高考数学二轮复习函数与导数微专题10函数中的新定义型问题课件(共67张PPT)

(共67张PPT)
微专题10　函数中的新定义型问题
导言　函数中的新定义型问题是高考中常见的问题，通过分析问题、解决问题，考查我们的探索、创新能力，这类题目起点不高，只要理解新定义，利用所学的知识是可以解决的．题目主要分两类：一是新定义概念，主要是以新定义概念为背景，然后根据此新定义概念去解决有关问题；二是新定义性质，探究新定义性质是否成立问题，主要是以函数新性质为背景，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸，需要我们具有灵活应用函数性质的能力．
1　[人教A版选必二P82探究与发现改编]牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程f(x)＝0的其中一个根r在x＝x0的附近，如图，然后在点(x0，f(x0))处作f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标就是x1，用x1代替x0重复上面的过程得到x2；一直继续下去，得到x0，x1，x2，…，xn.从图形上我们可以看到x1较x0接近r，x2较x1接近r，等等．显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求xn，若设精度为ε，则将首次满足|xn－xn－1|<ε的xn称为r的近似解．已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x＋a，a∈R.
(1) 当a＝1时，试用牛顿迭代法求方程f(x)＝0满足精度ε＝0.5的近似解(取x0＝－1，且结果保留小数点后第二位)；
(2) 若f(x)－x3＋x2lnx≥0，求实数a的取值范围．
当a>0时，则当x∈(0，a)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(a，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
易知g(a)单调递增，且g(1)＝0，
所以a≥1.
故实数a的取值范围为[1，＋∞)．
(1) 直接写出sh(x)，ch(x)具有的类似①，②，③的三种性质并说明理由；
(2) 若当x>0时，sh(x)>ax恒成立，求实数a的取值范围．
(2) 构造函数F(x)＝sh(x)－ax，x∈[0，＋∞)，
由(1)可知F′(x)＝ch(x)－a.
所以F′(x)≥0，则F(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以F(x)≥F(0)＝0，故对任意x>0，sh(x)>ax恒成立，符合题意；
②当a>1时，令G(x)＝F′(x)，x∈[0，＋∞)，
则G′(x)＝sh(x)≥0，所以G(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
所以存在唯一的x0∈(0，ln2a)，使得G(x0)＝0，
当x∈(0，x0)时，F′(x)＝G(x)则F(x)在区间(0，x0)上单调递减，
所以对任意x∈(0，x0)，F(x)综上，实数a的取值范围为(－∞，1]．
要点指引
关于新定义题的解题思路有：
1. 找出新定义的几个要素，找出要素分别代表什么意思．
2. 由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言．
3. 将已知条件代入新定义中．
4. 结合数学知识进行解答．
难点1　新定义概念
　[2025江西适应性联考]定义：若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象上分别存在点M和点N关于x轴对称，则称函数y＝f(x)和y＝g(x)具有C关系．
(1) 判断函数f(x)＝4x－8和g(x)＝2x＋1是否具有C关系；
(2) 若函数f(x)＝lnx－ax－1和g(x)＝1－x2不具有C关系，求实数a的取值范围．
(3) 若函数f(x)＝x(ex－1)和g(x)＝x＋msinx(m<0)在区间(0，π)上具有C关系，求实数m的取值范围．
1
思路引导：本题考查利用导数研究函数的单调性、零点问题．题干关键：新定义“具有C关系”．(1) 是根据定义判断，研究在f(x)与g(x)的定义域的交集上存在x，使得f(x)＋g(x)＝0，本质是转化为方程有解问题．(2) 是不满足新定义，即转化为φ(x)＝f(x)＋g(x)在区间(0，＋∞)上的值恒为负或恒为正，利用导数研究参数范围．(3) 是满足新定义，问题转化为h(x)＝f(x)＋g(x)在区间(0，π)上存在零点，即构造函数h(x)＝xex＋msinx，通过分类讨论，利用导数与函数的关系求解．
解：(1) f(x)与g(x)具有C关系，理由如下：
根据定义，得若f(x)与g(x)具有C关系，则在f(x)与g(x)的定义域的交集上存在x，使得f(x)＋g(x)＝0.
又f(x)＝4x－8，g(x)＝2x＋1，x∈R，
所以f(x)＋g(x)＝4x－8＋2x＋1＝0，
即(2x－2)(2x＋4)＝0，即2x－2＝0，解得x＝1，
所以f(x)与g(x)具有C关系．
(2) 因为f(x)＝lnx－ax－1，g(x)＝1－x2，
令φ(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx－ax－x2，x∈(0，＋∞)[防范失误①]．
因为f(x)与g(x)不具有C关系，且φ(x)在区间(0，＋∞)上的图象连续不断，
所以φ(x)在区间(0，＋∞)上的值恒为负或恒为正．
假设φ(x)>0在区间(0，＋∞)上恒成立[防范失误③]，
则φ(1)＝－a－1>0，即a<－1[防范失误②]．
当a<－1时，φ(1－a)＝ln(1－a)－a(1－a)－(1－a)2＝ln(1－a)－(1－a)，
由u′(x)>0，解得01，
所以u(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，
所以u(x)≤u(1)＝－1<0，
所以φ(1－a)<0，与假设矛盾，
所以不存在a，使得φ(x)>0在区间(0，＋∞)上恒成立；
若φ(x)<0在区间(0，＋∞)上恒成立，
又y＝1－lnx－x2在区间(0，＋∞)上单调递减，
所以当01－ln1－12＝0，L′(x)>0；当x>1时，y＝1－lnx－x2<0，L′(x)<0，
所以L(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，
所以L(x)max＝L(1)＝－1，
所以a>－1，即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
(3) 因为f(x)＝x(ex－1)，g(x)＝x＋msinx(m<0)，
令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝xex＋msinx.
因为f(x)与g(x)在区间(0，π)上具有C关系，
所以h(x)在区间(0，π)上存在零点[防范失误③]．
易得h′(x)＝(x＋1)ex＋mcosx.
当－1≤m<0且x∈(0，π)时，
因为(x＋1)ex>1，|mcosx|<|m|≤1，
所以h′(x)>0，
所以h(x)在区间(0，π)上单调递增，则h(x)>h(0)＝0，
此时h(x)在区间(0，π)上不存在零点，不符合题意；
综上，h(x)在区间(0，x0)上单调递减，在区间(x0，π)上单调递增，
所以h(x)在区间(0，π)上存在唯一极小值点x0.
因为h(0)＝0，所以h(x0)<0.
又h(π)＝πeπ>0，
所以h(x)在区间(0，π)上存在唯一零点x1，
所以函数f(x)与g(x)在区间(0，π)上具有C关系．
故实数m的取值范围是(－∞，－1)．
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题均为新定义概念问题．【基础活动】第1题是将问题转化为求切线的问题，本题是将新定义问题转化为方程是否有解的问题．　
可知方程ax4－x2＋a＝0存在两根t1，t2，且0当x∈(0，t1)时，G′(x)<0，G(x)单调递减，
当x∈(t1，t2)时，G′(x)>0，G(x)单调递增，
当x∈(t2，＋∞)时，G′(x)<0，G(x)单调递减，
所以G(t1)题后反思
在实际解决“新定义概念”问题时，关键是正确理解新定义概念，并对新定义概念进行再加工，转化为我们熟悉的知识点，再结合相关的数学知识与方法来分析与解决．
难点2　新定义性质
[2025马鞍山月考]若函数y＝f(x)(x∈D)同时满足下列两个条件，则称y＝f(x)在区间D上具有性质M.
①y＝f(x)在区间D上的导数f′(x)存在；
②y＝f′(x)在区间D上的导数f″(x)存在，且f″(x)>0(其中f″(x)＝[f′(x)]′)恒成立．
2
当x>0时，令g′(x)>0，解得x>1；
令g′(x)<0，解得0所以g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，满足g(x)在x＝1处取得极值[防范失误⑤]，
所以存在实数c∈(0，＋∞)，使g″(x)>0在区间[c，＋∞)上恒成立，
故存在实数c，使得y＝g(x)在区间[c，＋∞)上具有性质M，且实数c的取值范围是(0，＋∞)．
又G(2)＝1－ln3<0，G(3)＝2－ln4>0[防范失误④]，
所以存在x0∈(2,3)，使G(x0)＝x0－ln(x0＋1)－1＝0，
所以当x∈(0，x0)时，G(x)<0，即F′(x)<0，
则F(x)在区间(0，x0)上单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，G(x)>0，即F′(x)>0，
则F(x)在区间(x0，＋∞)上单调递增，
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题均为新定义性质问题．【基础活动】第2题是将双曲余弦函数与三角函数相关公式进行类比，本题是验证新定义性质是否成立的问题．　
A
变式训练2　对于函数y＝f(x)和y＝g(x)及区间D，若存在实数k，b，使得f(x)≥kx＋b≥g(x)对任意x∈D恒成立，则称y＝f(x)在区间D上“优于”y＝g(x)，则下列结论：
③f(x)＝ex－1在区间(－1，＋∞)上“优于”g(x)＝ln(x＋1)；
④若f(x)＝ax(x－1)在区间(0，＋∞)上“优于”g(x)＝lnx，则a＝1.
其中正确的个数为(　　)
A. 1 B. 2　
C. 3 D. 4
B
由③可知ln(x＋1)≤x，x>－1，所以lnx≤x－1，x>0.综上，f(x)≥x－1≥g(x)，x>0，所以a＝1符合题意，故④正确．综上，正确的个数为2.
图1　 　图2
题后反思
对于新定义性质问题的考查，本质上还是考书本中的数学知识，以及学生能否通过已经学习的定义、性质来理解新定义、性质．解决问题的关键是要注意知识间的联系，提高知识的迁移能力．
2
1
3
A. f(x)为偶函数，不是奇函数
B. f(x)为奇函数，不是偶函数
C. f(x)既是偶函数，又是奇函数
D. f(x)既不是偶函数，又不是奇函数
B
2
1
3
1
2
1
3
2
3
1
3　[2025徐州模拟]若定义在R上的函数y＝f(x)和y＝g(x)分别存在导函数f′(x)和g′(x)，且对任意实数x，都存在常数k，使f′(x)≥kg′(x)成立，则称函数y＝f(x)是函数y＝g(x)的“k－控制函数”，称k为控制系数．
(1) 求证：函数f(x)＝3x＋1是函数g(x)＝cosx的“3－控制函数”；
(2) 若函数f(x)＝－x4－4x3－12x2－20x是函数g(x)＝ex的“k－控制函数”，求控制系数k的取值范围；
(3) 若函数p(x)＝ex＋me－x，函数y＝q(x)为偶函数，函数y＝p(x)是函数y＝q(x)的“1－控制函数”，求证：“m＝1”的充要条件是“存在常数c，使得p(x)－q(x)＝c恒成立”．
2
3
1
(1) 证明：由题意，得f′(x)＝3，g′(x)＝－sinx，则g′(x)∈[－1,1]，
所以f′(x)－3g′(x)＝3＋3sinx≥0，即f′(x)≥3g′(x)恒成立，
故函数f(x)＝3x＋1是函数g(x)＝cosx的“3－控制函数”．
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3
1
2
3
1
2
3
1
(3) 证明：充分性：若存在常数c，使得p(x)－q(x)＝c恒成立，则p(x)＝q(x)＋c.
因为函数y＝q(x)为偶函数，
所以q(x)＝q(－x)，则p(x)＝p(－x)，
即ex＋me－x＝e－x＋mex，所以(m－1)(ex－e－x)＝0恒成立，解得m＝1.
必要性：若m＝1，则p(x)＝ex＋e－x＝p(－x)，
所以p(x)为偶函数．
因为函数y＝p(x)是函数y＝q(x)的“1－控制函数”，
所以p′(x)≥q′(x)．
2
3
1
又q(－x)＝q(x)，p(－x)＝p(x)，
所以函数y＝p(－x)是函数y＝q(－x)的“1－控制函数”，
所以－p′(－x)≥－q′(－x)，即p′(－x)≤q′(－x)恒成立，
用－x代换x有p′(x)≤q′(x)．
综上可知p′(x)＝q′(x)，
记h(x)＝p(x)－q(x)，则h′(x)＝p′(x)－q′(x)＝0，
所以存在常数c，使得p(x)－q(x)＝c恒成立．
综上，“m＝1”的充要条件是“存在常数c，使得p(x)－q(x)＝c恒成立”．