湖北省名校联盟2025-2026学年高三下学期2月开学考数学试卷（含答案）

2026年高三年级2月阶段训练 数学试卷
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的, 请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 ,则
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 的最大值为
A. 1 B. 2 C. 5 D. 6
3. 若点 在圆 外,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
1. 已知命题:“记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 为定值”为真命题，则可推出
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知函数 及其导函数 定义域均为 ,则 ” 图象关于 中心对称” 是 “ 图象关于直线 轴对称”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 记函数 ,其中 ,若 在 恰有两个零点,且 ,则函数 在 上的单调增区间为
A. B. C. D.
7. 在三棱柱 中， ，点 在平面 的射影为点 ， 若点 在平面 上运动，则线段 长度的最小值为
A. B. C. 1 D.
8. 已知函数 的定义域是 ， 是 的导数， ，对 ，有 . 则不等式 的解集是
A. B. C. D.
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分，每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在某次联考中,全体物理方向高三学生数学成绩 ,此次联考物理方向数学一本线为 80 分,清北线为 140 分.已知: 若 ,则 ,则下列说法正确的是
A. 若随机变量 ,则 服从标准正态分布
B.
C. 从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为
D. 从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为
10. 已知抛物线 的焦点 ,直线 与抛物线交于 两点. 分别作抛物线在 两点处的切线,两切线交于点 为坐标原点,则下列说法正确的是
A. 若 过焦点 ，则 最小值为 4
B. 若 过焦点 ，则 一定为直角三角形
C. 若 中点 的横坐标为 4，则 最大值为 12
D. 若点 在直线 上，则
11、若数列 满足: ，则称数列 为有限稳定数列,记 为数列 前 项和,下列结论正确的是
A. 首项为 1,公比为 的等比数列是有限稳定数列
B. 若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列,其公比的取值范围为
C. 若数列 满足 ，则数列 是有限稳定数列
D. 若数列 是有限稳定数列,则数列 是有限稳定数列
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 已知平面向量 ，若 ，则 _____.
13. 已知直线 与函数 的图象相切，则实数 _____.
14. 已知 是双曲线 上不同的三点,点 关于坐标原点对称,且 ,过点 作垂直于 轴的直线分别交双曲线 ,直线 于 两点,若 ，则双曲线 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
5. (13 分)如图， 是圆 的直径， 垂直于圆 所在平面， 是圆周上不同于 ， 的任意一点， 为 的中点，且 ，
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若三棱锥 的外接球球心为 ,求平面 与平面 夹角的余弦值.
16. (15 分) 已知 分别是锐角 三个内角 的对边,且 , .
(1)求 的值；
(2)求 面积的取值范围.
17. (15 分) 在篮球训练场上,教练甲指导三名学员 进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中. 由甲开始传球,他每次等可能地将篮球传给学员 其中一人,学员接球后,将篮球传出,传给教练甲的概率为 ,传给另外两学员的概率相等,篮球在四人之间传递.
(1)若四人进行了 4 次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；
(2)设 表示经过 次传球后篮球在 手中的概率，求 .
18. (17分)在平面直角坐标系 中，椭圆 的左顶点为 ，焦距为 ， 且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 两点.
(i) 若 中点为 ,点 是椭圆 上的动点,且满足: ,证明 的面积为定值; (ii) 若点 为 的外心,且 在直线 上,求点 到直线 的距离的最小值.
19. (17 分) 已知函数 ,
(1)求 的最小值;
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 且 ,求证: .
2026 年高三年级 2 月阶段训练 数学试卷评分细则
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B A A D B D
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BCD ABD AD
三、填空题
题号 12 13 14
答案 1 或 2
8. 答案: D
令 .
令 .
单调递减: 单调递增,
,
在 单调递减.
又 ,所以 的解集为 .
故答案为D选项
11. 答案: AD
对于 选项, ,则 . 所以 是有限稳定数列, 正确
对于 选项，当等比数列 公比等于 1 时, 为常数列, ,
所以此时 为有限稳定数列,因此 选项错误
对于 选项，若 ,则 .
则 .
又
所以不存在满足要求的 ,所以数列 不是有限稳定数列, 错误
对于 选项, 是有限稳定数列,
存在
取 ,则
数列 是有限稳定数列,所以
故答案为:
(对于 B 选项用 更好)
14. 答案: 2
设点 ,则 . 由 得 ,由条件 得 .
,则 ,又 ,由双曲线的第三定义得 ,即 ,
两 其 更 .
15. 解:(1) 中点, . (1 分)
又 是圆 的直径, 平面 .
平面 平面 且 . (3 分)
平面 平面 平面 平面 . (5 分)
(2) 中点到 四点距离相等,
为 中点. (7 分)
法:
设 ,和
按法 0 证明 为 中点也给分。
解:
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
,
设平面 的法向量
由 可得 (9 分)
设平面 的法向量
由 可得 (11 分)
.
则平面 与平面 夹角的余弦值为 . (13 分)
(以 A 为原点建系，也可参照 此评分标准)
16. 解:(1) 由 得 ， (1 分)
.
或 (4 分)
由 及正弦定理 得 .
又 . (7 分)
(2)法一:由余弦定理得: ，即 . 又 为锐角 ，
,即 . (12 分)
,
故 面积的取值范围为 . (15 分)
法二: 由正弦定理得 ,即
, (10 分)
又 为锐角 .
(12 分)
. (15 分)
17. 解:(1)由题意知 可取0,1,2 (1 分)
,
的分布列为:
0 1 2
27 64 33
(5 分)
. (7 分)
(2)设经过 次传球后篮球在甲手中的概率为 ，则
(10 分) .
经过 次传球后篮球在 手中的概率相等,
. (15 分)
18. 解:(1)由条件知: ,
椭圆 的方程为: . (3 分)
(2) (i) 若直线 轴,设 的方程为 . 由 得 ,又 在椭圆上
,此时 . (5 分)
若 不垂直于 轴,设 的方程为 ,联立 得
设
则 中点 的坐标为
由 得 ,又 在椭圆上,
(8 分)
由 得 .
,
(10 分)
(ii) 若直线 轴,不符合条件,则 可设为 .
中点 的中垂线方程为:
同理可得 的中垂线方程为: (13 分)
(13 分)
结合 ,即 ,得 .
所以 的距离的最小值为 2 (17 分)
19. 解:(1) 由条件知 的定义域为 . 由 知.
在 上单调递减,在 上单调递增,
. (4 分)
(单调性不写知 1 分)
(2) 设
令 ,则
(i) 当 时, 在 上恒成立;
(6 分)
(ii) 当 时, 在 上递增,
在 上递增, 在 上恒成立;
(iii)当 时, 在 上递增,
,
在 上存在唯一零点
当 时, ,则当 时, ,不满足条件
综上所述,实数 的取值范围是 (10 分)
(只给了答案, 没有分别给出证明的要酌情扣分)
(3) 由 得 ,则
要证 ,可证
即证 .
令 ,则 ,即证 ,
即证明
先证明
令 . 易证
在 上递减 。
再证明 ,
令
.
在 上递增, .
(17 分)