9.3 公式法 第1课时 平方差公式-课件(共33张PPT)--2025-2026学年冀教版数学七年级下册

(共33张PPT)
冀教版数学7年级下册培优精做课件9.3公式法第1课时平方差公式第八章整式的乘法授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
探索并运用平方差公式进行因式分解，体会逆向思维在数学中的作用.
2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.
导入新知
a米
b米
b米
a米
(a-b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
平方差公式：
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
知识点1 平方差公式的结构特征
1. 课堂上老师在黑板上布置了以下的题目：
用平方差公式分解因式：
（1）； （2） ；
（3）； （4） .
涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( )
B
A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）
2. [邯郸模拟] 将多项式“ ？”因式分解，结果为
，则“？”是( )
C
A. 3 B. C. 9 D.
平方差公式的特点
公式左边
公式右边
共有两项，
两项符号相反，
且都是平方形式.
两个数的和乘以这两个数的差.
知识点1 平方差公式的结构特征
3.[青岛中考] 因式分解: _______________.
4.一个长方形的面积为，宽为 ，则该长方形
的长为_______.
5.若，，则 的值为___.
4
√
√
×
×
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2；
（2）x2-y2；
（3）-x2-y2；
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2；
（5）x2-25y2；
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1.
(m+1)(m-1)
知识点1 平方差公式的结构特征
试一试：试着将下面的多项式分解因式.
(1)p2－16=　　 　　;
(2)y2－4=　 　　　;
(3)x2－ =　　 　　;
(4)4a2－b2=　　 　　.
(p＋4)(p－4)
(y＋2)(y－2)
(2a＋b)(2a－b)
知识点2 用平方差公式进行因式分解
例1 把下列各式分解因式:
(1)4x2-9y2 ；
(2)(3m-1)2-9
(1)4x2-9y2=
解：
(2x)2 - (3y)2
=(2x+3y)(2x-3y)
a2 - b2 = (a+b) (a-b)
(2)(3m-1)2-9=
(3m-1)2 - 32
=(3m-1+3）(3m-1-3)
=（3m+2)(3m-4)
知识点2 用平方差公式进行因式分解
6. 教材P117例1 分解因式：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） .
.
跟踪训练 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
知识点2 用平方差公式进行因式分解
(2) 9(m＋n)2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝ [3(m＋n)＋(m－n)] [3(m＋n)－(m－n)]
＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n).
例2 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
知识点2 用平方差公式进行因式分解
7. 下面是嘉淇同学把多项式
因式分解的具体解法：
.
（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是
__________________；
公因式没有提取完
（2）请给出这个问题的正确解法.
【解】原式 .
例3 把下列各式分解因式.
(1)a3－16a; (2)2ab3－2ab.
(2)2ab3－2ab
=2ab(b2－1)
=2ab(b＋1)(b－1).
解:(1)a3－16a
=a(a2－16)
=a(a－4)(a＋4).
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，再进一步因式分解.
知识点2 用平方差公式进行因式分解
跟踪训练 把x3－9x分解因式，结果正确的是( )
A.x(x2－9)
B.x(x－3)2
C.x(x＋3)2
D.x(x＋3)(x－3)
D
注意：因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
知识点2 用平方差公式进行因式分解
（1）公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.（2）分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
知识点2 用平方差公式进行因式分解
例4 计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52－46.52)
=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7=2 800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
知识点2 用平方差公式进行因式分解
8. 若，，是三角形的三边长，则式子 的值
( )
B
A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 不能确定
9. 如果,,，4,, 分别对应6个字：鹿，
鸣，数，我，爱，学，现将 因式
分解，结果呈现的可能是( )
A
A. 我爱鹿鸣 B. 爱鹿鸣 C. 鹿鸣数学 D. 我爱数学
10. 若的结果为整数，则整数 的值不可能是
( )
D
A. 44 B. 55 C. 66 D. 77
【点拨】原式
选项，当时，，是 的因
数，可使结果为整数，故此选项不符合题意；B选项，当
时，，是 的因数，可使结
果为整数，故此选项不符合题意；C选项，当 时，
，是 的因数，可使结果为整
数，故此选项不符合题意；D选项，当 时，
，不是 的因数，不可使结果为整
数，故此选项符合题意,故选D.
11. 若 ，则
的值是( )
D
A. 2 028 B. 2 027 C. 2 026 D. 2 025
【点拨】 ，
，
.
故选D.
12.设，， ，
则数，，的大小关系是__________（用“ ”号连接）.
【点拨】 ,
,
,
所以 .
13.如图是一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体，它的
内径，外径，长 .制成一节这
样的排水管需要________的混凝土（结果保留 ）.
【点拨】
，
.
则制成一节这样的排水管需要
的混凝土.
14. 教材P119习题 计算：
… _____.
【点拨】原式… .
15.如图，卡片A，B，C各代表一个代数式，从这三张卡片中
取两张进行因式分解运算.
（1）若选择B，C卡片，请进行因式分解；
【解】 .
（2）嘉嘉发现：“若选择A，B卡片，不论 为何整数，其结
果总可以被 整除”，请确定满足条件的最小正整数
的值.
.
由题意可知的值总可以被 整除，
即是整数 的倍数，
满足条件的最小正整数 的值是3.
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.