9.3 公式法 第2课时 完全平方公式-课件(共33张PPT)--2025-2026学年冀教版数学七年级下册

(共33张PPT)
冀教版数学7年级下册培优精做课件9.3公式法第2课时完全平方公式第八章整式的乘法授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
理解并掌握用完全平方公式分解因式.
2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算.
导入新知
做一做：你能把右面4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
思考：这个大正方形的面积可以怎么求？
a
b
a
b
a
ab
ab
b
将上面的等式倒过来看，能得到：
完全平方公式
导入新知
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
知识点1 完全平方公式的结构特征
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+ b2
±
=(a ± b)
a2
首2 +
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
知识点1 完全平方公式的结构特征
1. 下列各式:； ；
； ，其中不能用完全平方公式
因式分解的有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 把 分解因式，结果正确的是( )
C
A. B. C. D.
3. 若， ，则代数式
的值为( )
D
A. B. C. 45 D. 90
【点拨】，， .
例 1 下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
知识点1 完全平方公式的结构特征
对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
③ a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
② m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
① x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x+2
a
a 2b
a + 2b
2b
m
m - 3
3
x
2
m
3
知识点2 用完全平方公式分解因式
.
.
.
例2 把下列各式分解因式：
(1)t2＋22t＋121； (2)m2＋ n2－mn.
解：(1)t2＋22t＋121
=t2＋2×11t＋112
=(t＋11)2.
知识点2 用完全平方公式分解因式
4.用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，
用因式分解的方法表示一个恒等式为____________________
___.
5. 多项式 加上一个单项式后，能成
为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是__________
_______________（填一个即可）.
（答案不唯一）
思考：具有什么特征的多项式能用完全平方公式分解因式
具有a2＋2ab＋b2或a2-2ab＋b2特征的多项式能用完全平方公式分解因式.
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方的形式，就能用完全平方公式因式分解.
知识点2 用完全平方公式分解因式
解：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4
=(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22
=(x＋y－2)2
运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法.
例3 把下列各式分解因式：
(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；
(2)(3m－1)2＋(3m－1)＋ .
知识点2 用完全平方公式分解因式
例4 把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；
a2
＋
2ab
＋
b2
＝
(a+b)2
(2)－x2－4y2＋4xy＝ －(x2＋4y2－4xy)
＝ －(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝ －(x－2y)2.
a2
－
＋
b2
＝
(a-b)2
2 a b
知识点2 用完全平方公式分解因式
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，
一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号．
注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
知识点2 用完全平方公式分解因式
6.因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
7.用简便方法计算： .
【解】原式 .
例 5 用完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)
(2)原式＝(34＋16)2
=1.
＝2 500.
知识点2 用完全平方公式分解因式
例 6 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
知识点2 用完全平方公式分解因式
8. 不论，为任何实数， 的值总是
( )
B
A. 非负数 B. 正数 C. 负数 D. 0
9. [邢台月考] 已知，，其中 为正整
数，下列两名同学的说法中正确的是( )
嘉嘉：由已知条件可知 .
淇淇：由已知条件可知 .
B
A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确
C. 两人都正确 D. 两人都不正确
【点拨】，， 为正整数，
,与 不相符，故嘉嘉的判断错误.
，，为正整数，， .
又， ，故淇淇的判断正确.故选B.
10.已知，，分别是三角形 的三边长，若
，，则三角形 的
周长是___.
6
【点拨】 ，
.
又,,即三角形 的
周长是6.
11. 已知 ，且满足两个等式
，，则 的值
为___.
4
【点拨】 ,得
， ，
，即
.
12.如图所示，将两个正方形并列放置，其中,, 三点在一
条直线上，,,三点在一条直线上，已知 ,
，则阴影部分的面积和是____.
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13.【阅读材料】整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，
下面是某同学对多项式 进行
因式分解的过程.
解：设 ，
则原式
.
请你模仿以上方法尝试对多项式
进行因式分解.
【解】设 ，
则原式
.
14. 观察下列等式：
,
,
,
, .
（1）根据你发现的规律，写出 是哪一个正
整数的平方；
【解】由题意得
，即
是194的平方.
（2）请把 写成一个整数的平方的形式.
.
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负
完全平方公式分解因式
1.
整式的乘法
因式分解
公式法
2.因式分解的步骤：
（1）先看多项式是否有公因式，有公因式的应先提出公因式.
（2）再看能否用公式法
两项
三项
考虑能否用平方差公式
考虑能否用完全平方公式
（3）检查每一个多项式因式是否都不能再分解，能分解的继续分解到不能分解为止.
整体思想