高考数学二轮复习数列专题5数列中的函数特性课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
专题5　数列中的函数特性
导言　数列是特殊的函数，数列的函数特性是新高考考查的热点. 周期数列是一类常见的数列，其核心是枚举与归纳；判定单调性的方法主要有：函数法、作差法、作商法.利用函数的对称性结合等差数列的对称性的问题，解题方法的核心在于利用两者的对称性转化条件.
C
【解析】 因为对任意n∈N*，an>0，所以Sn＝Sn－1＋an>Sn－1，n≥2，即数列{Sn}为递增数列，故充分性成立；当数列{Sn}为递增数列时，Sn>Sn－1，n≥2，即Sn－1＋an>Sn－1，所以an>0，n≥2.当数列为－1，2，2，2，…，2时，不满足题意，故必要性不成立．故“对任意n∈N*，an>0”是“数列{Sn}为递增数列”的充分且不必要条件．
2 [人教A版选必二P9习题4.1T7改编]设数列{an}的前n项和为Sn，则“对任意n∈N*，an>0”是“数列{Sn}为递增数列”的(　 　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
A
3 [人教A版选必二P5例3改编]已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－18n＋5，则数列{an}中的最小项是(　 　)
A. 第四项 B. 第五项
C. 第六项 D. 第四项或第五项
D
【解析】 令an＝(n－3)2(n∈N*)，当1≤n≤2时，an＋1－an＝2n－5＜0，数列{an}满足递减；当n≥3时，an＋1－an＝2n－5＞0，数列{an}满足递增，即a1＞a2＞a3，a3＜a4＜…an，符合题意，所以当n＝3时，an取得最小值，符合题意．
4 已知数列{an}满足：①先递减后递增；②当n＝3时，an取得最小值.写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝_____________________.
(n－3)2(答案不唯一)
要点指引　判断数列的单调性的方法：
1. 函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性．因为n∈N*，所以若需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为(0，＋∞) 的函数，得到函数的单调性后再结合n∈N*得到数列的单调性．
2. 相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，常用的方法是作差(与0比较，从而转化为判断符号问题)或作商(与1比较，但要求是正项数列)．
重点1　周期性
　　　(多选)[2025启东联考]设周期数列{an}的前n项和为Sn，若Sn∈ {m，m－1，m＋1}，则m的取值可以为(　 　)
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
思路引导：本题考查数列的周期性．结合题意并考虑数列的特性，可知数列{an}在一个周期内的所有项的和为0，进而可求解m的取值．
1
ABC
【解析】因为数列{an}是周期数列，且Sn∈{m，m－1，m＋1}，所以数列{an}在一个周期内的所有项的和为0，假设周期为3，若a1＋a2＋a3≠0，则S3，S6，S9，S12，会逐渐增大或逐渐减小，不满足Sn∈{m，m－1，m＋1}，所以0∈{m，m－1，m＋1}，即m＝0或m－1＝0或m＋1＝0，解得m＝0或m＝1或m＝－1[防范失误①]．当m＝0时，Sn∈{0，－1，1}，存在周期为4的数列{an}的前4项为－1，1，1，－1，则{an}符合题意；当m＝1时，Sn∈{0，1，2}，存在周期为4的数列{an}的前4项为1，1，－1，－1，则{an}符合题意；当m＝－1时，Sn∈{－1，－2，0}，存在周期为3的数列{an}的前3项为－2，1，1，则{an}符合题意．故选ABC.
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：要确定数列的周期性，一般先写出几项，确定周期，再依据周期求解．　
变式训练1　[2025驻马店联考]对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 025的值为(　 　)
A. 7 590 B. 7 576
C. 7 584 D. 7 591
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3 7 5 9 6 1 8 2 4
D
【解析】 由题意，得x1＝1，x2＝f(x1)＝f(1)＝3，x3＝f(x2)＝f(3)＝5，x4＝f(x3)＝f(5)＝6，x5＝f(x4)＝f(6)＝1，…，则数列{xn}是周期为4的周期数列，故x1＋x2＋…＋x2 025＝506×(1＋3＋5＋6)＋1＝7 591.
变式训练2　[2025鄂州一模]设正整数数列{an}满足an＋2·an＋1·an＝10(n≥1)，a3＝5，则a623的值为__________.
1或2
题后反思　周期数列的常见形式：
1. 利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
2. 相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
3. 相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
重点2　单调性
　　　[2025海安中学月考]已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，n∈N*，则“k≥－1”是“{an}为递增数列”的(　 　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
思路引导：本题考查数列的单调性．当k≥－1时，an＋1－an>0，则充分性成立；由数列的单调性可知an＋1－an>0，易得k>－(2n＋1)，即k>－3，则必要性不成立．
2
A
【解析】 当k≥－1时，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k≥2n>0，故数列{an}为递增数列，即充分性成立；当数列{an}为递增数列时，an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－n2－kn＝2n＋1＋k>0，所以k>－(2n＋1)恒成立．又[－(2n＋1)]max＝－(2×1＋1)＝－3[防范失误②]，所以k>－3，所以必要性不成立．故“k≥－1”是“{an}为递增数列”的充分且不必要条件．
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：都是对数列单调性的判断，一般结合相邻项的关系，得到关于参数和n的不等量关系式，再通过分离参数求出参数的范围．　
ABD
题后反思　判断数列的增减性的方法：
1. 作差法：将an＋1－an与0进行比较．
3. 函数性质法：利用对应函数在区间(0，＋∞)上的单调性，判断数列的增减性．
重点3　对称性
3
D
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：都是考察数列中的对称性问题，通过项的对称来求解．　
【解析】 因为f(x)＝(x－3)3＋x－1＝(x－3)3＋(x－3)＋2，所以f(x)的图象关于点(3，2)对称.又f′(x)＝3(x－3)2＋1>0，所以f(x)在R的单调递增.又f(a1) ＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14＝7×2，所以a1＋a2＋…＋a7＝7×3＝21.
变式训练　设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，且f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝________.
21
题后反思　等差数列与函数对称性的常用性质：
1. 若y＝f(x)为定义在R上的奇函数，且在R上为单调函数，则
(1) f(x1)＋f(x2)＝0 x1＋x2＝0；
(2) 若{an}为等差数列，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)＝0 a1＋a2＋…＋an＝0；
2. 若y＝f(x)为R上为单调函数，且关于点(a，b)对称，则
(1) f(x1)＋f(x2)＝2b x1＋x2＝2a；
(2) 若{an}为等差数列，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)＝nb a1＋a2＋…＋an＝na.
2
4
1
3
1 已知函数f(x)为R上单调递增的奇函数，数列{an}为等差数列，且a3>0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值(　 　)
A. 恒为正数 B. 恒为负数
C. 恒为0 D. 可正可负
【解析】 因为函数f(x)为R上单调递增的奇函数，且a3>0，所以f(a3)>0.又a1＋a5＝2a3>0，所以a1>－a5，所以f(a1)>f(－a5)＝－f(a5)，即f(a1)＋f(a5)>0，所以f(a1)＋f(a3)＋f(a5)>0.
A
2
4
1
3
C
2
4
1
3
2
4
3
1
A. 数列{an}有最小项，没有最大项
B. 满足an∈Z的项共有6项
C. 满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有7个
D. 使Sn取得最小值的n的值为7
BD
2
4
3
1
2
4
3
1
4 725或4 746
2
4
3
1
【解析】 因为a5＝1，所以a4＝2，a3＝4，则a2＝1，a1＝2或a2＝8，a1＝16.若a1＝2，a2＝1，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝4，…，则数列{an}是周期数列，其周期为3，所以S2 025＝675×(2＋1＋4)＝4 725；若a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝4，…，则数列{an}从第4项开始an的值成周期变化，其周期为3，所以S2 025＝16＋8＋4＋674×(2＋1＋4)＝　4 746.