高考数学二轮复习立体几何专题15空间几何体的表面积与体积课件(共51张PPT)

(共51张PPT)
专题15　空间几何体的表面积与体积
导言　空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，主要考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力以及运用有关知识和方法分析和解决问题的能力．几何体的表面积与体积和多个几何体结合是主要的命题形式，有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想.在复习时，不仅要对空间几何体的基本结构了如指掌，还应加强求几何体表面积和体积的多种方法训练．
D
2　[2025永胜一中期初]已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A. 36π B. 64π
C. 144π D. 256π
C
3　[2025郧阳二中期初]某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为100π，则该圆台的体积为(　　)
A. 184π B. 208π
C. 224π D. 248π
C
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要点指引
(1) 多面体的面积和体积公式
表中S表示面积，c′，c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长．
(2) 旋转体的面积和体积公式
表中l，h分别表示母线、高，r表示圆柱与圆锥的底面半径，r1，r2分别表示圆台的上、下底面半径，R表示球的半径．
重点1　多面体的表面积与体积
如图，在五面体ABC－DEF中，AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　)
1
C
思路引导：本题考查多面体的体积计算．题干关键：在解决不规则几何体的体积问题时，常采用补形法或分割法．观察图中的五面体，可将其补成一个三棱柱，求出其直截面，再利用体积公式求解或将其分割成几个易求解的几何体，分别求出体积，最后相加．
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：虽然两题考查的几何体形状不同，但是本质都是与棱柱有关．虽然例1情境略显抽象，但只需要回归数学本质，可通过特殊化几何体，即补一个直三棱柱，再通过“割补法”，就可以将复杂的几何问题简单化．　
变式训练　[2025河北部分学校摸底]如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为(　　)
A. 8 B. 12
C. 24 D. 48
C
题后反思
1. 求空间几何体的表面积的常用方法
公式法 规则的几何体的体积，直接代入公式求解
割补法 不规则的空间几何体，将其进行合理的拼补、切割，转化为多个规则的简单空间几何体
比值
转化法 结合空间几何体中的相关元素，如半径、母线、侧棱等之间的比值关系来确定与之对应的表面积的比值
特殊
位置法 根据题意和图形，找到一些特殊的位置，将复杂的问题简单化；对于较为复杂的选择题、填空题，或难以求得几何体的表面积问题，可采用特殊位置法，将一些不确定、移动的点放置在图形中的特殊位置上，如中点、端点、垂点、中心、边缘处的点等，通过讨论点在特殊位置的几何体的表面积和体积，求得问题的答案.
2. 求空间几何体的体积的常用方法
公式法 规则的几何体的体积，直接代入公式求解
补形法 将不规则的几何体补成规则的几何体
分割法 将不规则的几何体分割成易求解的几何体
等体
积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
重点2　旋转体的表面积与体积
2
B
思路引导：本题考查圆锥的侧面展开图与圆锥的关系以及圆锥体积的计算．解题的关键在于根据圆锥侧面展开图的性质求出圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式进行计算．
A
本题与【基础活动】第1题对比，发现：均为几何体的体积问题，考查几何体的体积公式及侧面积公式．【基础活动】第1题的关键是确定多面体的结构，再利用体积公式求解，例题关键是掌握两类几何体(圆柱和圆锥)侧面积公式，求出特征量半径的值后再求出圆锥的体积．　
题后反思　求解旋转体的表面积、体积，从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后求和或作差；求体积时也要先弄清各组成部分，求出各个简单几何体的体积，再求和或作差．
重点3　空间几何体的表面积、体积的最值问题
3
B
思路引导：本题考查圆锥侧面积的最值问题．题干关键：制作一个圆锥形的无盖容器，所用材料指的是该圆锥的侧面积；影响圆锥形状的是圆锥的高和底面半径，所以引入圆锥的高与半径作为变量，可列出圆锥的侧面积表达式，此时表达式中包含2个变量；利用圆锥的体积公式得出高与半径的等式关系，再消元转化得出侧面积的函数表达式．求最小值的方法：①利用三元均值不等式求最小值；②利用导数研究函数的单调性，可求得最小值．
本题与【基础活动】第2题对比，发现：均为最值问题，【基础活动】第2题是利用几何性质得到最值，例题是通过函数关系得到最值．　
变式训练　如图，已知一个圆锥的底面半径为1dm，高为3dm，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个 正三棱柱的体积的最大值为______dm3.
题后反思　解决空间几何体体积和表面积的最值与范围类问题一般可从三个方面思考：
一是构建函数法，分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，求出最值；
二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量(两个变量之间有等量关系)，则可以利用基本不等式处理；
三是几何法，根据几何体的结构特征，通过证明或几何作图，变动态为静态，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算最值．
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C
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2　[2025天水二中七检]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，则V1∶V2等于(　　)
A. 1∶1 B. 4∶3
C. 6∶5 D. 7∶5
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