高考数学二轮复习立体几何微专题12立体几何中的截面、交线问题课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
微专题12　立体几何中的截面、交线问题
导言　截面和交线问题是高考立体几何中的难点，涉及作截面、判断截面的形状、求截面面积(周长、体积)及其最值，考查方式灵活多样，试题背景设置新颖，注重考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．
1　用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是(　　)
A. 正三角形 B. 正方形
C. 正五边形 D. 正六边形
C
【解析】 如图，截面形状可能是正三角形(图1)，正方形(图2)，正六边形(图3)．若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，则必有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中不可能有平行的边，故截面的形状不可能是正五边形．
图1　 图2　 图3
2　[人教A版必修二P143练习T3改编]如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的周长为________.
【解析】 如图，分别取AB，C1D1的中点F，E，连接A1E，A1F，FC，CE，PF，可得PF∥C1C，PF＝C1C，则四边形PFCC1为平行四边形，可得PC1∥FC，PC1＝FC.因为EC1∥A1P，EC1＝A1P，所以四边形EC1PA1为平行四边形，可得A1E∥PC1，A1E＝PC1，所以A1E∥FC，A1E＝FC，所以四边形A1ECF为平行四边形．因为PC1 平面A1ECF，A1E 平面A1ECF，所以PC1∥平面A1ECF.因为A1P∥FB，A1P＝FB，所以四边形A1PBF为平行四边形，可得A1F∥PB.又PB 平面A1ECF，A1F 平面A1ECF，所以PB∥平面A1ECF.
2
要点指引　作截面的几种方法：
1. 直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程．
2. 延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点．
3. 平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线．
难点1　截面图形的形状
　[2025浙江北斗星盟三模]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AD的中点，过点E，F，C1三点作该正方体的截面，则该截面多边形是__________.
思路引导：本题考查利用延长线法作截面．将线段EF向两边延长，分别与棱CB的延长线，棱CD的延长线交于点G，H，连接C1G，C1H，分别与棱BB1，DD1交于点P，Q，即可得到截面多边形，进而判断其形状．
1
五边形
【解析】 如图，延长FE与棱CB的延长线交于点G，延长EF与棱CD的延长线交于点H.连接C1G和C1H，由于正方体的结构特点，C1G会与棱BB1相交于点P，C1H会与棱DD1相交于点Q.此时，由点C1，P，E，F，Q所构成的图形就是过E, F, C1三点的正方体截面，该图形是一个五边形．
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：作截面的关键是找出面与面的交线，常用方法有：(1) 利用线面平行、面面平行的性质定理来作交线；(2) 通过延长面上的线和棱相交来作交线．　
A
【解析】 如图，连接AC，AD1，CD1，BD.因为BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以BB1⊥AC.又四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又BB1∩BD＝B，BB1 平面BB1D，BD 平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D.因为B1D 平面BB1D，所以AC⊥B1D，同理可证AD1⊥B1D.因为AD1∩AC＝A，AD1 平面ACD1，AC 平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，所以平面α即为平面ACD1，则α截该正方体所得截面的形状为三角形．
题后反思　求解截面形状主要考查是否能作出完整截面，与多数的几何问题类似，作截面的方法也包含几何法和代数法，其中几何法包括平行线法和延长线法，这是作平面最常规的方法，也是需要学生必须掌握的方法．如果几何图形不太容易作平行线或延长线，也可以选择代数法解决，代数法包括坐标法和基底法．
难点2　截面图形的面积及周长问题
　 [2025长春月考]在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别为棱BC，CD，CC1的中点，平面PQR截正方体ABCD－A1B1C1D1外接球所得的截面面积为(　　)
2
A
思路引导：本题考查正方体的外接球、球的截面问题. 由题意找出球心的位置，计算出球的半径，利用向量法或几何法求出球心到平面PQR的距离，即可利用球的结构特征求出截面圆的半径，从而求出截面面积．
图1　 　图2
　
图3
本题与【基础活动】第3题对比，发现：两题均为几何体的截面面积相关的问题，【基础活动】第3题是求截面三角形面积的最值问题，关键是根据截面图形的特征(等腰三角形，腰长为母线长)选择恰当的面积公式，引入角变量，结合角变量的范围得到最值；例2实质是正方体外接球被截面所在平面截得的圆面积问题，关键是求球心到截面的距离．　
D
题后反思　解决截面的面积或周长问题：明确截面的形状是解题的关键，而确定截面形状关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成的线的位置．
难点3　截面切割几何体的体积问题
A. 5∶4 B. 12∶7
C. 2∶1 D. 15∶4
思路引导：根据题意可得过点O，A1，C1的截面将该三棱台分成两个几何体中体积较大的几何体是底面为正三角形的斜三棱柱，从而利用体积公式即可求解．
3
B
C
题后反思
作截面应遵循的三个原则：
1. 在同一平面上的两点可引直线；
2. 凡是相交的直线都要画出它们的交点；
3. 凡是相交的平面都要画出它们的交线．
2
4
1
3
1　[2025南昌三模]用一个平面去截一个正四棱柱，截法不同，所得截面形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面的形状为(　　)
A. 四边形 B. 五边形
C. 六边形 D. 八边形
【解析】 因为用平面去截四棱柱时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，所以边数最多的截面的形状为六边形．
C
2
4
1
3
2　(多选)[2025温州三模]如图，棱长为a的正四面体形状的木块，点P是△ACD的中心．劳动课上需过点P将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB和CD，则下列关于截面的说法中正确的是( )
A. 截面不是平行四边形
B. 截面是矩形
D. 截面与平面ABC的交线平行于平面ABD
BCD
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
3
1
4　已知圆台O1O2的高为3，中截面(过高的中点且垂直于轴的截面)的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，则该圆台的母线长为______.
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