大提升出行效率．在太原开展的交通测试中，从太原武宿国际机场到平遥古城，两地相距约100千米，乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟．经测算，长大巴的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度．
【答案】200千米/时
【分析】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系列出分式方程是解题的关键；
设电动垂直起降飞行器的速度为千米/时，则长途大巴的速度为千米/时，根据乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟，列出分式方程，解方程并检验即可解答．
【详解】解：设电动垂直起降飞行器的速度为千米/时，则长途大巴的速度为千米/时，根据题意，得
，
解得．
经检验，是该分式方程的解，且符合题意．
答：电动垂直起降飞行器的速度为200千米/时．
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高频考点专练09 分式方程
（3个知识点+6个题型+1个专练+验收卷）
1．分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
【归纳】
（1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
（2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．
（3）分母中含有字母的方程未必是分式方程．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
（3）解分式方程产生不适合原方程解的原因：
在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．
3．分式方程的应用
分式方程的应用基本思路和方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
类型1 解分式方程
【例题】
1．（2025·广东广州·模拟预测）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
2．（2025·广东江门·二模）代数式与代数式的和为1，则 ．
3．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下：
第一步：，第二步：，第三步：，第四步：．第五步：检验：当时，．第六步：原分式方程的解为．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
4．（2025·广东·模拟预测）解分式方程：．
解：方程两边同乘以，得，……第一步
去括号，得，……第二步
移项 合并同类项，得，……第三步
方程两边同除以2，得，……第四步
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是_______________________________；
②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因______________；
任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程．
5．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程．
题目：先化简，再求值：，其中解：原式．
(1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程；
(2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值．
类型2 由分式方程解的情况求参数
【例题】
6．（2025·广东梅州·一模）已知是关于x的方程的解，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式】
7．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
类型3 分式方程无解问题
【例题】
10．（2020·广东深圳·一模）若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或 D．
【变式】
11．（2021·广东广州·二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）
A．小明的说法完全正确
B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解
D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
12．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是
13．（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
14．（2024九年级下·全国·专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
类型4 列分式方程
【例题】
15．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
16．（2024·广东·模拟预测）某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
17．（2025·广东广州·二模）马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为42公里，在比赛中选手甲的平均速度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早40分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2025·广东广州·二模）为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·广东广州·二模）赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2025·广东深圳·二模）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（ ）
A．B． C． D．
21．（2025·广东深圳·一模）盲公饼是广东省某市的一种特色美食，其以味美酥脆而享誉国内外，许多人将其作为送礼佳品．春节期间，某商店老板第一次用1800元购进袋装盲公饼若干，发现很快销售一空．第二次用4320元购进一批盒装盲公饼，购买份数是第一次的两倍，其中袋装盲公饼比盒装的每份进价便宜3元．若设袋装盲公饼的进价为x元，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2025·广东深圳·二模）在“书香随行，快乐过年”的寒假阅读活动中，小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页，因此实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同．设小明每天原计划读的页数为页，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．（2025·广东深圳·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，体现我国古代劳动人民的智慧．它其中记载了下面一个数学问题：今有粟若干石，分与甲乙两户．甲户得五分之三，乙户得五分之二．后甲户拨粟二十石与乙户，此时甲户余粟为乙户所得粟的三分之二．问原粟共有多少石？设总粟数为石，可列分式方程为（ ）
A． B． C． D．
类型5 行程问题
【例题】
24．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
【变式】
25．（2025·广东珠海·三模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？
26．（2025·广东广州·一模）如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）：
(1)已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？
(2)高铁出发前，两车在什么时刻相距？
27．（2025·广东汕头·一模）如图，某森林公园从山脚B到山顶A有一段12千米长的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他从山脚走到山顶、再从山顶走到山脚一共需要5小时．
(1)求小牧上山的平均速度；
(2)在此山路上有一处C，小牧从C处走到山顶A所用的时间等于从C处走到山脚B所用的时间，则C处离山顶A有多远？
28．（2025·广东梅州·一模）下面是小琼学习了分式方程后所做的课堂笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某中学组织学生们到离学校的郊区进行社会调查．一部分学生步行前往，另一部分学生在步行的学生出发后，骑自行车沿相同路线行进，步行的学生与骑自行车的学生同时到达目的地，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，分别求步行和骑自行车的速度．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…等量关系：步行的时间﹣骑自行车时间＝
解法二 设…等量关系：步行的速度＝骑自行车的速度
任务：
(1)解法一所列的方程中的x表示_________，解法二所列的方程中的x表示_________；
A．步行的速度为
B．骑自行车的速度为
C．步行的时间为
(2)任选一种方法，分别求出步行和骑自行车的速度．
类型6 工程问题
【例题】
29．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
【变式】
30．（2025·广东江门·三模）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？
31．（2025·广东韶关·一模）某货运公司采用A、B两种型号的机器人搬运货物，已知A型机器人比B型机器人每分钟少搬运5千克货物，A型机器人搬运100千克货物和B型机器人搬运150千克货物所用时间相同，求这两种型号机器人每分钟分别搬运多少货物？
32．（2025·广东清远·二模）某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务．
(1)原计划每天铺设路面多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为1200元，提高工作效率后每天支付给工人的工资为1500元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
类型7 经济问题
【例题】
33．（2024·广东佛山·一模）农历新年前，小龙打算和妈妈一起到商场采购贺岁迎新的饰品，预算买该饰品的金额是60元，下面是两人走到第二家商场时的对话，请根据对话，求出第一家商场该饰品的单价．
【变式】
34．（2025·广东清远·二模）为了贯彻落实“阳光2小时”，清远某学校准备一次性购买若干个足球和篮球，已知用900元购买足球的数量是用600元购买篮球数量的2倍，且篮球的单价比足球多30元，求足球与篮球的单价．
35．（2025·广东东莞·模拟预测）全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增．某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条．
(1)当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元．完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条；
(2)升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万，用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同．问拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？
36．（2024·广东深圳·一模）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
(1)求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
(2)3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
37．（2025·广东惠州·一模）为推进惠州市新质生产力发展，某企业决定对现有的甲、乙两类共25条生产线设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业更新生产线设备，惠州市出台补贴政策：更新1条甲类生产线设备，企业可获3万元补贴；更新1条乙类生产线设备，可获2万元补贴．更新完这25条生产线设备后，该企业共获得65万元补贴．问该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，更新1条甲类生产线设备的费用，比更新1条乙类生产线设备费用的2倍少5万元，用200万元购买更新甲类生产线设备的数量与用180万元购买更新乙类生产线设备的数量相同．那么该企业在获得65万元补贴后，还需投入多少资金用于更新生产线的设备？
38．（2024·广东清远·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
燃油车油箱容积：40升油价：7.5元/升续航里程：千米每千米行驶费用：元 纯电动汽车电池容量：80千瓦时电价：0.55元/千瓦时续航里程：千米每千米行驶费用：_____元
(1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元；
(2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元：
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
满分：60分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共21分）
1．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ）
A． B． C．且 D．且
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ）
A． B． C．或 D．且
6．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
7．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
二、填空题（每题3分，共12分）
8．（2025·北京·中考真题）方程的解为 ．
9．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ．
10．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ．
11．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 ．
三、解答题（共27分）
12．（2025·山西·中考真题,6分）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
13．（2025·江苏扬州·中考真题,7分）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价．
14．（2025·山东淄博·中考真题,7分）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动．
(1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；
(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
15．（2025·重庆·中考真题,7分）列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
分式方程验收卷
满分：42分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．根据表格信息，m的值等于（ ）
x的值 3 m
分式的值（a，b为常数） 无意义 0 2
A． B．7 C． D．8
3．若代数式和的值相等，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
4．电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻并联时，总电阻满足，若，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
6．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（ ）
A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个
B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个
C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个
D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个
7．将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22
8．数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（ ）
A．同学都答对 B．同学都答错
C．只有同学答对 D．只有同学答对
二、填空题（每题3分，共15分）
9．根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
x结果代数式 2 n
7 b
a 1
10．方程的解为 ．
11．若，则 ．
12．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ．
13．“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则 （填编号）号木板最多可伸出．
三、解答题（共51分）
14．（7分）解方程：．
15．（8分）数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图1，小颖将问题转化为图2，※为运算符号，为一个代数式．
(1)小颖猜测※为“”，求；
(2)数学老师告诉小颖※为“”，用表示出，并求时的值．
16．（8分）按照如图和图所示的程序，进行计算．
(1)如果输入，求输出结果；
(2)若在图基础上增加一个计算程序“”，如图，重新输入，第一次运算得到，求输出结果．
17．（7分）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
18．（7分）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
19．（7分）为推动绿色发展，我国大力发展新能源，光伏发电就是其中一种，光伏发电是利用半导体界面的光生伏特效应而将太阳能直接转变为电能的一种技术．现有一光伏发电厂经技术改良，每天的发电量比原来提高，现在发电千瓦比原来发电千瓦少用小时，求该光伏发电厂原来平均每小时的发电量．
20．（7分）电动垂直起降飞行器凭借其独特的电动化与垂直起降技术，开辟了全新的空中勤模式，极大提升出行效率．在太原开展的交通测试中，从太原武宿国际机场到平遥古城，两地相距约100千米，乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟．经测算，长大巴的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度．
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