广东省金太阳2025-2026学年高三下学期2月开学考试数学(扫描版，含解析)

下·
fm)=fn,所以m=ln,A正确当m>0时，lnn>0,则>1.令函数h()=言z
-1)2+1nx-x十1(x>1),则'()=x-2+二>0，所以h(x)在(1，十∞)上单调递增，则
(x)>h(1)=0,所以号(n-1)2+1nm=2(m-1)2+m>1-1,即n2+2m+3>4n,C正
1
确.若存在n∈(0，∞)，使得(m一1+1)2=0.01，则m一n+1=0.1或m一1+1=一0.1，
即lnn=n一1.1或lnn=n一0.9.画出函数y=x一1.1与函数y=lnx的图象，易得两图
象有交点，)正确.
y=x-1.1
y=In.a
12.③
4
【解析】本题考查正弦的和角公式与同角三角函数的关系，考查数学运算的核心素养，
由5sina=2sin(a+5）=sina+5cosa,得4sina=5cosa,则tana=na-5
cos a 4'
13.6【解析】本题考查抛物线的性质与圆的弦长，考查数学运算与直观想象的核心素养
2的焦点为F(0,4),准线方程为y=一4，根据题意可得圆心C(0,·12),圆心C到直线3x
十4y+28=0的距离d=13X0+4X-12)+28=4,所以1PQ1=22-6=6。
32+42
14.2304【解析】本题考查排列组合，考查逻辑推理的核心素养
因为这5个数字之积为0并排成一个5位数，所以第4个圆的上方位被选，左方位有C种
选择，同理右方位有C种选择，下方位有C种选择，正中间有C种选择，且0不能在万位
上，先排万位有C种，剩下的有A种，所以共有C4CC2C·CA=2304种情况.
15.【解析】本题考查正弦、余弦定理，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
獬：(1)根据正弦定理可得b2十c2一a2=bc(4c0sA一1)，…1分
根据余弦定理可得4cosA-1=b2+c2-a
-=2c0sA、…3分
bc
1
所以cosA=。
…5分
因为A∈（0m所以A=号.…6分
(2)由(1)易得b2+c2-a2=bc,即b2十c2-a2=bc≥2bc-a2,…8分
所以bc≤32，当且仅当b=c=4V2时，等号成立，…
…9分
所以△ABC的面积S=合esinA≤号X32×X号=8V厅，
12分
【高三数学·参考答案第3页（共8页）】
。
即△ABC面积的最大值为8√3.
…13分
【评分细则】
【1】第(1)问中，没写A∈(0，)，直接得出A=牙，不扣分。
【2】第(2)问中，没写当且仅当b=c=4√2时，等号成立，扣1分.
16.【解析】本题考查空间中点、线、面的关系及空间角的余弦值，考查直观想象与逻辑推理的核
心素养。
(1)证明：因为M,N分别是AP,AC的中点，所以MN∥P℃.…1分
因为E为BP上靠近点B的四等分点，F为BC上靠近点B的四等分点，所以EF∥PC,
2分
所以MNEF,所以M,N,E,F四点共面.…4分
(2)证明：因为PA=2√5，AB=4,PB=6,所以PA2+AB2=PB2,所以PA⊥AB.…
6分
因为AB⊥AC,PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC.…7分
因为ABC平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.…8分
(3)解：连接PN.因为PA=PC,所以PN⊥AC,则由(2)得平面1
PAC⊥平面ABC,所以PN⊥平面ABC.以A为坐标原点，以
AB,AC所在直线分别为x,y轴，以过点A且平行于PN的直线
为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(00,0,E(3,
M
1,F(3,1,0),A=(3,2,1,A=(3,1,0).
…9分
设平面AEF的法向量为n=(x,y,之)，
则n·花=3x+分+=0，
n·AF=3x+y=0,
令y=6,则n=(一2,6,3).…11分
易得m=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量.…13分
n·n
3
3
设平面ABC与平面AEF的夹角为0，则cos0=|cos(m,n)|=
mln|√4+36+9
7
3
所以平面ABC与平面AEF夹角的余弦值为号
15分
【评分细则】
【1】第(2)问中，没写PA∩AC=A,扣1分；没写AB平面ABC,不扣分，
【2】第(3)问中，法向量不唯一，只要是与参考答案给出的法向量共线的非零向量均可.
【高三数学·参考答案第4页（共8页）】