高考数学二轮复习立体几何微专题11与球有关的问题课件(共59张PPT)

(共59张PPT)
微专题11　与球有关的问题
导言　空间几何体的外接球与内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，解决此类问题的关键是确定球心与半径，一般通过对几何体进行割补或通过轴截面来解决球的相关问题，内切球半径也可利用等体积法求解.
D
B
B
C
要点指引
1. 正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2. 长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3. 补成长方体求外接球的常考模型
(1) 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
(2) 若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
图1　 　　图2
图3　 　 　图4
4. 规则几何体(正棱锥、正棱柱等)的内切球半径一般通过等体积求解；圆锥的内切球半径一般转化为轴截面的内切圆半径问题；圆柱的内切球半径即为圆柱底面半径，也是高的一半；正方体的内切球半径为棱长的一半；一般几何体优先等体积法求解，也可建立坐标系，设球心坐标，再利用距离公式列方程求解．
难点1　外接球
已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，则三棱柱ABC－A1B1C1外接球的体积为(　　)
1
B
思路引导：本题考查三棱柱外接球问题．题干关键：由外接球的定义，得球心到直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点的距离都相等．解决此类问题的方法是：①找出上、下底面的外心，分别记为O1，O2；②确定球心的位置：线段O1O2的中点；③通过解三角形的相关知识计算求外接球的半径．
本题与【基础活动】第1、2题对比，发现：都属于多面体的外接球问题，侧棱垂直于底面，底面有直角，可以补成长方体更容易求解；正四面体的外接球半径是其高的四分之三；例1为直三棱柱的模型，根据其外接球球心到每个顶点的距离相等求解是解决此类问题的一般方法．　
10π
A
题后反思
求空间多面体的外接球半径的常用方法：
(1) 补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
(2) 定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
难点2　内切球
　六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球的表面积为(　　)
2
D
思路引导：本题考查多面体内切球问题．题干关键：由内切球的定义，得球心到正八面体的八个面的距离都相等．解决此问题的方法是：①确定球心的位置：找出正方形ABCD的中心O，结合正四棱锥的几何性质可知，点O到正四棱锥的4个侧面的距离都相等，即为所找的内切球的球心；②确定内切球的半径，即点O到平面PBC的距离．
本题与【基础活动】第3题对比发现：都属于几何体的内切球问题，第3题为旋转体，一般利用轴截面转化为内切圆半径问题，再利用平面几何知识相似或等面积得到等量关系进行求解；例2为特殊的多面体，利用正八面体的几何特征求解内切圆半径是关键．　
B. 底面边长为1，高为0.8的正三棱柱
C. 直径为0.8的球体
D. 底面直径为0.5，高为0.9的圆柱体
BCD
题后反思
求空间多面体的内切球半径的常用方法：
(1) 截面法：旋转体(圆锥、圆柱)通过轴截面将立体问题转化为平面问题来处理；
(2) 等体积法：这是通法，尤其是多面体，如三棱锥、四棱锥，将整体体积分割成以各面为底、球心为顶点的若干个小棱锥体积之和．
难点3　与球有关的最值问题
3
思路引导：本题考查三棱锥外接球体积的最值问题．题干关键：求外接球体积的最小值，即求外接球半径的最小值．由外接球的定义，得球心到三棱锥P－ABC的4个顶点的距离都相等．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以此三棱锥为鳖臑，解决此类问题的方法是：①找出Rt△PAB，Rt△ABC的外心，分别记为O，D；②确定球心的位置：点O；③通过解三角形的相关知识计算求外接球半径的表达式；④根据基本不等式和体积公式，得AB的范围，进而得其外接球半径的最小值．
本题与【基础活动】第4题对比发现：两题都是运用定义法确定外接球的球心和半径R，再利用R2＝d2＋r2，根据已知条件引入恰当的变量(角度或长度)，建立外接球半径关于变量的关系式进行最值的求解．　
题后反思
与球相关的体积、表面积、截面等最值问题的题目，其求解策略主要有以下三种：
(1) 转化为函数最值问题，通过引入线参数或角参数，建立关于这些参变量的函数关系，转化为函数的最值问题来解决；
(2) 转化为平面几何问题，根据题目的特征，寻找或确定一个数量关系比较集中的平面，将题目的其他条件逐步向该平面转移，然后利用几何方法或三角方法来解决；
(3) 利用重要不等式，可通过引入多个变量建立数学模型，然后利用均值不等式或柯西不等式求其最值．
2
4
1
3
1　正四面体的外接球与内切球的半径比为(　　)
A. 1∶1 B. 2∶1
C. 3∶1 D. 4∶1
C
2
4
1
3
2
4
1
3
D
2
4
1
3
2
4
3
1
3　[2025秦皇岛三模]如图，在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△BCD是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB⊥BD，BD＝2，则四面体ABCD的外接球的体积是(　　)
C
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
3
1
AC
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
3
1