高考数学二轮复习函数与导数专题11导数与函数的零点课件(共55张PPT)

(共55张PPT)
专题11　导数与函数的零点
导言　利用导数研究函数的零点是高考数学中的重要考点，主要考查学生对导数应用的理解以及综合分析能力．常见考查方向：(1) 零点存在性证明；(2) 零点个数问题；(3) 含参函数的零点问题；(4) 隐零点问题等．
1 [人教B版选必三P114复习题C组T4改编]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围为_____________.
`
(－∞，－2)
因为2f(1)＝－a<0，所以f(2)＋f(0)>0，
所以f(2)与f(0)中至少有一个为正．
所以f(1)·f(0)<0或f(1)·f(2)<0，
所以函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．
要点指引
1. 研究函数零点的技巧：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
2. 判断函数零点个数的常用方法：
(1) 直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．
(2) 分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．
3. 函数的隐零点问题：已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，利用f′(x0)＝0的关系，研究f(x0)．
重点1　探求零点个数
　　　[2025南通大联考]已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x2＋1，h(x)＝asin x＋1(a>0)．
(1) 求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2) 讨论函数F(x)＝f(x)－h(x)在区间(0，π)上的零点个数．
思路引导：本题考查利用导数研究函数的性质、函数的零点．(1)单变量的不等式证明，通常作差构造新函数，然后证明新函数最大值为负或最小值为正．(2)含参函数求零点个数，先求导根据导函数正负来判定原函数的单调性，再结合端点处函数值以及极值的符号确定零点个数．
1
(1) 证明：令G(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x2－1[防范失误①]，
则G′(x)＝ex－2x.
记p(x)＝ex－2x，则p′(x)＝ex－2，
当x∈(0，ln2)时，p′(x)<0；当x∈(ln2，＋∞)时，p′(x)>0，
所以p(x)在区间(0，ln2)上单调递减，在区间(ln2，＋∞)上单调递增，
所以在区间(0，＋∞)上，G′(x)＝p(x)≥p(ln2)＝2－2ln2>0，
所以G(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以在区间(0，＋∞)上，G(x)>G(0)＝0，即f(x)>g(x).
(2) 解：由题意，得F(x)＝f(x)－h(x)＝ex－asin x－1，
则F′(x)＝ex－acos x.
当01－a≥0在区间(0，π)上恒成立，
所以F(x)在区间(0，π)上单调递增，
则F(x)>F(0)＝0，即函数F(x)在区间(0，π)上无零点；
当a>1时，记q(x)＝F′(x)＝ex－acos x，
则q′(x)＝ex＋asin x≥0在区间(0，π)上恒成立，
所以q(x)在区间(0，π)上单调递增．
则当0当x00，F(x)单调递增，
所以F(x)min＝F(x0)．
而F(x0)0，
所以F(x)在区间(0，x0)上无零点，在区间(x0，π)上有唯一零点．
综上，当01时，F(x)在区间(0，π)上有且仅有1个零点．
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：含参函数确定零点个数，先求出导函数，确定函数单调性和极值；再根据参数不同的取值对函数性质的影响进行分类讨论；最后结合函数图象与x轴的交点情况确定零点个数．　
解：(1)当a＝0时，f(x)＝－xsin x，
则f′(x)＝－sin x－xcos x，
变式训练　[2025湖北期初]已知函数f(x)＝aln(x＋1)－xsin x.
(2) 若a＝1，研究函数f(x)在区间(－1，0]上的单调性和零点个数．
(2) 当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)－xsin x，
则f′(x)>0，
所以f(x)在区间(－1，0]上单调递增．
又f(0)＝0，
所以f(x)在区间(－1，0]上的零点个数为1.
题后反思　利用导数解决函数零点个数问题通常先对函数求导，求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题；也可以将y＝f(x)－g(x)的零点个数问题转化为两函数f(x)，g(x)的图象的交点个数问题，利用数形结合思想求解．
重点2　由零点个数求参数
　　　[2025苏州月考]已知函数f(x)＝x3－alnx(a∈R)．
(1) 当a＝－1时，研究f(x)的单调性；
(2) 若f(x)在其定义域上有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
思路引导：本题考查利用导数判断函数的单调性与极值、函数的零点．(1)先对函数求导，然后结合导数的符号与单调性关系，即可求解；(2)分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，函数有两个零点，原函数至少有两个单调区间，由单调性确定端点和极值点处的函数值的正负，列出不等式，从而确定实数a的取值范围．
2
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题中都涉及已知函数零点个数求参数范围，利用分类讨论的思想及导数法求函数的单调性和最值，结合函数单调性与函数零点的关系及函数的零点存在定理．　
变式训练　(多选)[2025邯郸模拟]已知函数f(x)＝x2－3x＋lnx，则下列结论中正确的是(　 　)
A. f(x)的极小值为－2
B. f(x)有两个零点
C. 存在a使得关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根
D. f(x2)>f(x)的解集为(1，＋∞)
AC
题后反思　已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的一般常用方法：
1. 直接研究函数单调性及端点、极值点的函数值正负．
2. 分离参数，数形结合．注意：压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
重点3　隐零点问题
3
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：都需构造新函数，因为不能求出函数的具体零点，所以引入隐零点x0，由隐零点x0把定义域分成两个单调区间再求出函数极值．　
(1) 当a＝－1时，求不等式f(x)≤ex＋1的解集；
(2) 若f(x)>a(a>0)，求实数a的取值范围．
当0当x>1时，F′(x)>0，F(x)单调递增，
所以F(x)≥F(1)＝0，则不等式f(x)≤ex＋1的解集为{1}．
题后反思　利用导数证明不等式或求函数的最值，常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题，若这个零点具体是什么无法计算或根本不需要计算，只需利用它的存在去解答题目，我们可以设其为x0，再利用导函数的单调性确定x0所在区间，最后根据f′(x0)＝0，研究f(x0)．若f(x)中含有参数a，则f′(x0)＝0是关于x0，a的关系式，确定x0的取值范围，往往和a的取值范围有关．
2
4
1
3
A. 2 B. －e
C. －4 D. e2
C
2
4
1
3
2
4
1
3
2 若函数f(x)＝ex－kx2大于0的零点有且只有一个，则实数k的值为(　 　)
D
2
4
1
3
2
4
3
1
3 [2025启东期初]已知曲线f(x)＝lnx＋2x与曲线g(x)＝a(x2＋x)有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为(　 　)
A. (0，1) B. (0，1]
C. (－∞，0) D. (0，＋∞)
A
2
4
3
1
2
4
3
1
1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝1.又当x→0时，h(x)→－∞；当x→＋∞时，h(x)→0，可作出h(x)的图象如图，故当a∈(0，1)时，y＝a与h(x)的图象有且仅有两个交点，即曲线f(x)与g(x)有且仅有两个公共点．
2
4
3
1
(1) 求实数a，b的值；
(2) 求f(x)的单调区间，并证明f(x)在区间(－∞，0)上没有零点．
2
4
3
1
所以当x<－1时，f′(x)>0；
当－1所以f(x)的单调增区间为(－∞,－1)，单调减区间为(－1,0)，(0,1).
因为f(x)在区间(－∞,－1)上单调递增，在区间(－1，0)上单调递减，
所以当x∈(－∞，0)时，f(x)≤f(－1)＝－3＋2ln2<0，
故f(x)在区间(－∞，0)上没有零点.