高考数学二轮复习数列专题7等差、等比数列的证明课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
专题7　等差、等比数列的证明
导言　与等差数列和等比数列相关的问题是高考的热点问题，而有关证明、判定数列是等差(比)数列更是其中的难点. 证明等差(比)数列的主要方法是等差(比)数列的定义及等差(比)中项性质的灵活运用.
1 (多选)[苏教版选必一P181复习题T3改编]对任意数列{an}，下列说法中一定正确的有(　 　)
C. 若数列{an}是正项等比数列，则数列{lgan}是等比数列
D. 若数列{an}是正项等比数列，则数列{lgan}是等差数列
AD
an＝
an＝n
要点指引
1. 若对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数，则数列{an}为等差数列．
重点1　定义法
1
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：要判断一个数列是否为某一特定数列(等差数列、等比数列、等差比数列或其他)，主要依据是该特定数列的定义．注意在商式关系中分母不为零的限制．　
变式训练　已知数列{an}的各项均不为0，其前n项和为Sn，q为不等于0的常数，且Sn＝qSn－1＋a1(n≥2)．
(1) 求证：数列{an}是等比数列；
(2) 若S5，S11，S8成等差数列，则对于任意的正整数t，at＋5，at＋11，at＋8是否成等差数列？若成等差数列，请予以证明；若不成等差数列，请说明理由．
(1) 证明： 因为Sn＝qSn－1＋a1(n≥2)，
所以Sn＋1＝qSn＋a1(n≥1)，
即数列{an}是公比为q的等比数列．
(2) 解：对任意正整数t，at＋5，at＋11，at＋8成等差数列，证明如下：
由S5，S11，S8成等差数列，得q≠1，且2S11＝S5＋S8，
化简，得2q6－q3－1＝0，即2q6＝q3＋1.
因为at＋5＋at＋8＝atq5＋atq8＝atq5(1＋q3)，2at＋11＝2atq11＝atq5×2q6＝atq5(1＋q3)，
所以at＋5＋at＋8＝2at＋11，
故对于任意的正整数t，at＋5，at＋11，at＋8成等差数列．
题后反思
1. 等差数列的定义法证明步骤：一是计算相邻两项的差：对于给定的数列{an}，计算an＋1－an的值，其中n为任意正整数；二是判断差值是否为常数：如果an＋1－an的值对于所有的n都相等，即为一个常数d，那么该数列就是等差数列．
重点2　中项法
　　　在数列{an}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为dk.
(2) 若dk＝2k，求证：a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列(k∈N*)．
2
证明：(1) 因为a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，
所以2a2k＝a2k－1＋a2k＋1.
(2) 因为a2k－1，a2k，a2k＋1成公差为2k的等差数列，
所以a2k＋1－a2k－1＝4k，
所以a2k＋1－a1＝(a2k＋1－a2k－1)＋(a2k－1－a2k－3)＋…＋(a3－a1)＝4k＋4(k－1)＋…＋4＝2k(k＋1)，
即a2k＋1＝2k(k＋1)，
故a2k＝a2k＋1－2k＝2k2，a2k＋2＝a2k＋3－2(k＋1)＝2(k＋1)2，
故a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列．
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：都有考察利用定义或等比中项来判断等比数列， 注意各项均不为0.　
由②－①，得(n－1)an＋1＝nan，③
则nan＋2＝(n＋1)an＋1，④
由③＋④，得2nan＋1＝nan＋nan＋2，
所以2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}是等差数列．　
又a1＝0，a2＝1，所以公差d＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝n－1.
题后反思
1. 等差数列的四个判定方法：
(1) 定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数；
(2) 等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2；
(3) 通项公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常数)；
(4) 前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)．
2. 等比数列的四个判定方法：
(3) 通项公式法：得出an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)；
(4) 前n项和公式法：得出Sn＝k·qn－k(k是不为0的常数，q是不为0，1的常数)．
注意：(1) 定义法和等差(比)中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．
(2) 若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定存在连续三项不成等差(比)数列即可，可用特值法．
2
4
1
3
1 [2025通州模拟]已知{an}是无穷数列，a1＝1，则“对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an”是“{an}是等差数列”的(　 　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
A
2
4
1
3
【解析】 因为对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an，令m＝1，可得an＋1＝a1＋an，即an＋1－an＝a1＝1，所以{an}是等差数列，故充分性成立；若{an}是等差数列，不妨取an＝2n－1，则am＋n＝2(m＋n)－1，am＋an＝2m－1＋2n－1＝2(m＋n)－2≠am＋n，故必要性不成立，综上，“对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an”是“{an}是等差数列”的充分且不必要条件．
2
4
1
3
2
4
3
1
3 [2025浙江名校协作体模拟]已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4，则an－bn＝____________.
【解析】 因为4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4，两式相减，得4(an＋1－bn＋1)＝3(an－bn)＋an－bn＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2，所以(an＋1－bn＋1)－(an－bn)＝2.又a1－b1＝1，所以数列{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列，故an－bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.
2n－1
2
4
3
1
4 已知正整数λ，μ为常数，且λ≠1，无穷数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn，且对任意正整数n，Sn＝λan－μ恒成立. 证明无穷数列{an}为等比数列，并求λ的值．
证明：因为Sn＝λan－μ，所以当n≥2时，Sn－1＝λan－1－μ，
两式相减，得an＝λan－λan－1.
所以数列{an}为等比数列．
因为无穷数列{an}的各项均为正整数，