2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册单元测试 第四章 数列（含解析）

第四章 数列
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=a5,a3-a1=8,则a7=(　　)
A.30 B.28 C.26 D.13
2.已知等比数列{an}的公比为q,则q>1是数列{an}为递增数列的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5a9=8,则log2a1+log2a3+log2a5+log2a7+log2a9=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(2025江苏镇江模拟)生活中有各种不同的进制,计算机使用的是二进制,数学运算一般使用十进制.任何进制数均可转换为十进制数,如八进制数(3750)8转换为十进制数的算法为3×83+7×82+5×81+0×80=2 024.若将八进制数(77777)8转换为十进制数,则转换后的数的末位数字是(　　)
A.1 B.3 C.5 D.7
5.已知等差数列{an}的公差和首项都不为零,且a2,a4,a8成等比数列,则=(　　)
A. B. C. D.2
6.已知数列{an}的通项公式是an=(-1)n(5n-3),则a1+a2+a3+…+a2 021=(　　)
A.10 100 B.-10 100 C.5 052 D.-5 052
7.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)·2n+1,则a7=(　　)
A.64 B.128 C.256 D.512
8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+a5+…+a2n-1),a1a2a3=27,则数列{an}的通项公式是(　　)
A.an=3n+1 B.an=2·3n-1 C.an=3n-1 D.an=3n
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,且S5=S9,则下列说法正确的有(　　)
A.S7是数列{Sn}中的最大项 B.a7是数列{an}中的最大项
C.S14=0 D.满足Sn>0的n的最大值为13
10.已知函数f(x)=,令an=f(n),则下列关于数列{an}说法正确的是(　　)
A.a1= B.数列{an}是等差数列
C.数列{an}是递增数列 D.an≤
11.(2025湖北武汉高二检测)十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的,明万历十二年(公元1584年),他写成的《律学新说》提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是:在1和2之间插入11个数,使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列,记插入的11个数之和为M,插入11个数后这13个数之和为N,则依此规则,下列说法正确的是(　　)
A.插入的第8个数为 B.插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C.M>3 D.N<7
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2025湖南长沙高三开学考试)在等差数列{an}中,若a2+a3=15,a3+a4=20,则a4+a5=　　　　　.
13.设等比数列{an}的前n项和为Sn,写出一个满足下列条件的{an}的公比q=　　　　.
①a1>0;②数列{an}是递增数列;③S3<13a1.
14.已知Sn为单调递减的等差数列{an}的前n项和,若数列的前n项和Tn=,则下列结论正确的有　　　　　.(填序号)
①a3=0　②Sn=7n-n2　③Sn=n(an+n-2)　④当n=3或n=4时,Sn取得最大值
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,.
(1)求等比数列{an}的通项公式;
(2)求+…+的值.
16.(15分)(2025海南海口模拟)记Sn为数列{an}的前n项和,已知2Sn=3an-1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=an+log3an,求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(15分)已知在公差不为0的等差数列{an}中,a2=3且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{3nan}的前n项和Tn.
18.(17分)在①3Sn+1=Sn+1,②2Sn=1-3an+1这两个条件中选择一个,补充在下面问题中,并给出解答.
已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a2=,　　　　　;又知正项等差数列{bn}满足b1=2,且b1,b2-1,b3成等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)证明:+…+.
19.(17分)(2025河北邢台高三开学考试)定义:若数列{an}满足an+2=pan+1+qan(p,q∈R),则称数列{an}为“线性数列”.
(1)已知{an}为“线性数列”,且a1=2,a2=8,a3=24,a4=64,证明:数列{an+1-2an}为等比数列.
(2)已知an=.
①证明:数列{an}为“线性数列”;
②记bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,证明:Sn<.
参考答案
1.C　2.D　3.C
4.D　由题意可得将八进制数(77777)8转换为十进制数,则转换后的数为7×84+7×83+7×82+7×8+7×80=7×(84+83+82+8+1)=7×=85-1=32 768-1=32 767.
5.B
6.D　∵an=(-1)n(5n-3),∴an+an+1=(-1)n(5n-3)+(-1)n+1[5(n+1)-3]=(-1)n+1·5,∴a1+a2+a3+…+a2 021=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2 019+a2 020)+a2 021=1 010×5+(-1)2 021×(5×2 021-3)=-5 052.故选D.
7.A　8.C　9.ACD
10.AC　由已知得an=f(n)==2-.因为a1=f(1)=2-,所以A正确;因为an+1-an=,所以数列{an}不是等差数列,所以B错误;因为an+1-an=>0,n∈N*,所以an+1>an恒成立,所以数列{an}是递增数列,所以C正确;因为数列{an}是递增数列,a1=,所以an≥,所以D错误.故选AC.
11.ABC　设该等比数列为{an},其公比为q,
由题意可知a1=1,a13=2,故q12=2,解得q=,
∴a9=a1q8=,即插入的第8个数为,选项A正确;
插入的第5个数为a6=a1q5=()5=,插入的第1个数为a2=a1q=,∴插入的第5个数是插入的第1个数的倍,故B正确;
M==-1-,要证M>3,即证-1->3,即证>4,即证,即证>2,而>(1.5)6>2,故M>3,故C正确;
∵N=M+3,要证N<7,即证M<4,即证-1-<4,即证<5,即证,即证<2,而>(1.4)6>(1.9)3>2,∴N<7不成立,故D错误.故选ABC.
12.25
13.2(答案不唯一)　设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1,所以n≥2时,an-an-1=a1qn-2(q-1),因为a1>0,且{an}是递增数列,所以q>1,因为S3<13a1,所以a1+a2+a3<13a1,即a1q2+a1q-12a1<0,因为a1>0,所以q2+q-12<0,解得-414.②④　设单调递减的等差数列{an}的公差为d,d<0,则),所以Tn=+…+)=)=,所以解得(不符合题意,舍去).则a3=6-4=2,故①错误.Sn=6n+n(n-1)·(-2)=7n-n2,故②正确.因为n(an+n-2)=n(8-2n+n-2)=n(6-n),Sn≠n(an+n-2),所以③错误.由Sn=7n-n2=-n-2+,可得当n=3或n=4时,Sn取得最大值,故④正确.
15.解 (1)由已知可知等比数列{an}的公比q≠1.
因为a1=-1,,所以,
即1+q3=,解得q=-,则an=-(-)n-1.
(2)由(1)知an=-,则,
所以当n≥2时,,且=1,
所以数列{}是以1为首项,为公比的等比数列,
所以+…+.
16.解(1)因为Sn为数列{an}的前n项和,且2Sn=3an-1,当n=1时,则有2a1=3a1-1,解得a1=1;
当n≥2时,由2Sn=3an-1可得,2Sn-1=3an-1-1,
上述两个等式作差可得2an=3an-3an-1,
整理得an=3an-1,n≥2,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,因此an=1×3n-1=3n-1.
(2)因为bn=an+log3an=3n-1+log33n-1=3n-1+(n-1),
所以Tn=(30+0)+(31+1)+(32+2)+…+[3n-1+(n-1)]=(30+31+32+…+3n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]=.
17.解(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a1,a2,a5成等比数列,所以=a1a5.
即(a1+d)2=a1(a1+4d).又a2=3,即a1+d=3.
两式联立,消去a1,整理得3d2-6d=0.
因为d≠0,所以d=2,a1=1.
故数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由(1),可知3nan=(2n-1)×3n,
Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n, ①
3Tn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)×3n+1, ②
①-②,得-2Tn=1×3+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)×3n+1=-3+2(3+32+…+3n)-(2n-1)×3n+1=-6+3n+1-(2n-1)×3n+1,所以Tn=(n-1)×3n+1+3.
18.(1)解选择①时,数列{an}的前n项和为Sn,根据题意可得3Sn+1=Sn+1,
∴当n≥2时,有3Sn=Sn-1+1,两式相减,得3an+1=an,
又a2=,∴.
又当n=1时,有3S2=S1+1,即3(a1+a2)=a1+1,
又a2=,∴a1=,∴数列{an}是首项、公比均为的等比数列,故an=()n.
设正项等差数列{bn}的公差为d,∵b1=2,且b1,b2-1,b3成等比数列,∴(b2-1)2=b1b3,即(2+d-1)2=2(2+2d),解得d=3或d=-1(舍去),∴bn=2+3(n-1)=3n-1.
故an=()n,bn=3n-1.
选择②时,数列{an}的前n项和为Sn,
根据题意可得2Sn=1-3an+1,
∴当n≥2时,2Sn-1=1-3an,两式相减,得2an=-3an+1+3an,
∴3an+1=an.又a2=,∴.
又当n=1时,有2S1=1-3a2,即2a1=1-3a2,
又a2=,∴a1=,∴数列{an}是首项、公比均为的等比数列,∴an=()n.设正项等差数列{bn}的公差为d,
∵b1=2,且b1,b2-1,b3成等比数列,
∴(b2-1)2=b1b3,即(2+d-1)2=2(2+2d),
解得d=3或d=-1(舍去),∴bn=2+3(n-1)=3n-1.
故an=()n,bn=3n-1.
(2)证明由(1)可得an=()n,bn=3n-1,
∴=a3n-1=() 3n-1,∴+…+=a2+a5+…+a3n-1=()2+()5+…+()3n-1=[1-()n]<.
19.证明(1)因为{an}为“线性数列”,
所以an+2=pan+1+qan(p,q∈R),
所以解得
所以an+2=4an+1-4an,
所以an+2-2an+1=2(an+1-2an).又a2-2a1=4,
所以{an+1-2an}是以4为首项,2为公比的等比数列.
(2)①因为an=(1+)n-1+(1-)n-1,
则a1=2,a2=2,a3=6,a4=14.
令
解得所以
因为an+2-2an+1-an=(1+)n+1+(1-)n+1-2[(1+)n+(1-)n]-[(1+)n-1+(1-)n-1]=(1+)n-1(3+2-2-2-1)+(1-)n-1(3-2-2+2-1)=0,
所以an+2=2an+1+an,所以数列{an}为“线性数列”.
②因为bn=,则bn=),
所以Sn=)+)+…+)=).
因为a1=2,a2=2,an+2=2an+1+an,
所以an>0,
所以Sn=)<.