(共61张PPT)
热点5 概率统计与数列、函数交汇
导言 从近几年的高考卷的考查情况来看，本节是高考的热点，特别是解答题中，更是经常出现．随着计算机技术和人工智能的发展，概率统计逐步成为应用最广泛的数学内容之一．主要以应用题的方式出现，多与经济、生活实际相联系，与数列、函数交汇命制试题，建立数学模型，解决实际问题．
1 [人教A版选必三P91复习参考题7 T10改编]甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则n次传球后球在甲手中的概率为
____________________.
2 [人教A版选必三P91复习参考题7 T11]某单位有10 000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设每人携带乙肝病毒的概率为5%，如果对每人的血样逐一化验，就需要化验10 000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每人再分别化验一次．
(1) 按照这种化验方法能减少化验次数吗？
(2) 如果每人携带乙肝病毒的概率为2%，按照k人一组，k取多大时化验次数最少？
因为每人携带乙肝病毒的概率为5%，
所以携带乙肝病毒的约有10 000×5%＝500(人)，则第二轮最多有500组需要化验，最多化验次数为500×5＝2 500.
综上，这种方法最多化验次数为2 000＋2 500＝4 500，化验次数减少．
3 [2025海南模拟]中国工程院院士袁隆平海水稻团队通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70,100])，其质量指标等级划分如表：
质量指标值m [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,100]
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
(1) 若将频率作为概率，从该产品中随机
抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不
是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2) 若每件产品的质量指标值m与利润y(单
位：元)的关系如表(1
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln2≈0.7，ln5≈ 1.6).
解：(1) 由频率分布直方图，得抽1件产品为废品的频率为5×(0.04＋0.02)＝0.3，
所以P(A)＝1－0.33＝0.973，
即事件A发生的概率为0.973.
(2) 由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y的频率分布如下表所示(1所以每件产品的平均利润h(t)＝－0.5et＋0.8t＋0.6t＋0.8t＋0.3t＝ －0.5et＋2.5t,1求导，得h′(t)＝－0.5et＋2.5.
令h′(t)＝－0.5et＋2.5＝0，解得t＝ln5，
当t∈(1，ln5)时，h′(t)>0，函数h(t)单调递增；
当t∈(ln5,4)时，h′(t)<0，函数h(t)单调递减，
所以当t＝ln5时，h(t)取最大值h(ln5)＝－0.5eln 5＋2.5×ln5≈1.5，
所以生产该产品能够实现盈利，当t＝ln5≈1.6时，每件产品的平均利润达到最大．
要点指引
1. 数列与概率的交汇：与事件发生次数n(n比较大)有关的概率的计算，通常先确定pn＋1与pn的递推关系，再构造等差(比)数列求pn.
2. 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是概率最大(小)值或均值最大(小)值．因此解决此类最值问题往往会将其转化为函数的最值问题，然后利用导数求解．
探究1 概率与数列的交汇问题
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签决定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1) 求第2次投篮的人是乙的概率；
(2) 求第i次投篮的人是甲的概率；
1
思路引导：本题考查全概率公式，离散型随机变量的数学期望，等比数列的通项公式及其求和．(1) 题干关键：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．根据全概率公式即可求出；(2) 解题关键：根据规则找到第i次投篮的人是甲的概率pi的递推式．根据数列的基本知识求解；(3) 题干关键：两点分布的期望．根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
解：(1) 记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，
则P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.
(2) 设P(Ai)＝pi，由题意，得P(Bi)＝1－pi，
则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题均涉及与事件发生次数n(n比较大)有关的概率的计算，概率与数列交汇在一起进行考查时，一般通过全概率公式以递推数列的方式出现．因此在解答此类题时，准确将题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型，分析概率所满足的数列模型是关键．
变式训练 [2025镇江期初T17]口袋中有大小相同、质地均匀的3个白球和3个黄球．甲、乙两人进行摸球游戏，规则如下：每次摸2个球，观察颜色后放回，若颜色相同，则摸球人继续摸球；否则由对方摸球．第一次由甲开始摸球，记第n次由甲摸的概率是Pn
(1) 求P2，P3；
题后反思
概率与数列的交汇问题，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系．解决此类问题的基本步骤为：(1) 精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率模型的依据，也是建立递推关系的准则；(2) 准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题；(3) 解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解．求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式．
探究2 概率与函数的交汇问题
2
(1) 若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0;
(2) 以(1)中确定的p0作为p的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量X，求每盘游戏出现音乐的概率p1，及随机变量X的数学期望E(X);
(3) 玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
思路引导：本题考查了独立重复试验概率的求法， 利用导数求得函数的最值，数学期望的求法. (1) 题干关键：一盘游戏中仅出现一次音乐，可考虑利用独立重复试验概率的求法，然后利用导数求最值；(2)题干关键：以(1)中确定的p0作为p的值，玩3盘游戏，可考虑利用二项分布求解； (3) 题干关键：若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，利用导数研究函数的单调性．
所以E(ξ)<0，这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知，经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题均涉及概率与函数交汇在一起进行考查时，概率的最值问题．在解答此类题时，准确将题中所涉及的事件的概率表示成立，明确所求问题中的变量，分析概率所满足的函数模型是关键．
①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；
②求甲同学答对1道题的概率；
(2) 记甲同学的答题个数为X，求E(X)的最大值．
题后反思
概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数．求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解．解决此类问题应注意以下两点：(1) 准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，因为随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；(2) 注意变量的取值范围，一是题中给出的取值范围，二是实际问题中变量自身取值范围的限制．
探究3 统计与函数的交汇问题
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图．利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1) 当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2) 设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]上的最小值.
3
患病者该指标的频率分布直方图 未患病者该指标的频率分布直方图
解：(1) 因为患病者的频率分布直方图中第一个小矩形的面积为5× 0.002>0.5%，所以95所以(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5，
所以q(c)＝0.01×(100－97.5)＋5×0.002＝0.035＝3.5%[防范失误④]．
思路引导：本题考查了频率分布直方图，分段函数的最值. (1) 解题关键：漏诊率需要研究第一个图确定临界值c.误诊率q(c)根据第二个图求出大于等于c的矩形面积即可解出；(2) 解题关键：确定分段点100.通过分段研究得出f(c)的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．
(2) 当c∈[95,100]时，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－95)×0.002＋(100－c)×0.01＋5×0.002＝ －0.008c＋0.82≥0.02；
当c∈(100,105]时，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＋(105－c)×0.002＝0.01c－0.98>0.02[防范失误④]．
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题均涉及统计与函数交汇在一起进行考查时，以统计问题为主，根据统计量构造函数．求解时可借助函数的性质或导数确定最值．
分别用两种模型：①y＝bx＋a；②y＝blnx＋a进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图2所示的残差图(残差＝观测值－估计值)．
图1
图2
(1) 根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由；
(2) 根据(1)中所选模型．
①求出y关于x的经验回归方程(系数精确到0.1)；
②若该电商平台每年活动当天线上日销售额y与当日营销成本u及年份x存在线性关系：y＝3u＋2.6x，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大？
解：(1) 由残差图可知，模型①的残差值比较分散且远离横轴，所以模型①的残差平方和大于模型②的残差平方和，
所以模型②的拟合效果更好，故应选择模型②.
(2) ①对于y＝blnx＋a，令t＝lnx，得y＝bt＋a，
令f′(x)>0，解得1≤x<12；令f′(x)<0，解得x>12，
所以f(x)在区间[1,12)上单调递增，在区间(12，＋∞)上单调递减，
所以当x＝12时，3u＝f(x)取到最大值，即u取到最大值，
所以第12年活动当日营销成本的预测值最大．
题后反思
统计与函数的交汇问题，多以统计问题为解题主线，通过设置变量，利用统计量构造函数．求解时可借助函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解．解决此类问题应注意以下两点：(1) 根据题目给定函数，准确运算化简是关键；(2) 注意变量的取值范围，一是题中给出的取值范围，二是实际问题中变量自身取值范围的限制．
2
4
1
3
1 [2025茂名二模T6]甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位．若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为( )
C
2
4
1
3
2
4
1
3
2 (多选)[2025保定二模T10]若0A. P(Y>8)＝P(Y<4)
ACD
2
4
1
3
2
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1
3
2
4
3
1
3 一个书包中有标号为“1,1,2,2,3,3，…，n，n”的2n张卡片. 一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回．如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，那么他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，那么操作结束．记书包中卡片全部
被拿走的概率为Pn，则P3＝____，P7＝_______.
2
4
3
1
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3
1(共50张PPT)
热点1 三角函数中与ω相关的问题
导言 三角函数中与ω相关的问题是新高考卷的难点内容，会结合三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域、零点及伸缩平移变换综合求解，基本以客观题形式出现，设题灵活，难度中等或较高．
B
要点指引
2. 极值、最值与“ω”结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或范围．
3. 已知零点个数求ω的取值范围：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含(k＋1)个零点的区间长度的最小值．
探究1 零点问题
A. 8 B. 6
C. 4 D. 3
思路引导：本题考查了三角恒等变换，零点问题．先利用辅助角公式化简f(x)，根据π是f(x)的周期构造ω的等式，然后结合f(x)的零点情况确定ω的最小值．
1
C
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题均涉及三角函数在给定区间上零点的问题，通常利用整体思想结合三角函数的图象构造出关于ω的不等关系求解，注意区间的开闭对不等号的影响．
题后反思 解函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(k∈Z，ω>0，n∈N*)在给定区间上的零点问题的方法：
f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间(a，b)内有n个零点，转化为
同理f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]内有n个零点，转化为
探究2 单调性问题
2
BC
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题中均涉及三角函数的单调性，涉及区间的长度．
变式训练 (多选)[2025徐州一中月考]已知函数f(x)＝2sin(2ωx＋φ)(ω＞0)，则下列说法中不正确的是( )
A. 若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2
AB
题后反思 利用三角函数的单调性求参数的值或范围，通常有以下方法：
1. 子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列出不等式(组)求解．
2. 反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦函数、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
探究3 对称性问题
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3
B
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题的条件都给出三角函数图象的对称性，综合考查三角函数的图象与性质．
A. (5,8) B. (5,8]
C. (5,11] D. [5,11)
B
题后反思 三角函数对称性问题的求解方法：
1. 定义法：正(余)弦函数图象的对称轴是过函数图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，交点的横坐标是函数的零点．
2. 公式法(k∈Z)：
探究4 最值、极值问题
4
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题均根据三角函数最值点，确定ω的取值范围．
D
B
题后反思 研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题. 题目可能同时涉及零点、极值点和单调性，需分步处理每个条件，建立方程或不等式．
2
4
1
3
1 [2025汕尾中学质检]若函数f(x)＝sin ωx＋cos x的最大值为 2，则常数ω的取值可以为( )
D
2
4
1
3
2
4
1
3
B
2
4
1
3
2
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3
1
ABC
2
4
3
1
2
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1
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3
1
3(共51张PPT)
热点2 数列与函数、不等式交汇
导言 数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的交汇是高考命题的新热点. 主要考查方式有：1. 判断数列问题中的一些不等关系；2. 以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；3. 考查与数列有关的不等式的证明问题；4. 通过数列与其他知识，如与“三角”的交汇，考查不等关系．
A
【解析】 由an＋2≥an＋2，得a2 025≥a2 023＋2≥a2 021＋4≥…≥a1＋ 2 024＝2 025.因为an＋2≥an＋2，所以an≤an＋2－2，所以an＋3≤an＋3≤ an＋2＋1，所以a2 025≤a2 024＋1≤a2 023＋2≤…≤a1＋2 024＝2 025.故a2 025＝2 025.
2 [2025潍坊模拟]在数列{an}中，a1＝1，an＋3≤an＋3，an＋2≥an＋2，则下列说法中正确的是( )
A. a2 025>2 025 B. a2 025＝2 025
C. a2 025<2 025 D. 无法判断a2 025大小
B
－2
要点指引
1. 运用函数思想求解数列问题，主要是将数列的通项公式、递推关系等转化为函数的形式，然后利用函数的性质(单调性、周期性、奇偶性等)来研究数列的性质和求解数列的项．
2. 求数列范围时，可根据数列的单调性或是数列特点进行适当地放缩后再化简．
3. 求解数列与三角的交汇问题，需灵活运用三角函数的性质(如单调性、周期性、有界性等)和数列的递推关系、求和公式等知识，通过合理的放缩和转化，将复杂的不等式问题转化为可求解的形式．
探究1 数列与函数交汇
1
本题与【基础活动】的第1，3题对比，发现：都是将数列与函数相结合，利用函数的单调性来研究数列的最值或参数的取值范围，要注意的是，数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或其子集．
(1) 求证：{nan}为等差数列；
(2) 设f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f′(－2)的值．
所以(n＋1)an＋1＝nan＋1，
即(n＋1)an＋1－nan＝1.
因为a1＝3，
所以数列{nan}是首项为3，公差为1的等差数列．
(2) 解：由(1)知，nan＝3＋n－1＝n＋2，
因为f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，
所以f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋mamxm－1＝3＋4x＋5x2＋…＋(m＋1)xm－2＋(m＋2)xm－1，
所以f′(－2)＝3＋4×(－2)＋5×(－2)2＋…＋(m＋1)(－2)m－2＋(m＋2)(－2)m－1，
则－2f′(－2)＝3×(－2)＋4×(－2)2＋5×(－2)3＋…＋(m＋1)(－2)m－1＋(m＋2)(－2)m，
两式相减，得3f′(－2)＝3＋(－2)1＋(－2)2＋(－2)3＋…＋(－2)m－1－(m＋2)(－2)m
题后反思 数列与函数相结合的问题可分为：
1. 以函数表达式来定义数列，利用函数性质来研究数列性质；
2. 利用函数单调性来解决数列的最值或范围问题．
3. 数列是定义在N*或其子集上的特殊函数，因此在面对与数列有关的最值问题时，树立函数意识解决数列问题是关键. 通过函数的单调性、图象等特征或运用基本不等式、放缩法确定最值. 求解过程中注意项数n的取值范围．
探究2 数列与不等式交汇
2
因为2n－(2n－1＋1)＋1＝2n－1，
所以满足不等式的正整数k的个数为2n－1，
所以Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，
则2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减，得－Sn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
故Sn＝(n－1)·2n＋1.
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题都是将数列和不等式进行综合，都是利用夹值法进行求解．
变式训练 [2025如皋中学月考]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，2Sn＝(n＋1)an，n∈N*.
(1) 求数列{an}的通项公式；
题后反思
1. 对于求与数列有关的不等式恒成立时的参数范围问题，一般有如下三个方法：
(1) 分离参数法：使不等式一端是含有参数的式子，另一端是关于n的表达式，通常将其看作是以n为自变量的函数，通过对具体函数的研究确定含有参数的式子满足的条件．
(2) 讨论分析法：根据参数取值情况分类讨论．
(3) 数形结合法：将不等式转化为两个函数，通过两个函数的图象确定条件．
2. 数列与不等式的证明问题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、函数法、分析法、放缩法等．
3. 如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一是求和后再放缩；二是放缩后再求和. 放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．
探究3 数列与三角交汇
[2025安庆三模]在数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}的前n项和，已知2Sn＝nan.
(1) 求{an}的通项公式；
思路引导：本题考查数列与三角函数的交汇．(1) 利用条件得出nan＝(n－1)an＋1，然后利用累乘法可得数列通项公式；(2) 由(1)结合三角恒等变换，可得{bn}的通项公式，然后裂项可求前n项和．
3
解：(1) 当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0，
当n≥2时，2Sn＝nan，则2Sn＋1＝(n＋1)an＋1，
两式相减，得2Sn＋1－2Sn＝(n＋1)an＋1－nan，
即nan＝(n－1)an＋1，
经检验，当n＝1时，a1＝0也符合上式，
所以an＝n－1.
(2) 由(1)可知，an＝n－1，an＋1＝n，
＝tan(n＋1)－tann，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(tan2－tan1)＋(tan3－tan2)＋…＋[tann－tan(n－1)]＋[tan(n＋1)－tann]＝tan(n＋1)－tan1.
故数列{bn}的前n项和Tn＝tan(n＋1)－tan1.
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：两题都是将数列和三角进行综合，都是结合三角函数的性质和三角恒等变换进行求解．
变式训练 [2025邯郸模拟]在公差不为0的等差数列{an}中，已知a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列，a2n＝2an＋1(n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式；
解：(1) 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
因为a2n＝2an＋1(n∈N*)，所以a2＝2a1＋1，
所以a1＋d＝2a1＋1，即d＝a1＋1.
所以(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，即d＝2a1，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
所以T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝cosπ＋cos2π＋…＋cos[(2n－1)π]＋cos2nπ－{cos2π＋cos4π＋…＋cos[(4n－2)π]＋cos4nπ}，
因为cos[(2n－1)π]＋cos2nπ＝0，cos2nπ＝1，
可得(cosπ＋cos2π)＋…＋{cos[(2n－1)π]＋cos2nπ}＝0，
cos2π＋cos4π＋…＋cos[(4n－2)π]＋cos4nπ＝2n，
所以T2n＝－2n，即数列{bn}的前2n项和为T2n＝－2n.
题后反思 数列和三角都是特殊的函数，都具有函数的某些性质.数列与三角函数的交汇主要体现在：一是利用三角函数的性质，如周期性、有界性等；二是利用三角函数的恒等变换，进行化简求值；三是利用数列的性质，如等差数列与等比数列的性质．
2
4
1
3
A. Sn既无最大值，又无最小值
B. 当且仅当n＝1时，Sn取得最小值
C. 当且仅当n＝8时，Sn取得最小值
D. n∈N*，Sn≥S7
D
2
4
1
3
2
4
1
3
A. 32 024－1 012 B. 32 024＋1 012
C. 31 012－1 012 D. 31 012＋1 012
B
2
4
1
3
2
4
3
1
3 [2025丰泽模拟]已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，若λan≥2log2an＋3对任意正整数n恒成立，则实数λ的取值范围是_________.
2
4
3
1
2
4
3
1(共52张PPT)
热点3 导数中的构造函数问题
导言 导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，常以选择题和填空题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
A
(－∞，－2)∪(0,2)
e2
4 [人教A版选必二P94练习T2]证明不等式：x－1≥lnx，x∈(0，＋∞)．
证明：由题设，要证x－1≥lnx，只需证x－1－lnx≥0.
由f′(x)＝0，解得x＝1，
所以当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)≥f(1)＝0，
即x－1－lnx≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，
故x－1≥lnx.
要点指引
1. 比较数值大小的常见方法：构造函数，利用函数单调性来比较函数值的大小．
3. 构造函数解决方程的解的个数或不等式证明问题的方法：
(1) 分离参数，利用导数求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与直线的交点个数问题或函数的最值问题，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用．
(2) 直接构造差函数，证明差函数恒大于零．
探究1 构造函数比较大小
1
B
本题与【基础活动】的第1题对比发现：两题均是数值型的大小比较问题，通过观察数值特征来构造适当的函数，利用导数法求函数的单调性来进行大小的比较．
D
B
题后反思
1. 此类比较大小的题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小．有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围．
2. 常用的构造方法：
①底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y＝ax的单调性；
探究2 构造函数解不等式
[2025辽宁月考]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0，＋∞)，且xf′(x)>(x－1)f(x)恒成立，f(3)＝e，则不等式(x＋4)f(x＋4)<3ex＋2的解集为( )
A. (－4，－1) B. (－1,1)
C. (－1,2) D. (－1，＋∞)
2
A
本题与【基础活动】的第2题对比发现：两题均是已知导函数的表达式，通过观察式子特征来构造适当的原函数，利用原函数的单调性来解不等式．
变式训练1 [2025复旦大学附中期中]已知函数f(x)是定义在区间(－4,4)上的偶函数，其图象如图所示，f(3)＝0.设f′(x)是f(x)的导函数，则关于x的不等式f(x＋1)·f′(x)≥0的解集是___________________.
(－4,0]∪[2,3)
B
题后反思
利用导数运算法则构造函数，由导数求得函数单调性，利用单调性解不等式．常见构造类型：
(1) 若条件是f′(x)g(x)＋g′(x)f(x)≥0，可构造F(x)＝f(x)g(x)，则F(x)单调递增．
(2) 若条件是f′(x)＋f(x)≥0，可构造F(x)＝exf(x)，则F(x)单调递增．
(3) 若条件是xf′(x)＋f(x)≥0，可构造F(x)＝xf(x)，则F(x)单调递增．
探究3 构造函数研究方程的解
已知曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在区间(0，＋∞)上有两个不同的交点，则实数a的取值范围为______________.
思路引导：本题考查利用导数研究函数的单调性．题干关键：两条曲线有两个不同的交点．由此联想到将函数转化为方程，令x3－3x＝－(x－1)2＋a，分离参数a，构造新函数g(x)＝x3＋x2－5x＋1，结合导数求得g(x)的单调区间，画出大致图象，数形结合即可求解．
3
(－2,1)
【解析】 令x3－3x＝－(x－1)2＋a，得a＝x3＋x2－5x＋1[防范失误①]．令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x>0)，则g′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)．令g′(x)＝0(x>0)，得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．又g(0)＝1， g(1)＝－2，所以作出g(x)的图象如图．因为曲线y＝x3－3x 与y＝－(x－1)2＋a在区间(0，＋∞)上有两个不同的交点， 所以y＝a与g(x)的图象有两个交点，所以a∈(－2,1)[防范 失误②].
A
C
【解析】 当x≥0时，f′(x)＝e1－x(1－x)，所以当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，且f(0)＝0，f(1)＝1，当x→＋∞时，f(x)→0.当x<0时，f(x)单调递减，所以f(x)的图象如图所示．令t＝f(x)，由图可知当t＝0或t＝1时，方程t＝f(x)有两个实数根；当t∈(0,1)时，方程t＝f(x)有三个实数根；当t∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，方程t＝f(x)有一个实数根．关于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a2－a＝0有四个不等的实数根，等价于关于t的方程t2－at＋a2－a＝0有两个实数根t1，t2，且t1＝0，t2＝1或t1∈(0,1)，t2∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
当t1＝0，t2＝1时，解得a＝1；不妨令h(t)＝t2－at＋a2－a，其图象是开口向上的抛物线，当t1∈(0,1)，t2∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，根据其根的分布，得h(0)h(1)＝(02－a×0＋a2－a)(12－a×1＋a2－a)<0，解得0题后反思 利用导数解决方程的解(函数零点)问题的方法：
(1) 直接法：先将方程转化为对应函数后求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用．
(2) 构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题．
(3) 参变量分离法：由f(x)＝0分离变量得出a＝g(x)，将问题等价转化为直线y＝a与函数y＝g(x)的图象的交点问题．
2
4
1
3
D
2
4
1
3
2
4
1
3
D
2
4
1
3
2
4
3
1
3 [2025湖北部分高中协作体三模]已知x0是方程2x2e2x＋lnx＝0的实根，则2x0＋lnx0＝______.
0
2
4
3
1
4 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为其导函数，若 x∈(0，＋∞)，f(x)>[f(x)－xf′(x)]·lnx，求不等式f(x)(ex－1－1)>0的解集．
2
4
3
1(共66张PPT)
热点6 圆锥曲线的新情境问题
导言 高考对圆锥曲线的考查，往往出现一些与其他知识交汇的题目，如与三角向量、数列、立体几何交汇等等，往往是以三角形或向量、数列、几何体作为辅助条件考查圆锥曲线的几何性质．
【解析】 由题意，得椭圆的焦点为(－1,0)，(1,0)，所以抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－4x.
A. y2＝4x B. y2＝－4x或x2＝4y
C. x2＝4y D. y2＝4x或y2＝－4x
D
2 已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)．若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是( )
A. 直线和圆 B. 直线和椭圆
C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线
C
3 [苏教版选必一P93习题3.1(2)T13改编]已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心
率为______.
要点指引
1. 双二次曲线问题：通常是指圆、椭圆、双曲线及抛物线中两类(或两类以上)曲线相互关联的问题．分清两类曲线的各自性质，如椭圆中a2＝b2＋c2；双曲线中c2＝a2＋b2，关注两类曲线的公共量是解决此类问题的关键．
2. 解析几何与数列的交汇问题：一是解析几何中的某些量成等差(比)数列问题；二是解析几何中的点列问题．
3. 以立体几何为背景的解析几何题：有些问题以几何体为背景，通过研究立体几何中点、线、面的位置关系或数量关系，从而转化为平面图形问题，在坐标系的基础上，判断动点的轨迹、求曲线的方程等．
探究1 双二次曲线
1
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) P是x轴上的定点，且∠APB＝90°.
①求点P的坐标；
②若△APB的外接圆被x轴截得的弦长为16，求外接圆的面积.
本题与【基础活动】的第1,4题对比，发现：三题均涉及双二次曲线的计算，在解答此类题时，准确理解题中所涉及的点的双重身份，明确所求问题所属的曲线类型是关键．
A
A
题后反思 有关双二次曲线的问题，一类是考查两个二次曲线(圆、椭圆、双曲线与抛物线)的位置关系，通常利用联立方程组处理，需注意检验，此时判别式不起作用；第二类是关于两个圆锥曲线的共焦点问题，通常P是两个圆锥曲线的公共点，故根据两个圆锥曲线的定义列方程组，解方程组即可求得PF1，PF2的值，进而求得相关量．
探究2 与数列交汇
已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，点P1(5,4)在双曲线C上，k为常数，02
(2) 证明：证法1 易得过点Pn(xn，yn)且斜率为k的直线为y＝k(x－xn)＋yn，
与x2－y2＝9联立，得x2－[k(x－xn)＋yn]2＝9，
展开，得(1－k2)x2－2k(yn－kxn)x－(yn－kxn)2－9＝0，
因为Pn(xn，yn)是直线y＝k(x－xn)＋yn和x2－y2＝9的公共点[防范失误①]，
故方程必有一根x＝xn，
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题均涉及圆锥曲线与数列交汇．此类题通常是通过n次操作得到n个点，求解的关键是根据第n＋1个点与第n个点的关系，建立点列坐标之间的递推关系，再利用数列知识求解．
(1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 用xn，yn表示点Qn－1的坐标；
(3) 求证：数列{2xn－yn}是等比数列．
题后反思 圆锥曲线与数列的交汇问题，多以圆锥曲线问题为解题主线，若涉及解析几何中的某些量成等差(比)数列问题，通常利用等差(比)中项的结论来求，如：k1，k2，k3成等差数列 k1＋k3＝2k2.若涉及解析几何中的点列问题，通常建立点列坐标之间的递推关系，再利用数列知识求解．
探究3 与立体几何交汇
3
D
思路引导：本题考查了椭圆的标准方程，棱锥的体积公式，利用导数求解最小值．解题关键：任意不与z轴平行或垂直的平面与曲面C截成的封闭曲线为椭圆．利用题意结合给定的定义得到椭圆方程，进而求出底面面积，最后利用棱锥的体积公式表示出体积，再利用导数求解最小值即可．
图1
图2
本题与【基础活动】的第3题对比，发现： 两题均涉及解析几何与立体几何交汇．从空间维数看，平面解析几何是二维的，立体几何是三维的，所以立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面(曲线)是空间中动点运动的轨迹．
变式训练 (多选)[2025衡水段测]在圆锥PO中，已知高PO＝2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，则下列说法中正确的是( )
ABD
图1
图2
图3
题后反思
圆锥曲线和立体几何交汇的问题的解题关键：第一、熟记相关定理和公式，只有准确记忆相关知识点，才能进行后续的解题步骤．第二、与各种交汇知识建立联系，这样可以借助已有的知识和解题经验来解决问题．第三、识别关键信息，正确进行推理，尤其是“立体问题平面化”．
2
4
1
3
B
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2 [2025长沙一中一模]用平面α截圆柱面，圆柱的轴与平面α所成的角记为θ，当θ为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家丹德林创立的双球模型证明了上述结论．如图，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于平面α的上方和下方，并且与圆柱面和平面α均相切，切点分别为F1，F2，则下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的是( )
A. 椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B. 椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距O1O2相等
C. 所得椭圆的离心率e＝cosθ
D
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
3
1
3 (多选)[2025宁波期末]胆式瓶创于南宋龙泉窑，康熙时期以郎红釉胆式瓶为贵．如图是18世纪的窑变红釉胆瓶，其优美的造型可看作图中曲线C的一部分．已知曲线C上的点到点(0,4)的距离与到y轴的距离之积为6，若曲线C上的点M(x0，y0)在第一象限，则下列结论中正确的是( )
C. 曲线C的内接矩形的面积最大值为24
D. 一个胆式瓶的剖面图可近似看作曲线C(0ABD
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
3
1(共61张PPT)
热点4 立体几何中的新情境问题
导言 立体几何中的新情景问题涉及内容较多，主要考查方式有：1.与数学文化相连的问题，高考中常以客观题形式呈现；2.与函数交汇，通过适当的方法求最值；3.与数列交汇，考查学生综合处理的能力.
1 [2025南昌二模]江西省博物馆中典藏的元青白釉印花双凤纹碗，高5.7cm，口径19cm，若将该碗的内表面近似于一个球面的一部分，则这个球的半径近似于( )
A. 9.6cm B. 9.8cm
C. 10.2cm D. 10.8cm
D
2 [2025广州模拟]如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体Oi(i＝1,2，…，8)，有1个以正方体中心为球心的球体O0，O0与Oi(i＝1,2，…，8)均相切，则该9部分的体积和的最大值为( )
C
3 (多选)已知三棱锥A－BCD的棱长均为3，其内有n个小球，球O1与三棱锥A－BCD的四个面都相切，球O2与三棱锥A－BCD的三个面和球O1都相切，以此类推，…，球On与三棱锥A－BCD的三个面和球On－1都相切(n≥2，且n∈N*)，球On的表面积为Sn，体积为Vn，则下列结论中正确的是( )
AD
要点指引 新情景下的立体几何解题，需与已知立体几何知识结合，灵活运用基本定理、性质等，在解题过程中合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题；同时要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象．
探究1 数学文化
[2025青岛期末]在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑A－BCD中，BC＝CD＝AB＝2，AB⊥平面BCD，则它的外接球半径与内切球半径的比值为( )
思路引导：本题考查三棱锥的外接球和内切球，割补法，等体积法．利用已知条件将三棱锥放入正方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解．
1
A
例1与【基础活动】的第1题对比，发现：两题都是数学文化题，利用生活中空间图形计算某个量，关键要抽象出某个空间图形，然后是基本量间的运算，实际难度不大．
变式训练 [2025青岛期末]蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由下面圆柱部分和上面圆锥部分组合而成，用毛毡覆盖其表面(底面除外)．其中圆柱的高为2m，底面半径为4m，圆锥的顶点到底面的距离是5m，则图中蒙古包所用毛毡的面积为( )
A. 15π m2 B. 20π m2
C. 30π m2 D. 36π m2
D
【解析】 由题意，得圆锥的高为3m，底面半径为4m，所以圆锥的母线长为5m，所以圆锥的侧面积为S＝π×4×5＝20π(m2)．又圆柱的高为2cm，所以圆柱的侧面积为S＝2π×4×2＝16π(m2)，所以蒙古包所用毛毡的面积为36πm2.
题后反思
在数学文化为背景下，以立体几何为载体的情景下，关键从题干、重要信息提炼分析，重点进行降维思考，即空间到平面，再到平面基本量，解析过程需规范，基本量要清楚，运算要准确．
探究2 与函数交汇
[2025沈阳三模]如图，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，且AD∥BC，ED＝2AF＝2，CD＝t(0(1) 求证：BF∥平面CDE；
(2) 当t＝2时，请将V表达为关于α的函数，并求该函数的最大值；
(3) 若平面EFB和平面EBC垂直，当α取得最大值时，求V的值．
2
思路引导：本题考查线面关系，利用几何法和向量法求多面体的体积．(1)观察图形，可将线面平行转化为证面面平行，即证平面ABF∥平面CDE；(2)V＝VE－ABCD＋VE－ABF，分别用含α的式子表示出VE－ABCD与VE－ABF即可；(3)在立体几何中用空间向量法求最值时，往往先引入一个变量，建立关系式，再确定函数式，最后用代数法求最值，解题时注意变量的取值范围．
(1) 证明：在梯形BCEF中，因为BF∥CE，
所以翻折后有AB∥DC，且AF∥ED.
因为AB 平面CDE，DC 平面CDE，
所以AB∥平面CDE，同理可得AF∥平面CDE，
因为AB∩AF＝A，AB 平面ABF，AF 平面ABF，
所以平面ABF∥平面CDE.
又因为BF 平面ABF，所以BF∥平面CDE.
(2) 解：在梯形BCEF中，因为∠CBF＝∠BCE＝90°，AD∥BC，
所以AD⊥CE，且AD⊥FB，
所以翻折后有AD⊥ED，AD⊥DC.
因为ED∩DC＝D，DE 平面CDE，CD 平面CDE，
所以AD⊥平面CDE，同理，AD⊥平面ABF.
由二面角E－AD－C的大小为α，得∠EDC＝∠FAB＝α.
如图1，过点E作CD的垂线，交直线CD于点H.
因为AD⊥平面CDE，HE 平面CDE，所以AD⊥EH.
因为AD 平面ABCD，DC 平面ABCD，AD∩DC＝D，
所以EH⊥平面ABCD，
即EH是四棱锥E－ABCD的高．
由题意，得ED＝2，CD＝t＝2，BC＝3－CD＝3－t＝1，
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：立体几何与函数的交汇，本质是“空间直观”与“代数推理”的结合．解题时需引入变量的技巧，可能是未知数也可能是三角函数；注意变量的取值范围，确保几何意义与代数运算一致．
图1 图2
①若M，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值；
②如图2，若P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点(与点B不重合)，当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值最大时，求线段BG的长．
又BD∩BC＝B，BD 平面BCD，BC 平面BCD，
所以AC⊥平面BCD.
又CD 平面BCD，所以AC⊥CD.
易知在Rt△ACD和Rt△ADB中，斜边AD的中点O到点A，B，C，D的距离相等，即AD为球O的直径，
以C为坐标原点，直线CB，CA分别为x轴，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
题后反思
1. 引入变量，建立函数，忽略定义域会导致求函数最值错误，建立函数后，需验证特殊值(如变量取端点时)是否符合几何事实，确保模型正确．
2. 有时在立体几何新情景下，求最值也可能用基本不等式、导数等工具来完成，关键是要尽可能选择最优方法，不能盲目解题．
探究3 与数列交汇
3
思路引导：本题考查立体几何与数列交汇，截面问题，证明线面垂直，确定数列中的最大项．作出截面易得该截面为矩形，即可得an.整理anbn的表达式，利用导数判断函数的单调性，可得数列的单调性，进而分析求得最大项．
变式训练 (多选)[2025抚顺期初]如图，在直三棱柱的两条棱上分别取点A1，A2，A3，…，An，An＋1，B1，B2，B3，…，Bn，Bn＋1，使得AjBj∥Aj＋1Bj＋1(j＝1,2,3，…，n)，且直线AjBj与直线Aj＋1Bj＋1之间的距离均为2，分别过直线AjBj作垂直于该三棱柱底面的截面，得到n个四棱柱．若该三棱柱的高为1，记A1B1＝a1，A2B2＝a2，则下列结论中正确的是( )
A. AjBj＝2a1＋(a2－a1)j
B. Aj＋1Bj＋1＝a1＋(a2－a1)j
C. 第j个四棱柱的体积为3a1－a2＋2(a2－a1)j
D. 前j个四棱柱的体积之和为2a1j＋(a2－a1)j2
BCD
题后反思 数列与立体几何的交汇命题常涉及数列的通项公式、求和公式与立体几何中的表面积、体积、空间位置关系等知识的结合．重点在于将立体几何问题转化为数列问题，或将数列问题转化为几何问题，通过转化简化问题．
2
1
3
D
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
3
1
2
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3
1
