7.2.1对顶角与垂线-课件(共41张PPT)--2025-2026学年冀教版数学七年级下册

(共41张PPT)
冀教版数学7年级下册培优精做课件7.2.1对顶角与垂线第七章相交线与平行线授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.在平面上任意画出两条直线，这两条直线的位置关系有几种可能？
空中纵横交错的缆车道
竹席
问题1 一把张开的剪刀，你能联想出什么样的几何图形？
知识点1 对顶角及其性质
l2
l1
O
1
2
3
4
4
具有公共的顶点
两边互为反向延长线
问题2 如图，两直线l1与l2相交于点O.
(1)两条相交的直线构成了几个角？
(2)观察∠1和∠3，∠2和∠4，它们有什么共同点？
知识点1 对顶角及其性质
我们把具有这种特殊位置关系的两个角叫作对顶角.
∠1的对顶角是______；
∠4的对顶角是______.
∠3
∠2
对顶角是成对出现的！
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1．[邯郸期末]下列四个选项中，∠1和∠2是对顶角的是(　　)

A．①④ B．②④ C．①③ D．④
D
l2
l1
O
1
3
l2
l1
1
3
O
∠1和∠3同时增大
∠1和∠3同时减小
猜想：∠1=∠3.
1
3
1.两条直线l1与l2相交于点O，当其中一条直线绕点O转动时，∠1和∠3同时增大或同时减小.你能猜想出∠1与∠3的大小关系吗？
一起探究
知识点1 对顶角及其性质
2.你能用度量法或叠合法验证你的猜想吗？请试试看.
O
l2
l1
4
3
2
1
知识点1 对顶角及其性质
一起探究
3.你能从“同角的补角相等”这一事实出发，用说理的方法来验证你的猜想吗？
理由：因为∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，
所以∠1=∠3（同角的补角相等）.
l2
l1
O
1
2
3
4
对顶角的性质：对顶角相等.
如图，已知∠1和∠3是对顶角，那么∠1=∠3 .
知识点1 对顶角及其性质
一起探究
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
例2 如图,直线a，b相交，∠1=40°,求 ∠2、∠3、∠ 4的度数.
解：因为∠1+∠2=180°，∠1=40°，
所以∠2=180°-∠1
=180°- 40°
=140°.
由“对顶角相等”，可得
∠3=∠1 = 40°，
∠4=∠2 = 140°.
知识点1 对顶角及其性质
能.原理是：对顶角相等.
例 3 为了测量纸杯的侧壁交角，聪明的小红设计了如下的方案，她能解决这个问题吗？如果能，你能说明其中的原理吗？
数学应用
知识点1 对顶角及其性质
观察下列木棒的运动过程，试着归纳其中角的变化规律.
当木棒的位置变化时,两根木棍所成的角的角度也会发生变化.
知识点2 垂直的定义
在木棒运动的过程中，当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角的性质和平角的定义，知当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
知识点2 垂直的定义
O
C
D
A
B
如图，当∠BOC=90°时，称直线AB和CD互相垂直，记作“AB⊥CD”，
读作“AB垂直于CD”.AB是CD的垂线，CD也是AB的垂线.
交点O叫作垂足.
知识点2 垂直的定义
O
C
D
A
B
如图，当直线AB与CD相交于O点，且∠AOC=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
符号语言：
①判定：因为∠AOC=90°，
所以AB⊥CD.
②性质：因为 AB⊥CD ，
所以 ∠AOC=90° .
(∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°)
知识点2 垂直的定义
基本事实
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
思考： 经过直线上或直线外一点画该直线的垂线，可以画几条？
已知直线AB，试着利用三角尺，过直线上或直线外一点画一条直线与AB垂直.
情况一
情况二
M
N
E
F
解：直线MN⊥AB，直线EF⊥AB.
知识点3 垂线的画法
2．下列选项中，过点M作直线l的垂线，三角板放置正确的是(　　)
B
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3. 如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西68°的方向，同时观测到轮船C在东南方向，轮船B在OA的反向延长线的方向上，则∠BOC的大小为(　　)
A．24°
B．23°
C．22°
D．21°
返回
B
4．在同一平面内，过直线外一点作已知直线的垂线，可以作________条．
1
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例5 如图，已知直线AB，CD和点E，过点E分别画出直线AB，CD的垂线.
解：如图所示，直线EN⊥AB，直线EM⊥CD.
M
N
知识点3 垂线的画法
垂线段CD的长度称为点C到直线AB的距离.
猜想：线段CE，CD，CF哪一条最短，并进一步验证你的猜想.
如图，点C是直线AB外一点，且CD⊥AB，垂足为D，即CD是点C到AB的垂线段. 再经过点C向直线AB任意引两条线段CE，CF.
结论 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
以点C为圆心，线段CD长为半径画弧.将线段CD叠合到线段CE和CF上.
线段长短比较方法：
估测法，度量法，叠合法
知识点4 垂线的性质
5．[廊坊期中]如图，某地进行城市规划，在一条新修的公路旁有一家超市，现要在公路上建一个汽车站，为了使超市距离汽车站最近，应建在C处，其依据是________________．
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垂线段最短
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6．如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝12，BC＝5，AC＝13，则点A到直线l1的距离是________．
12
例6 如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线，BP，AP，AO中哪一条线段的长度是跳远的成绩？
解：线段AO的长度是跳远的成绩.
知识点4 垂线的性质
7. 若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x的值为________．
40或80
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8. 如图是光的反射规律示意图．CO是入射光线，OD是反射光线，法线EO⊥AB，∠COE是入射角，∠EOD是反射角，∠EOD＝∠COE.若∠AOC＝2∠EOD，则∠COE的度数为________．
30°
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【点拨】因为∠EOD＝∠COE，∠AOC＝2∠EOD，所以∠AOC＝2∠COE.因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°.所以∠AOC＋∠COE＝90°.所以2∠COE＋∠COE＝90°.所以∠COE＝30°.
9．[保定期中]如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOE.
(1)若∠BOD＝34°，求∠AOE的度数；
【解】因为∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝34°，
所以∠AOC＝34°.因为OC平分∠AOE，
所以∠AOE＝2∠AOC＝2×34°＝68°.
(2)过点O作OF⊥OE，若∠AOE?∠BOE＝2?3，求∠BOF的度数．
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【解】设∠AOE＝2x°，则∠BOE＝3x°，
因为∠AOE＋∠BOE＝180°，
所以2x＋3x＝180，解得x＝36.
所以∠BOE＝3×36°＝108°.
因为OE⊥OF，所以∠EOF＝90°.
所以∠BOF＝∠BOE－∠EOF＝108°－90°＝18°.
10.如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度(　　)
A．逐渐变短
B．逐渐变长
C．先变短，后变长
D．先变长，后变短
D
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11. 如图为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具“碓(duì)”的平面结构示意图，AB与水平线l相交于点O，AB⊥CD于点B，CF⊥l于点F，OE⊥l.若∠BOE＝60°，则∠BCF的大小为________°.
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150
72°
【点拨】因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠BOD.分两种情况：
①如图①，设∠AOD＝∠DOB＝x°，
∠BOE＝y°，则∠EOC＝2y°.根据题意
可知x＋y＝72.由题意易知2x＋3y＝2x＋2y＋y＝2(x＋y)＋y＝180，所以2×72＋y＝180，所以y＝180－2×72＝36.所以∠EOC＝36°×2＝72°；
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②如图②，设∠AOD＝∠DOB＝x°，则∠BOC＝180°－2x°，∠BOE ＝72°＋x°，所以∠EOC＝2∠BOE＝144°＋2x°.因为∠BOE＋∠BOC＋∠EOC＝360°，所以72＋x＋180－2x＋144＋2x＝360，
解得x＝－36(舍去)．
综上，∠EOC＝72°.
13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OG平分∠BOD，∠BOD＝α，H是OA上的一点．
(1)过点H作直线CD的垂线HF，垂足为F.
【解】如图，HF即为所作．
(2)在(1)的基础上，求∠FHO的度数(用含α的式子表示)．
【解】因为HF⊥CD，所以∠OFH＝90°.
因为∠HOF＝∠BOD＝α，所以∠FHO＝180°－∠OFH－∠HOF＝90°－α.
(3)探究∠EOG的大小和∠BOD的大小是否有关系？若有，请写出∠EOG的大小和∠BOD的大小的关系；若没有，请说明理由．
【解】∠EOG的大小和∠BOD的大小没有关系．理由如下：因为直线AB，CD相交于点O，所以
∠AOD＋∠BOD＝180°.
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相交线
定义
对顶角
性质
具有公共顶点，并且两边互为反向延长线
对顶角相等
形如X
垂线
定义
基本事实
点到直线的距离
直线AB与CD相交于点O，若∠BOC=90°，则AB⊥CD，O为垂足.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.垂线段的长度叫作点C到直线AB的距离.