8.5.1 平方差公式-课件(共25张PPT)--2025-2026学年冀教版数学七年级下册

(共25张PPT)
冀教版数学7年级下册培优精做课件8.5.1平方差公式第八章整式的乘法授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：. 问题导入
老王在某开发商处预定了一套边长为x米的正方形户型，到了交房的日子，开发商对老王说:“你定的那套房子结构不好，我给你换一个长方形的户型，比原来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，房子总价还一样，你也没有吃亏，你看如何 ”老王一听觉得没有吃亏就答应了。
你觉得老王吃亏了吗
1.3.1 平方差公式 教学课件幻灯片
第1页：情境导入
1. 问题情境：地主将边长为a的正方形土地，一边减5米、邻边加5米续租，张老汉吃亏了吗？
2. 旧知回顾：多项式乘法法则，计算：(x+1)(x-1)、(m+2)(m-2)
3. 引出问题：这类特殊多项式相乘是否有简便规律？
第2页：探究新知——公式推导
1. 自主计算：完成两组算式，观察结果特征
① (x+1)(x-1)=x -1；② (m+2)(m-2)=m -4；③ (2x+1)(2x-1)=4x -1
2. 代数推导：用多项式乘法法则推导(a+b)(a-b)，分步展开得a -ab+ab-b ，合并同类项后得a -b
3. 归纳公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即(a+b)(a-b)=a -b
第3页：探究新知——几何验证与结构辨析
1. 几何验证：展示长(a+b)、宽(a-b)的长方形，通过“大正方形面积-小正方形面积”直观验证公式
2. 结构辨析：强调“一同一反”特征——两个因式中，一项完全相同（a），另一项互为相反数（b与-b），结果为相同项平方减相反项平方
第4页：典例分析与巩固
1. 例题讲解：用平方差公式计算
① (5+6x)(5-6x)（确定a=5，b=6x）；② (-m+n)(-m-n)（确定a=-m，b=n）
2. 即时练习：口答填空，巩固a、b的确定方法
(1+x)(1-x)中a=___，b=___，结果=___；(0.3x-1)(1+0.3x)中a=___，b=___，结果=___
第5页：拓展延伸与课堂小结
1. 拓展思考：(a-b)(-a-b)如何用公式计算？（提示：调整为(-b+a)(-b-a)）
2. 课堂小结：
① 平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b
② 核心特征：一同一反，结果为相同项平方减相反项平方
③ 应用关键：准确识别公式中的a和b
新课探究
（1）(x+2) (x–2)
（2）(1+3a)(1–3a)
（3）(x+5y)(1–5y)
（4）(2y+z)(2y–z)
= x2 – 2x + 2x – 4
= x2 – 4
= 1 – 3a + 3a – 9a2
= 1 – 9a2
= x2 – 5xy + 5xy – 25y2
= x2 – 25y2
= 4y2 – 2yz + 2yz – z2
= 4y2 – z2
用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积：
两数的___
两数的___
中间项抵消了
两数_____的___
和
差
差
平方
你发现了什么
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。
①（x ＋ 1)( x－1）；
②（m ＋ 2)( m－2）；
③（2m＋ 1)(2m－1）；
④（5y ＋ z)(5y－z）.
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
x2 － 12
m2－22
(2m)2 － 12
(5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
知识点 平方差公式
两数和
两数差
两数平方差
两个数的和与这两数的差的积，等于这两个数的平方差.
平方差公式
注：这里的a，b可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
知识点 平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
相同项为a
相反项为b
平方差公式
注：公式中的a、b可以是两个数，可以是两个单项式也可以是两个多项式等等．
知识点 平方差公式
左边=
=右边
代数验证
(多项式乘以多项式的法则)
(合并同类项法则)
知识点 平方差公式
问题2
如图，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分剪拼成一个长方形
(1)两个图形(着色部分)的面积之间有什么关系？
(2)请你结合图形对平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2进行解释.
b
a
图1
相等
图1：a2－b2
图2：长:(a＋b)，宽:(a－b)
面积：(a＋b)(a－b)
b
a
图2
b
a2－b2=(a＋b)(a－b)
知识点 平方差公式
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
几何验证
面积法
知识点 平方差公式
1.下列各式中,能用平方差公式运算的是( )
A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a)
C.(2a-3b)(3a+2b) D.(a-b+c)(b-a-c)
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x) B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y) D.(-2b-5)(2b-5)
A
C
知识点 平方差公式
算式 与平方差公式中a对应的项 与平方差公式中b对应的项 写成“a2－b2”的形式 计算结果
(m＋2)(m－2)
(2m＋3)(2m－3)
(x＋2y)(－x＋2y)
(1＋3y)(1－3y)
问题3
按要求填写下面的表格：
m
2
m2－22
m2－4
2m
3
(2m)2－32
4m2－9
2y
x
(2y)2－x2
4y2－x2
1
3y
12－(3y)2
1－9y2
知识点 平方差公式
1. [沧州月考] 下列各式中，不能用平方差公式计算的是
( )
D
A. B.
C. D.
2. 下列运算正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
3. 如图，在边长为的正方形纸片中剪出一个边长为 的
正方形之后，将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠,无缝
隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是( )
A
A. B. C. D.
4. 已知 ,则
的值为( )
A
A. 13 B. 3 C. D. 5
【点拨】 ，
.
.
5.[石家庄期中] 若，，则___ .
（填“ ”“ ”或“ ”）
【点拨】， .
6. 已知，则 的值
为___.
1
【点拨】, 原式
.
7.计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式
.
例1 计算：
a
b
解：
利用平方差公式计算，必须找到相同的项和互为相反数的项
a
b
a
b
知识点 平方差公式
(3m＋2n)(3m－2n)
变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
变式二 ( －3m－2n)(3m－2n)
= (-3m)2-(2n)2
= (-2n)2-(3m)2
= (3m)2-(2n)2
对于不符合平方差公式标准形式的算式，可以先利用加法交换律，将其变成公式的标准形式后，再用公式计算.
知识点 平方差公式
8. 教材P96习题 先化简，再求值：
，
其中 .
【解】
.
当时，原式
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98
(2) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= 1002-22
=10000 – 4
=（100＋2）(100－2)
=9996
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
知识点 平方差公式
9. 若 ，则
( )
A
A. 3 B. 6 C. D.
【点拨】若 ，则
.因为，所以 .故选A.
10. 如图，若大正方形与小正方形的面积之
差是30,则阴影部分的面积是( )
A
A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
【点拨】设大正方形的边长为 ,小正方形的
边长为,则.由题意可知 .所以阴影部
分的面积是 .
11.小亮在计算
的值时，
把的值看错了，其结果等于36，细心的小敏把正确的 的值
代入计算，其结果也是36.为了探究明白，她又把
代入，结果还是36，则 的值为____.
【点拨】.由题意,得， .
平方差公式
内容
注意事项
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2