课件30张PPT。空间向量及其加减与数乘运算复习回顾：平面向量1、定义：既有大小又有方向的量。2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则3、平面向量的加法、减法与数乘运算律推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量。F1F2F1=10NF2=15N平面向量概念加法
减法
数乘
运算运
算
律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律CABD平面向量概念加法
减法
数乘
运算运
算
律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律OABC空间向量的数乘空间向量的加减法OAB结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用
同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有
关结论仍适用于它们。平面向量概念加法
减法
数乘
运算运
算
律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则数乘:ka,k为正数,负数,零加法结合律成立吗？加法结合律：OABCOABC推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量。例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCD平行六面体：平行四边形ABCD平移向量
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.记做ABCD-A1B1C1D1例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量。(如图)GM 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量F1F2F1=10NF2=15NF3=15N例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。ABMCGD练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简ABMCGD(2)原式练习1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简ABCDDCBA练习2在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.EABCDDCBA练习2E在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.ABCDDCBA练习2E在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.平面向量概念加法
减法
数乘
运算运
算
律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律小结类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零作业思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.OAB结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用
同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有
关结论仍适用于它们。思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？课件22张PPT。共线向量与共面向量
一、共线向量:零向量与任意向量共线. 若P为A,B中点, 则例1 已知A、B、P三点共线，O为空间任
意一点，且 ，求 的值. 例2 用向量的方法证明：顺次连结空间四边形各边中点所得的四边形为平行四边形。1.下列说明正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：
A.平面内的任意两个向量都共线
B.空间的任意三个向量都不共面
C.空间的任意两个向量都共面
D.空间的任意三个向量都共面3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
A.若 ，则P、A、B共线
B.若 ，则P是AB的中点
C.若 ，则P、A、B不共线
D.若 ，则P、A、B共线5.设点P在直线AB上并且
，O为空间任意一点，求证： 二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量
不共线,则向量 与向量 共面的充要
条件是存在实数对 使 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使
或对空间任一点O,有
例3 对空间任意一点O和不共线的三点
A、B、C，试问满足向量关系式
（其中 ）的四点P、A、B、
C是否共面？例4 已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，
点P是否与A、B、M一定共面？例5 如图，已知平行四边形ABCD，从平
面AC外一点O引向量 , ,
, ,求证：
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC。
2.对于空间中的三个向量
它们一定是：
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线又不共面向量3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任
意一点O， ,则x
的值为：4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点
O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？5. 课本第31页 练习 1、2。三、课堂小结：
1.共线向量的概念。
2.共线向量定理。
3.共面向量的概念。
4.共面向量定理。课件21张PPT。空间向量的数量积运算教学过程一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义2）两个向量的数量积注意：
①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于零。
3）射影注意： 是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数，
它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代表
在l上射影的长度。4)空间向量的数量积性质 注意：
①性质2）是证明两向量垂直的依据；
②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量 ，有：5)空间向量的数量积满足的运算律 注意：二、 课堂练习三、典型例题 例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥?分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。l要证l与g垂直，只需证l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0而l·m＝0 ，l·n＝0故 l·g＝0三、典型例题 例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥?证明：在?内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向
量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理
可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使
g=xm+yn,
l·g=xl·m+yl·n
∵ l·m=0,l·n=0
∴ l·g=0
∴ l⊥g
∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面?内的任一条直线，所以l⊥?
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理例3 如图，已知线段 在平面 内，线段
，线段 ，线段 ， ，如
果 ，求 、 之间的距离。解：由 ，可知 .
由 知 .
例4 已知在平行六面体 中， ,
,
求对角线 的长。解：1.已知线段 、 在平面 内， ，线段
，如果 ，求 、 之间的距离.解：∵2.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于
，点 分别是边 的中点。
求证： 。同理，3.已知空间四边形
，求证： 。证明：∵4.如图，已知正方体 ， 和 相交于
点 ，连结 ，求证： 。已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 ,
点 分别是 的中点，求下列向量的
数量积：
作业讲评1．正确分清楚空间向量的夹角。
作业：P106 4，2．两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。
再见！再见！再见！课件7张PPT。3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示一、空间直角坐标系二、向量的直角坐标系三、向量的直角坐标运算. 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。四、练习与例题：1、练习：课本P102. 1、2、3；
2、例题：课本P101. 例4
3、练习：课本P102. 3作业：课本P42：习题3.1 4课件15张PPT。2019/3/103.1.5空间向量运算的坐标表示2019/3/10一、向量的直角坐标运算2019/3/10二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。2019/3/10在空间直角坐标系中，已知 、
，则（2）空间两点间的距离公式2019/3/102.两个向量夹角公式注意：
（1）当 时， 同向；
（2）当 时， 反向；
（3）当 时， 。思考：当 及 时，
的夹角在什么范围内？2019/3/10练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离：2019/3/10三、应用举例例1 已知 、 ，求：
（1）线段 的中点坐标和长度； 解：设 是 的中点，则∴点 的坐标是 . 2019/3/10（2）到 两点距离相等的点 的
坐标 满足的条件。解：点 到 的距离相等，则化简整理，得即到 两点距离相等的点的坐标 满
足的条件是2019/3/10例2 如图，在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值。 解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 ，则 2019/3/10例2 如图，在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值。 2019/3/10练习二：2019/3/10练习三：2019/3/10思考题：2019/3/10四、课堂小结：1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。2019/3/10Homework:P107：1课件14张PPT。2019/3/10线线角复习线面角二面角小结引入3.2
利用向量解决
空间角问题2019/3/10线线角复习线面角二面角小结引入 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。2019/3/10数量积： 夹角公式： 线线角复习线面角二面角小结引入2019/3/10异面直线所成角的范围： 思考：结论：线线角复习线面角二面角小结引入2019/3/10例一：线线角复习线面角二面角小结引入2019/3/10解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以：所以 与 所成角的余弦值为2019/3/10练习：在长方体 中，2019/3/10题型二：线面角直线与平面所成角的范围： 思考：结论：线线角复习线面角二面角小结引入2019/3/10例二：在长方体 中，线线角复习线面角二面角小结引入2019/3/10练习：
的棱长为1.正方体线线角复习线面角二面角小结引入2019/3/10二面角的范围：关键：观察二面角的范围线线角复习线面角二面角小结引入2019/3/102019/3/10设平面2019/3/10小结：1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角：关键：观察二面角的范围课件15张PPT。2019/3/10空间向量在立体几何中的应用2019/3/10利用向量判断位置关系 利用向量可证明四点共面、线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问题，其方法是通过向量的运算来判断，这是数形结合的典型问题2019/3/10 例1、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1C1D1EF2019/3/10评述：此题用综合推理的方法不易入手。用向量代数的方法则先证明线线垂直，再由线线垂直来证明线面垂直，从而证得面面垂直.证明面面垂直的原理是一致的，只不过是证明的手段不同
利用向量解几何题的一般方法是：把线段或角转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，通过向量运算去计算或证明2019/3/10利用向量求空间角 利用向量可以进行求线线角、线面角、面面角，关键是进行向量的计算2019/3/10 例2、空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求AD与BC所成的角2019/3/10注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关系：相等或互补
求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示，本题正遵循了这一规律
本题多次运用了封闭回路评述：2019/3/10利用向量求空间距离 空间距离是一种重要的几何量，利用常规方法求距离，需要较强的转化能力，而用向量法则相对简单2019/3/10 例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C与平面A1BC1的距离A1B1C1D1ABCD2019/3/10评述：此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解决立体几何问题的优越性
平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离2019/3/10(1)、求CD的长(2)、CD与AB所成的角练习：2019/3/10练习：ABCDA1B1C1D1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心 （1）求证：B1O3⊥PAO3PO2O12019/3/10练习：ABCDA1B1C1D1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心 O3P （2） 求异面直线PO3与O1O2成的角O2O12019/3/10小 结本堂课的学习重点是用向量代数的方法解决立体几何问题，但在学习中应把几何综合推理与向量代数运算推理有机结合起来
向量代数推理是更加精练，严密的推理，每一步都要根据运算法则进行
学习过程中应善于“前思后想”，提炼方法，开拓思路2019/3/10谢谢，再见课件27张PPT。x知识基础：平面向量的数量积公式、夹角公式，空 间向量的坐标表示,空间向量的数量积.
本节内容：空间向量的夹角公式，用空间向量求立 体几何中异面直线的夹角.
后续内容：向量在数学、物理上的综合运用.教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价 用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.地位作用教学重点： 1)空间向量夹角公式及其坐标表示；
2)选择恰当方法求两异面直线的夹角. 关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量
的坐标,将几何问题转化为代数问题. 教学难点：
1)两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹 角之间的区别；
2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出
点的坐标及向量的坐标.教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价重点难点知识目标 :
掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；
提高学生选择恰当的方法求异面直线夹角的技能. 情感目标：
激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；
感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.能力目标：
培养学生观察分析、类比转化的能力；
体验从 “定性” 推理到“定量” 计算的转化，提高分析 问题、解决问题的能力. 教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价教学方法：启发式讲解 互动式讨论
研究式探索 反馈式评价教学手段：借助多媒体（几何画板、实物
投影、幻灯片等）辅助教学教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价学习方法：自主探索 观察发现
类比猜想 合作交流以问题为载体，学生活动为主线探索、类比、猜想、发现并获得新知知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序 学生活动--复习回顾知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序 知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序 平面内两个向量的夹角公式： 问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式 的形式有什么变化？学生活动--类比推广知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序已知平面内两个非零向量，
求下列两个向量夹角的余弦值
（1） ，
（2） . 学生活动--及时巩固知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序 例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
，求BE1与DF1所成角
的余弦值. 例
题
讲
解知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序理
解
掌
握巩
固
提
高 方法小结① 几何法知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例
题
讲
解理
解
掌
握巩
固
提
高 ② 向量法质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么 区别？如何转化为本题的几何结论?本题的几何结论：异面直线BE1与DF1夹角的余
弦值为 .方法小结① 几何法知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例
题
讲
解理
解
掌
握巩
固
提
高 小结评价 问题3：利用向量法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么？(1) 恰当的构建空间直角坐标系；
(2) 正确求得所对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积；
(3) 代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值；
(4) 根据题意，转化为几何结论.知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序 方法小结① 几何法② 向量法 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M是AB的中点,求对角线DB1与CM所 成角的余弦值.题组练习一知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例
题
讲
解理
解
掌
握巩
固
提
高 问题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间 直角坐标系？ 例2.如图，在几何体B1-A1BC1，已知E、F分别是A1B 和BC1的中点，求异面直线B1E与A1F的夹角. 知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例
题
讲
解理
解
掌
握巩
固
提
高 1.设点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1)异 面直线OA与BC夹角为θ，则θ的值为 （ ） A.60oB.120oD.240oC.-60o 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,请用恰当的方法求异面直线AC与BD1所成的角. 必做题：题组练习二知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例
题
讲
解理
解
掌
握巩
固
提
高 选做题：沿着正方体ABCD -A1B1C1D1对角面A1BCD1 去截正方体,得到一个新的几何体D1CC1-A1BB1，E,F分别是A1D1,D1C1的中点，求异面直线BE与A1F所成的角．题组练习二知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序例
题
讲
解理
解
掌
握巩
固
提
高 鼓励学生选择不同的解题方法，培养 学生创新思维；
为学习能力不同的学生提供广阔的空 间；
体现学生的主体地位，发展学生的个性；
培养学生分工协作的能力，善于分析， 乐于探索的钻研精神.设计意图知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序 值得注意的：
将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标；
理解异面直线夹角与空间向量夹角的区别；
选择恰当的方法求夹角，向量法并不是求
夹角的唯一途径，不是最佳途径.反馈评价值得肯定的：
勇于思考、积极探索；
分工协作、合作交流.知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序 （1）空间向量的夹角公式及其坐标表示;
（2）异面直线的夹角与向量的夹角的区别;
（3）恰当选择几何法或向量法求两条异面直线的夹 角.
（4）掌握类比猜想的方法,将平面向量的夹角公式推 广到空间,将几何问题转化为代数问题,提高类比 转化的能力.知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序 感受?理解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与 D1N所成角的正弦值.知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序 思考?运用：已知正三棱柱(地面为正三角形,侧棱与底面垂直) ABC-A1B1C1中，底面边长为2,求异面直线AB1与BC所成的角.探究?拓展：利用向量法是否可以求直线与平面所成的角，二面角,点到平面的距离，两异面直线的距离等其它空间夹角或距离的问题?知识运用小结作业创设情境建构数学教学程序教学中，以问题为载体，学生活动为主线;
将复杂的几何问题转化为代数问题,具有相当的优
越性,恰当选择,合理运用;
通过学生参加活动是否积极主动,能否与他人合作
探索,对学生的学习过程评价;
通过学生对方法的选择,对学生的学习能力评价;
通过题组练习、课后作业,对学生的学习效果评价.
教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价 应用领域 应用领域 课题引入 例1 题组练习一
空间向量的夹角
夹角公式
题组练习二
例2
一般方法 几何法、向量法 巩固作业
一般步骤板书设计
