高考数学二轮复习函数与导数微专题7抽象函数问题课件(共52张PPT)
文档属性
| 名称 | 高考数学二轮复习函数与导数微专题7抽象函数问题课件(共52张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-02 00:00:00 | ||
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文档简介
(共52张PPT)
微专题7 抽象函数问题
导言 高考对函数的考查通常以抽象函数为载体，具体考查函数的定义域、值域，图象及相关性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性).随着高考改革的推进，题目的减少，利用抽象函数考查函数的相关性质，以及对抽象函数的导数问题的考查将增多．
C
【解析】 由函数f(x)为奇函数，f(1)＝－1，得f(－1)＝－f(1)＝1，则－1≤f(x－2)≤1，即f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又函数f(x)在R上单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，故x的取值范围是[1,3]．
2 [2025如东中学月考]已知函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A. [－2,2] B. [－1,1]
C. [0,4] D. [1,3]
D
3 [苏教版必修一P164复习题T14改编]已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．若f(1)4 [人教A版必修一P87习题3.2T13改编]我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论：______________________________________ ______________________________________________.
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称的充
要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数
要点指引
1. 抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令x＝…，－2，－1,0,1,2，…等特殊值求抽象函数的函数值．
2. 在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值．
3. 若函数y＝f(ax＋b)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝b对称；若函数y＝f(ax＋b)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(b,0)对称．
难点1 单调性与奇偶性的综合应用
1
ACD
本题与【基础活动】的第2,3题对比，发现：都涉及解决与抽象函数有关的不等式问题，在求解时要注意定义域与单调区间对解集的影响．
C
变式训练2 (多选)[2025泰州期末]已知函数f(x)满足：对任意x，y∈R，都有xf(y)＋yf(x)＝f(xy)，且当00，则下列说法中正确的是( )
A. f(0)＋f(1)＝0
B. f(x)为偶函数
C. 当|x|>1时，xf(x)<0
D. f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减
ACD
题后反思 抽象函数与不等式关联时，要充分利用好题目所给的函数性质，再结合不等式的性质进行推导，不能忽视定义域的作用．
难点2 对称性与周期性的综合应用
2
ACD
思路引导：本题考查抽象函数的奇偶性与周期性．题干关键：f(x)＋f(－2－x)＝4.由此联想到：利用赋值法，令x＝－1，再结合偶函数即可判断A；利用f(x)是偶函数与f(x)＋f(－2－x)＝4，可以推出函数的周期为4，然后依次算出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，从而判断B错误；由f(x)＋f(－2－x)＝4可以判断f(x)的图象关于点(－1,2)中心对称，又f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，再利用倒序相加可判断C；根据C通过消元后结合基本不等式可以判断D.
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：如果一个函数的图象既有对称中心，又有对称轴，那么该函数必有周期．
B
BD
题后反思 抽象函数的奇偶性、对称性、周期性有以下结论：
难点3 导数在抽象函数中的应用
3
BC
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：两题均给出抽象函数的奇偶性，转化题设条件为函数的对称性．
BC
变式训练2 (多选)[2025湛江一模]设定义在R上的函数f(x)和g(x)，记g(x)的导函数为g′(x)，且满足f(x)＋g′(x)＝4，f(x－1)－g′(3－x)＝4.若g(x)为奇函数，则下列结论中一定成立的是( )
ABC
【解析】 由f(x)＋g′(x)＝4，得f(x－1)＋g′(x－1)＝4.又f(x－1)－g′(3－x)＝4，所以g′(x－1)＝－g′(3－x)，即g′(x)＝－g′(2－x)，所以g′(x)的图象关于点(1,0)对称，则g′(1)＝0.又g(x)是奇函数，所以g′(x)是偶函数，则g′(x)满足条件g′(x＋4)＝g′(x)．对于A，因为g′(4)＝－g′(－2)＝－g′(2)，所以g′(4)＋g′(2)＝0，所以f(2)＋f(4)＝4－g′(2)＋4－g′(4)＝8－[g′(4)＋g′(2)]＝8，故A正确；
题后反思 解决抽象函数奇偶性、对称性、周期性的问题的关键是通过赋值，找到这几个性质之间的联系，函数的赋值包括两大类：即赋具体值和抽象的表达式(即找出具体的函数模型)，对于赋具体值一般根据题目的要求即可找到题目所需要求的值；而赋抽象的表达式，则需要遵循赋值后的表达式与其他式子之间能够联立的原则．另外对于一个题目里有两个抽象函数的综合问题，则需通过建立方程组，然后消去其中一个函数，从而得到另一个函数的性质．
2
4
1
3
1 已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y∈R，都有f(2xy－1)＝f(x)f(y)＋f(y)＋2x－3，f(0)＝－1，则不等式f(x)>3－2x的解集为( )
A. (1，＋∞) B. (－1，＋∞)
C. (－∞，1) D. (－∞，－1)
【解析】 令x＝y＝0，得f(－1)＝f(0)·f(0)＋f(0)－3＝－3.令y＝0，得f(－1)＝f(x)f(0)＋f(0)＋2x－3，解得f(x)＝2x－1，则不等式f(x)>3－2x转化为2x＋2x－4>0.因为y＝2x＋2x－4是增函数，且2×1＋21－4＝0，所以不等式f(x)>3－2x的解集为(1，＋∞)．
A
2
4
1
3
2 [2025苏州模拟]已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R.若f(x＋1)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x－2)＝2－x，则f(g(－1))等于( )
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
【解析】 因为f(x＋1)是R上的奇函数，所以f(1)＝0.对于f(x)－g(x－2)＝2－x，令x＝1，可得f(1)－g(－1)＝1，所以g(－1)＝－1；令x＝3，可得f(3)－g(1)＝－1.因为g(x)是偶函数，所以g(－1)＝g(1)，所以g(1)＝－1，所以f(3)＝－2.因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以当x＝2时，f(－1)＝－f(3)＝2，所以f(g(－1))＝f(－1)＝2.
D
2
4
3
1
3 已知函数y＝f(x－1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象( )
A. 关于点(1,1)对称C
B. 关于点(1，－1)对称
C. 关于点(－1,1)对称
D. 关于点(－1，－1)对称
【解析】 因为y＝f(x－1)为奇函数，所以其图象关于点(0,0)对称，将函数y＝f(x－1)的图象向左平移一个单位长度可得函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称，所以函数y＝f(x)＋1的图象关于点(－1,1)对称．
C
2
4
3
1
4 (多选)[2025常州月考]已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是( )
A. f(2 023)＝2 B. f′(x)的一个周期是4
C. f′(x)是偶函数 D. f′(1) ＝1
【解析】 因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，且f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的一个周期为4，f(2 023)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故A错误；由f(x＋4)＝f(x)，得f′(x＋4)＝f′(x)，所以函数f′(x)的一个周期为4，故B正确；由f(－x)＝－f(x)，得－f′(－x)＝－f′(x)，即f′(－x)＝f′(x)，则f′(x)是偶函数，故C正确；由f(x＋2)＝f(－x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f′(1)＝0，故D错误．故选BC.
BC
微专题7 抽象函数问题
导言 高考对函数的考查通常以抽象函数为载体，具体考查函数的定义域、值域，图象及相关性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性).随着高考改革的推进，题目的减少，利用抽象函数考查函数的相关性质，以及对抽象函数的导数问题的考查将增多．
C
【解析】 由函数f(x)为奇函数，f(1)＝－1，得f(－1)＝－f(1)＝1，则－1≤f(x－2)≤1，即f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又函数f(x)在R上单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，故x的取值范围是[1,3]．
2 [2025如东中学月考]已知函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A. [－2,2] B. [－1,1]
C. [0,4] D. [1,3]
D
3 [苏教版必修一P164复习题T14改编]已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．若f(1)
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称的充
要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数
要点指引
1. 抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令x＝…，－2，－1,0,1,2，…等特殊值求抽象函数的函数值．
2. 在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值．
3. 若函数y＝f(ax＋b)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝b对称；若函数y＝f(ax＋b)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(b,0)对称．
难点1 单调性与奇偶性的综合应用
1
ACD
本题与【基础活动】的第2,3题对比，发现：都涉及解决与抽象函数有关的不等式问题，在求解时要注意定义域与单调区间对解集的影响．
C
变式训练2 (多选)[2025泰州期末]已知函数f(x)满足：对任意x，y∈R，都有xf(y)＋yf(x)＝f(xy)，且当0
A. f(0)＋f(1)＝0
B. f(x)为偶函数
C. 当|x|>1时，xf(x)<0
D. f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减
ACD
题后反思 抽象函数与不等式关联时，要充分利用好题目所给的函数性质，再结合不等式的性质进行推导，不能忽视定义域的作用．
难点2 对称性与周期性的综合应用
2
ACD
思路引导：本题考查抽象函数的奇偶性与周期性．题干关键：f(x)＋f(－2－x)＝4.由此联想到：利用赋值法，令x＝－1，再结合偶函数即可判断A；利用f(x)是偶函数与f(x)＋f(－2－x)＝4，可以推出函数的周期为4，然后依次算出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，从而判断B错误；由f(x)＋f(－2－x)＝4可以判断f(x)的图象关于点(－1,2)中心对称，又f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，再利用倒序相加可判断C；根据C通过消元后结合基本不等式可以判断D.
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：如果一个函数的图象既有对称中心，又有对称轴，那么该函数必有周期．
B
BD
题后反思 抽象函数的奇偶性、对称性、周期性有以下结论：
难点3 导数在抽象函数中的应用
3
BC
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：两题均给出抽象函数的奇偶性，转化题设条件为函数的对称性．
BC
变式训练2 (多选)[2025湛江一模]设定义在R上的函数f(x)和g(x)，记g(x)的导函数为g′(x)，且满足f(x)＋g′(x)＝4，f(x－1)－g′(3－x)＝4.若g(x)为奇函数，则下列结论中一定成立的是( )
ABC
【解析】 由f(x)＋g′(x)＝4，得f(x－1)＋g′(x－1)＝4.又f(x－1)－g′(3－x)＝4，所以g′(x－1)＝－g′(3－x)，即g′(x)＝－g′(2－x)，所以g′(x)的图象关于点(1,0)对称，则g′(1)＝0.又g(x)是奇函数，所以g′(x)是偶函数，则g′(x)满足条件g′(x＋4)＝g′(x)．对于A，因为g′(4)＝－g′(－2)＝－g′(2)，所以g′(4)＋g′(2)＝0，所以f(2)＋f(4)＝4－g′(2)＋4－g′(4)＝8－[g′(4)＋g′(2)]＝8，故A正确；
题后反思 解决抽象函数奇偶性、对称性、周期性的问题的关键是通过赋值，找到这几个性质之间的联系，函数的赋值包括两大类：即赋具体值和抽象的表达式(即找出具体的函数模型)，对于赋具体值一般根据题目的要求即可找到题目所需要求的值；而赋抽象的表达式，则需要遵循赋值后的表达式与其他式子之间能够联立的原则．另外对于一个题目里有两个抽象函数的综合问题，则需通过建立方程组，然后消去其中一个函数，从而得到另一个函数的性质．
2
4
1
3
1 已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y∈R，都有f(2xy－1)＝f(x)f(y)＋f(y)＋2x－3，f(0)＝－1，则不等式f(x)>3－2x的解集为( )
A. (1，＋∞) B. (－1，＋∞)
C. (－∞，1) D. (－∞，－1)
【解析】 令x＝y＝0，得f(－1)＝f(0)·f(0)＋f(0)－3＝－3.令y＝0，得f(－1)＝f(x)f(0)＋f(0)＋2x－3，解得f(x)＝2x－1，则不等式f(x)>3－2x转化为2x＋2x－4>0.因为y＝2x＋2x－4是增函数，且2×1＋21－4＝0，所以不等式f(x)>3－2x的解集为(1，＋∞)．
A
2
4
1
3
2 [2025苏州模拟]已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R.若f(x＋1)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x－2)＝2－x，则f(g(－1))等于( )
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
【解析】 因为f(x＋1)是R上的奇函数，所以f(1)＝0.对于f(x)－g(x－2)＝2－x，令x＝1，可得f(1)－g(－1)＝1，所以g(－1)＝－1；令x＝3，可得f(3)－g(1)＝－1.因为g(x)是偶函数，所以g(－1)＝g(1)，所以g(1)＝－1，所以f(3)＝－2.因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以当x＝2时，f(－1)＝－f(3)＝2，所以f(g(－1))＝f(－1)＝2.
D
2
4
3
1
3 已知函数y＝f(x－1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象( )
A. 关于点(1,1)对称C
B. 关于点(1，－1)对称
C. 关于点(－1,1)对称
D. 关于点(－1，－1)对称
【解析】 因为y＝f(x－1)为奇函数，所以其图象关于点(0,0)对称，将函数y＝f(x－1)的图象向左平移一个单位长度可得函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称，所以函数y＝f(x)＋1的图象关于点(－1,1)对称．
C
2
4
3
1
4 (多选)[2025常州月考]已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是( )
A. f(2 023)＝2 B. f′(x)的一个周期是4
C. f′(x)是偶函数 D. f′(1) ＝1
【解析】 因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，且f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的一个周期为4，f(2 023)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故A错误；由f(x＋4)＝f(x)，得f′(x＋4)＝f′(x)，所以函数f′(x)的一个周期为4，故B正确；由f(－x)＝－f(x)，得－f′(－x)＝－f′(x)，即f′(－x)＝f′(x)，则f′(x)是偶函数，故C正确；由f(x＋2)＝f(－x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f′(1)＝0，故D错误．故选BC.
BC
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