高考数学二轮复习三角函数、解三角形与平面向量专题4平面向量的基本运算及应用课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
专题4　平面向量的基本运算及应用
导言　高考中关于平面向量知识点，重点考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，考查平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档，熟悉数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力．
A
D
3 [2025上海卷]已知a＝(2,1)，b＝(1，x)．若a∥b，则x＝______.
4 [人教A版必修二P21例13改编]已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．若向量a＋kb与a－kb互相垂直，则k＝________.
要点指引
1. 如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)共线，那么存在唯一的λ，使a＝λb成立或x1y2－x2y1＝0.
2. 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则
(1) a·b＝x1x2＋y1y2；
重点1　平面向量的线性运算
　　　[2025学军中学期中]如图，点G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点(可以与端点重合)，且P，G，Q三点共线．
1
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题均涉及用基底表示向量，解题时要注意适当选择向量所在的三角形或其他平面图形，寻找已知向量和未知向量的关系．　
－15
题后反思　用基底表示向量的两种方法：
1. 线性运算法：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止. 解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平面图形，找到已知向量和未知向量的关系．
2．待定系数法：首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式，然后通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求待定系数．
重点2　平面向量的坐标运算
　　　[2025如东高级中学月考]已知向量a＝(1,2)，b＝(－3，k)．
(1) 若a∥b，求|a＋b|的值；
(2) 若a⊥(a＋2b)，求实数k的值；
(3) 若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
思路引导：本题考查平面向量的坐标运算，两向量的位置关系．(1) 根据向量平行的坐标运算公式可求得k＝－6，进而求出结果；(2) 根据向量垂直的坐标运算公式即可得出答案；(3) 由题意分析得到a·b＜0且a与b不共线，结合(1)利用相关坐标即可求得结果．
2
解：(1) 因为向量a＝(1,2)，b＝(－3，k)，a∥b，
所以1×k－2×(－3)＝0[防范失误①]，解得k＝－6，
(3) 因为a与b的夹角是钝角，
所以a·b＝－3＋2k＜0且a，b不共线，
即k＜且k≠－6[防范失误②]，
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题均利用向量关系进行坐标运算，根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，注意公式的正确运用．　
变式训练　[2025菏泽中学期中]已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)．
(1) 当λ为何值时，|c|最小？
(2) 当λ为何值时，c与a的夹角最小？
解：(1) 因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb，
所以c＝(1－3λ，2＋4λ)，
(2) 设c与a的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
要使θ最小，则需cos θ最大，
显然cos θ的最大值为1，此时θ＝0，即c与a共线同向．
由(1)的向量坐标可得1×(2＋4λ)＝2(1－3λ)，解得λ＝0.
故当λ＝0时，c与a的夹角最小．
题后反思　向量的坐标运算可类比数的运算进行. 要正确使用数量积公式a·b＝x1x2＋y1y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，及向量的垂直与平行的判定，并注意与函数、方程等知识的联系．
重点3　向量的数量积及其应用
(1) 若a⊥b，求向量b的坐标；
(2) 若c为单位向量，a，b，c经过平移，可以平移到同一平面内，且三个向量两两之间的夹角相等，求|a＋b＋c|.
3
(2) 若c为单位向量，a，b，c经过平移，可以平移到同一平面内，且三个向量两两之间的夹角相等[防范失误②]，
则当三个向量两两之间的夹角为0时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝2＋3＋1＝6[防范失误③]；
变式训练　(多选)[2025天一中学月考]已知向量a＝(－3,1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是(　 　)
AC
题后反思
1. 由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围是[0，π]．
2. 利用基底计算数量积时，要注意选择恰当的基底，常用已知的向量作基底．
3. 数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义．
4. 可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算．
2
4
1
3
1 [2025西宁二模]已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,1)，则a在b上的投影向量为(　 　)
D
2
4
1
3
2 [2025全国一卷]帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位m/s)，则真风为(　 　)
A. 轻风 B. 微风
C. 和风 D. 劲风
等级 风速大小 名称
2 1.6～3.3 轻风
3 3.4～5.4 微风
4 5.5～7.9 和风
5 8.0～10.7 劲风
A
2
4
1
3
2
4
3
1
3 (多选)已知平面向量a＝(m，m＋2)，m∈R，b＝(3,4)，则下列说法中正确的是(　 　)
A. a，b一定可以作为一个基底
B. |a|一定有最小值
C. 一定存在一个实数m使得|a＋b|＝|a－b|
D. a，b的夹角的取值范围是[0，π]
BC
2
4
3
1
2
4
3
1
4 [2025菏泽二模]已知向量a＝(1，－1)，b＝(－3，1)．若ka＋b与a－b垂直，则实数k的值为______.