8.5.2 完全平方公式-课件(共23张PPT)--2025-2026学年冀教版数学七年级下册

(共23张PPT)
冀教版数学7年级下册培优精做课件8.5.2完全平方公式第八章整式的乘法授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：. 新课导入
什么是多项式乘多项式法则
平方差公式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(m+a) (n+b) = mn+mb+an+ab
由下面的两个图形你能得到哪个公式
(a + b)(a – b)= a2 – b2
1.3.3 完全平方公式的认识 教学课件幻灯片
第1页：情境导入
1. 问题情境：用边长为(a+b)的正方形地砖铺地，这块地砖的面积如何表示？你有几种表示方法？
2. 旧知回顾：运用多项式乘法法则计算：(m+2) 、(n-3) （提示：(m+2) =(m+2)(m+2)）
3. 引出问题：这类“两数和（或差）的平方”的多项式相乘，是否存在统一的简便规律？
第2页：探究新知——公式推导
1. 自主计算：完成两组算式，观察结果特征
① (m+2) = (m+2)(m+2) = m + 2m + 2m + 4 = m + 4m + 4；
② (n-3) = (n-3)(n-3) = n - 3n - 3n + 9 = n - 6n + 9；
③ (a+b) 、(a-b) （尝试自主展开）
2. 代数推导：
① 推导(a+b) ：(a+b)(a+b) = a + ab + ab + b = a + 2ab + b ；
② 推导(a-b) ：将(a-b)转化为(a+(-b))，代入上式得(a+(-b)) = a + 2a(-b) + (-b) = a - 2ab + b ；
3. 归纳公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍，即：
(a+b) = a + 2ab + b ；(a-b) = a - 2ab + b
第3页：公式验证与本质理解
1. 几何验证：
① 验证(a+b) ：展示边长为(a+b)的正方形，将其分割为边长为a的正方形、边长为b的正方形和两个长a宽b的长方形，面积和为a + 2ab + b ，与公式对应；
② 验证(a-b) ：展示边长为a的正方形，减去两个长a宽b的长方形后，补全边长为b的正方形，最终面积为a - 2ab + b ，直观理解公式；
2. 本质理解：完全平方公式是多项式乘法的特殊形式，核心是“两数和（差）的平方”转化为“平方和与积的2倍的和（差）”
第4页：公式结构辨析与易错提醒
1. 结构辨析：
① 公式左边：两数和或差的平方，形式为(□±△) ；
② 公式右边：三项式，分别是两数的平方和（□ + △ ）、两数积的2倍（±2□△），中间符号与左边括号内符号一致；
2. 易错提醒：
① 避免漏项：切勿将(a+b) 错误写成a + b ，忘记中间的“2ab”项；
② 符号注意：(a-b) 的结果是a - 2ab + b ，不是a - b ，也不是a + 2ab - b ；
3. 即时辨析：判断下列式子是否正确，说明理由：
① (x+1) = x + 1；② (2y-3) = 4y - 12y + 9；③ (m-n) = m - n
第5页：基础应用与课堂小结
1. 基础应用：用完全平方公式计算
① (3x+2) ：确定a=3x，b=2，代入得(3x) + 2×3x×2 + 2 = 9x + 12x + 4；
② (5y-1) ：确定a=5y，b=1，代入得(5y) - 2×5y×1 + 1 = 25y - 10y + 1；
2. 课堂小结：
① 两个完全平方公式：(a+b) = a + 2ab + b ，(a-b) = a - 2ab + b ；
② 结构特征：左平方，右三项，平方和在中间，积的2倍在两边，符号随左定；
③ 核心要点：牢记公式结构，避免漏项和符号错误
两数和的完全平方公式：
两数差的完全平方公式：
这两个式子，在结构上有什么特点？
文字语言：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。
口诀：首平方，尾平方，积的二倍中间放。
a，b可以是数值，可以是字母，还可以是代数式。
知识点 完全平方公式
1. 下列各式可利用完全平方公式计算的是( )
D
A. B.
C. D.
2. 下列各式中计算正确的是( )
A
A.
B.
C.
D.
新课探究
计算下列各式：
（1）(m + 3)2 ；
（2）(2+ 3x)2 。
（1）(m+3)2
=m2+6m+9
=(m+3)(m+3)
（2）(2+3x)2
=(2+3x)(2+3x)
=4+12x+9x2
观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现
m2+2·3m+9
4+2·2·3x+9x2
两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍。
平方式，两项
首平方，尾平方，
积的2倍放中间
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2
错
错
错
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(x +y)2 =x2+2xy +y2
知识点 完全平方公式
3. [保定期中] 如果 是一个完全平方式，
那么 的值是( )
A
A. 5或 B. 3或 C. D. 3或5
4. 如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是( )
C
A.
B.
C.
D.
例1 计算：
练习1：(a+1 )2 = ( )2 +2( )( )+ ( )2
=
(3y-x )2 = ( )2 -2( )( )+ ( )2
=
知识点 完全平方公式
例1 计算：
练习1：(a+1)2 = (a)2 +2(a)(1)+ (1)2
=a +2a+1
(3y-x )2 = (3y)2 -2(3y)(x)+ (x)2
=9y -6xy+x
知识点 完全平方公式
5. 已知多项式加上一个单项式 后
能成为一个完全平方式，试写出这个单项式 ___________
_______________（写出一种即可）.
（答案不唯一）
6.若，则 的值为____.
13
【点拨】， ，
， ，
， ，即
， .
按要求填写下面的表格：
算式 与公式中a对应的项 与公式中b对应的项 计算结果
(2x＋3)2
(m＋2n)2
(2b－c)2
(3m－2)2
2x
3
4x2＋12x＋9
m
2n
m2＋4mn＋4n2
2b
c
4b2－4bc＋c2
3m
2
9m2－12m＋4
做一做
知识点 完全平方公式
例2 计算：
记清公式、代准数式、准确计算。
知识点 完全平方公式
你认为哪种方法最简单呢？
例2 计算：
知识点 完全平方公式
7. 教材P98练习 计算：
（1） ;
【解】原式
.
（2） .
原式
.
8. 教材P98练习 用简便方法计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式 .
例3 用完全平方公式计算：
知识点 完全平方公式
利用完全平方公式计算：
(1) 0.982 (2) 10012
解：(1) 原式 = （ 1 0.02）2
= 12 2 · 1 · 0.02 + 0.022
= 1 0.04 + 0.0004
= 0.9964
（2）原式 = （ 1000 + 1 ）2
= 10002 + 2 · 1000 · 1 + 12
= 1000000 + 2000 + 1
=1002001
知识点 完全平方公式
7
a2+b2 =
根据完全平方公式，尝试得到下列各式：
(a+b)2-2ab
(a-b)2+2ab
=
知识点 完全平方公式
9.[邯郸期末] 先化简，再求值：
，其中 ,
.
【解】
，
当,时，原式 .
10. 小明在利用完全平方公式计算一个二项式的平方时，不
小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为
，则中间一项的系数是( )
C
A. 12 B. C. 12或 D. 36
【点拨】 ，
中间一项的系数是12或 .故选C.
11. [沧州模拟] 将数字 填入如图所示的图形中，使得每个圆圈上的四个
数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为，， ，
且.已知交点处的三个圆圈填入的数字分别为，， .
结论Ⅰ：；结论Ⅱ： .
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( )
A
A. 结论Ⅰ正确，结论Ⅱ不正确
B. 结论Ⅰ不正确，结论Ⅱ正确
C. 结论Ⅰ、结论Ⅱ都正确
D. 结论Ⅰ、结论Ⅱ都不正确
1.
完全平方公式
平方差公式
乘法公式
2.在解题过程中要准确确定与公式中a和b对应的项，它们可以是数，也可以是单项式，还可以是多项式，对照公式原形的两边，做到不丢项、不弄错符号、算2ab时不少乘2。在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择。
代数
（特殊的多项式乘多项式）
几何
数形结合
简便