高考数学二轮复习函数与导数微专题8曲线的切线问题课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
微专题8　曲线的切线问题
导言　利用导数求解曲线的切线问题，在高考中重点考查导数的计算、四则运算法则和切线相关问题.曲线的切线问题常以选择题、填空题的形式考查，也常与函数的极值、最值问题相结合出现在解答题中．
【解析】 由题意，得f′(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝3－3a＝0，解得a＝1.
1　[人教A版选必二P82习题5.2T11改编]已知函数f(x)＝x3－3ax－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则实数a的值为(　　)
A. －3 B. －1
C. 0 D. 1
D
C
3　[人教A版选必二P104复习参考题5 T13改编]已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与y＝ax2＋(2a＋3)x＋1的图象只有一个公共点，则实数a 的值为__________.
2
要点指引
1. 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
3. 公切线问题应根据两个函数的图象在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在图象上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
4. 直线与抛物线相切的问题可以利用Δ来处理．
难点1　求切线方程
1
C
本题与【基础活动】的第1,2题对比，发现：都是在某点处的切线方程，该点就是切点．在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．　
【解析】 由f(x)＝x3－x＋2sinx，得f ′(x)＝3x2－1＋2cosx，则f′(0)＝1.又f(0)＝0，故曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x，即x－y＝0.
变式训练1　[2025海口模拟]已知函数f(x)＝x3－x＋2sinx，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为(　　)
A. x－y＝0
B. y＝1
C. 2x＋y＝0
D. 2x－y＝0
A
变式训练2　曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程分别为 ____________，______________.
题后反思
1. 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以P为切点．
2. 求曲线过点P(x0，y0)的切线，需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
(1) 当P是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
(2) 当P不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
难点2　由切线方程求参数
　[2025全国一卷]若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝______.
思路引导：本题考查导数的几何意义．题干关键：直线和曲线相切．由此联想到：(1) 切点既在直线上又在曲线上；(2) 切点处的导数值即为切线的斜率，根据以上两点构造方程组求得实数a的值．
2
4
本题与【基础活动】的第3,4题对比，发现：都涉及与切线有关的求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：1. 切点处的导数是切线的斜率；2. 切点在曲线上；3. 切点在切线上．　
变式训练1　已知函数f(x)＝(x＋a)2＋lnx的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线都与直线x＋2y＝0垂直，则实数a的取值范围是____________________.
B
题后反思　研究曲线过某点的切线条数问题，通常先设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝f′(x0)，过切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．又因为切线方程过点A(a，b)，所以b－y0＝f′(x0)(a－x0)，然后解出x0的值，有多少个解对应有多少条切线．
难点3　公切线
　若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝__________.
思路引导：本题考查曲线的公切线．题干关键一：在点(0,1)处的切线．由此联想到：曲线的切点就是(0,1)，对函数求导，求出曲线y＝ex＋x在点(0,1)的切线方程．将切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求得切线方程．题干关键二：也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线．由此联想到：切点不明确，需要设切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)，求出对应的导数，利用公切线斜率相等求出x0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解．
3
ln2
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：两题均是两曲线的公切线问题，已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点．但要注意直线与曲线有一个公共点，这条直线不一定是切线(如平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有唯一交点)；反之，曲线与其切线不一定只有一个公共点(如三次函数的切线，三角函数的切线)．　
0或2
9
题后反思　函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．
2
4
1
3
1　已知函数f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋x2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A. 3x－y－2＝0 B. 3x＋y－2＝0
C. 3x＋y＋2＝0 D. 3x－y＋2＝0
A
2
4
1
3
2　(多选)[2025无锡月考]已知f(x)＝x2＋4ax－b，g(x)＝6a2lnx＋b，a>0.若y＝f(x)，y＝g(x)的图象有公共点P，且在该点处的切线重合，则实数b的可能取值为( )
ABC
2
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1
3
2
4
3
1
3　[2025镇江中学模拟]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是___________________________.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
2
4
3
1
4　[2025扬州模拟]若直线l既是曲线y＝lnx的切线，也是曲线y＝ex－2 的切线，则直线l的方程为________________________.
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