高考数学二轮复习函数与导数专题10导数与函数的单调性、极值、最值课件(共50张PPT)

(共50张PPT)
专题10　导数与函数的单调性、极值、最值
导言　导数在高考数学中占据重要地位，尤其是研究函数的单调性、极值和最值，是高频考点．常见的考查形式有：求函数的单调区间，求函数的极值或最值，已知极值点求参数范围，结合不等式证明(如恒成立问题、存在性问题)、与方程根的分布问题结合、含参讨论(分类讨论思想)等.
1 [人教A版选必二P104复习参考题5T9改编]若函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，则实数a的值为(　 　)
A. 1 B. －1或－3
C. －1 D. －3
D
0
【解析】 设h(x)＝x2＋4x＋a，若－1不是函数f(x)的极值点，则必有h(－1)＝0，即1－4＋a＝0，解得a＝3.当a＝3时，f′(x)＝(x＋1)(x2＋4x＋3)＝(x＋1)2(x＋3)，则当x>－3时，f′(x)≥0，当x<－3时，f′(x)<0，所以－3是f(x)的极值点，－1不是极值点，满足题意，故a＝3.
3 已知函数f(x)的导函数f′(x)＝(x＋1)(x2＋4x＋a)，若－1不是f(x)的极值点，则实数a＝______.
3
4 [人教A版选必二P87练习T2]利用导数讨论二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的单调区间．
重点1　利用导数研究函数的单调性
　　　设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在区间(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
1
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：【基础活动】的第4题是根据参数的范围求函数的单调区间，本题是根据函数的单调性求参数的取值范围，共同点是原函数f(x)单调递增 导函数f′(x)≥0(导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足f′(x)>0)；原函数单调递减 导函数f′(x)≤0(导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足f′(x)<0)．　
变式训练　[2025如皋2.5模]已知函数f(x)＝lg(x2－ax＋2)，则“a≥ 2”是“函数f(x)在区间(－∞，1]上单调递减”的(　 　)
A. 充要条件 B. 充分且不必要条件
C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
C
题后反思
由函数的单调性求参数的取值范围的方法：
(1) 函数f(x)在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0 (或f′(x)≤0)恒成立，等号只在离散点处取得．
(2) 函数的单调区间是函数定义域的子区间．
重点2　利用导数研究函数的极值
　　　已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 若f(x)有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围．
2
思路引导：本题考查导数的几何意义、函数的单调性和极值．(1)题干关键：参数a确定；切点横坐标为1.由此联想到：求导，结合导数的几何意义求切线方程；(2)题干关键一：参数a不确定．由此联想一：求导，对参数a分类讨论，利用导数判断单调性和极值，结合条件“f(x)有极小值，且极小值小于0”分析，构建函数解不等式即可；题干关键二：f(x)有极小值，且极小值小于0.由此联想二：求导，可知导函数f′(x)有零点，缩小参数a的范围，进而利用导数求f(x)的单调性和极值，构建函数解不等式即可．
解：(1) 当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，
所以f(1)＝e－2，f′(1)＝e－1，
即切点的坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.
(2) 解法1　因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a，
若a≤0，则f′(x)≥0对任意x∈R恒成立，
所以f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意．
若a>0，则令f′(x)>0，解得x>lna；
令f′(x)<0，解得x所以f(x)在区间(－∞，lna)上单调递减，在区间(lna，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(lna)＝a－alna－a3，无极大值，
所以a－alna－a3<0，即a2＋lna－1>0.
所以g(a)在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
则a>1，所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．
解法2　因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a，
若f(x)有极小值，则f′(x)＝ex－a有零点[防范失误②]．
令f′(x)＝ex－a＝0，得ex＝a，
所以y＝ex与y＝a的图象有交点，则a>0.
令f′(x)>0，解得x>lna；令f′(x)<0，解得x所以f(x)在区间(－∞，lna)上单调递减，在区间(lna，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(lna)＝a－alna－a3，无极大值，
所以a－alna－a3<0，即a2＋lna－1>0.
设g(a)＝a2＋lna－1，a>0，
因为y＝a2，y＝lna－1在区间(0，＋∞)上均单调递增，
所以g(a)在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，
则a>1，所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题中都涉及函数存在极值求参数的值或取值范围，问题等价于导函数有变号的零点，利用导数与函数的极值点的关系确定参数的取值．　
D
题后反思　根据函数的极值(点)求参数的注意点：
(1) 函数存在极值点，即导函数存在变号零点；
(2) 含参函数求极值，如果能根据条件判定参数所在区间，那就不必分类讨论；如果不能判定参数所在区间，那就必须进行分类讨论．
重点3　利用导数研究函数的最值
3
思路引导：本题考查函数的单调性及函数的最值．(1) 求函数的单调区间，关键是将导函数的零点与区间的端点比较大小；(2) 求含参函数的最值，首先需讨论函数的单调性．
解：(1) 由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)[防范失误③]，
由f′(x)>0[防范失误④]，得0由f′(x)<0[防范失误④]，得x>a，
所以函数f(x)的单调增区间为(0，a)，单调减区间为(a，＋∞)．
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：求函数最值，先通过求导，确定函数的单调性，分别求出函数的极值与端点处的函数值，再比较极值与端点处的函数值大小，从而确定函数的最值．函数在开区间上不一定存在最值，当且仅当极大(小)值大(小)于端点处的函数值，函数才存在最值．　
C
变式训练2　[2025南通月考]已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在x＝0处取得极值0，在x＝－1处取得极值－1.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若f(x)在区间(t，t＋2)上有最大值，求实数t的取值范围．
解：(1) 因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因为f(x)在x＝0处取得极值0，
所以f(0)＝d＝0，f′(0)＝c＝0，
所以f(x)＝ax3＋bx2，f′(x)＝3ax2＋2bx.
因为f(x)在x＝－1处取得极值－1，
所以f(－1)＝－a＋b＝－1，f′(－1)＝3a－2b＝0.
所以f(x)＝－2x3－3x2.
(2) 由f(x)＝－2x3－3x2，得f′(x)＝－6x(x＋1)，
所以当x∈(－∞，－1)或x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－1，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
若f(x)在区间(t，t＋2)上有最大值，则最大值为f(0)＝0.
题后反思
1. 求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
(1) 求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
(2) 将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2. 函数开区间上存在最值，则一定在极值点处取得，且极大值大于端点处的函数值，极小值小于端点处的函数值．
2
4
1
3
A. [－3，9] B. [－3，＋∞)
C. [0，9] D. (－∞，9)
A
2
4
1
3
2 [2025全国二卷]若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________.
－4
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
3
1
(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 当a>0时，求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值．
2
4
3
1
解：(1) 由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
若a>0，则令f′(x)＝0，得x＝a，
当0当x>a时，f′(x)>0，f(x)在区间(a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；当a>0时，f(x)的单调减区间为(0，a)，单调增区间为(a，＋∞)．
2
4
3
1
2
4
3
1