高考数学二轮复习解析几何专题26圆锥曲线的综合应用课件(共61张PPT)

(共61张PPT)
专题26　圆锥曲线的综合应用
导言　　圆锥曲线中求轨迹、最值、范围问题，通常以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，将解析几何与函数、不等式等代数内容交汇在一起，考查运算能力以及综合运用知识解决问题的能力，题目难度为中等以上，有时以压轴题形式出现．解这类问题时，往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等，将问题转化为求函数的值域或最值等问题来解决.
1 [2025上海卷T15]已知点A(0,1)，B(1,2)，点C在Γ：x2－y2＝1(x≥ 1，y≥0)上，则△ABC的面积(　 　)
A. 有最大值，但没有最小值
B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值
D. 既没有最大值，也没有最小值
A
2 [人教A版选必一P128习题3.2T11改编]已知M是一个动点，MA与直线y＝x垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线y＝－x垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB(O为坐标原点)的面积为3，则动点M的轨迹方程为____________________.
x2－y2＝6(x>0)
图1
图2
要点指引
1. 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
(1) 建系：建立适当的坐标系．
(2) 设点：设轨迹上的任一点为P(x，y)．
(3) 列式：列出有限制关系的几何等式．
(4) 代换：将轨迹所满足的条件用含x, y的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为x，y的方程式化简．
(5) 证明(一般省略)：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程(对某些特殊值应另外补充检验)．
简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
2. 求最值问题常用的两种方法：
(1) 几何法：若题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
(2) 代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
3. 求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围．常用的解题方法有：函数法；导数法；数形结合法；基本不等式法．
重点1　轨迹问题
定义：A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的“M距离”为|x2－x1|＋|y2－y1|.将到两定点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)间的“M距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫作“M椭圆”，则“M椭圆”的面积为(　 　)
A. 4c(a－c) B. 4a(a－c)
C. 2(a2－c2) D. 2(a2＋c2)
思路引导：本题考查新定义，轨迹问题．题干关键：A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的“M距离”为|x2－x1|＋|y2－y1|.根据“M椭圆”的定义，利用对称性，通过分类讨论确定“M椭圆”的区域；直接运算即可解出．
1
C
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：　面对解析几何中的有限制关系的几何等式，可先把所求动点设为(x，y)，代入轨迹所满足的条件式，化简求出结果．
A. 4x2＋y2＝1 B. x2＋4y2＝1
C. x2＋4y2＝1(y≠0) D. x2＋y2＝1(y≠0)
C
题后反思　求动点的轨迹方程的常见方法：
1. 直接法．
2. 定义法：结合曲线定义求解轨迹方程．
3. 相关点法：如果动点P的运动是由另外某一点P′的运动引发的，而该点的运动规律已知(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出点P的坐标为(x，y)，用x，y表示出相关点P′的坐标，然后将点P′的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．
4. 交轨法：在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
重点2　最值问题
2
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AR·AP＝3.
①设点P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示)；
②设O为坐标原点，Q是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求线段PQ长度的最大值．
思路引导：本题考查椭圆的标准方程，轨迹问题，最值．(1) 根据题意列出a，b，c的关系式，解方程求出a，b，c，即可得到椭圆的标准方程；(2) ①设点R的坐标为(x0，y0)，根据斜率相等以及题目条件列式，化简即可求出或者利用数乘向量求出；②根据斜率的关系可得到点P的轨迹为圆(除去两点)，再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出．
本题与【基础活动】的第1,4题对比，发现：　面对圆锥曲线中的最值问题，可先把所求代数值用含参表达式表示出来后，使用基本不等式、配方法或整体换元法等求出最值．　
变式训练　[2025景德镇二模T17]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，P(x0，y0)为抛物线C上的一个动点(不与坐标原点重合)，设PF－y0＝1.
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 过点P作抛物线C的切线l，过点P作l的垂线交抛物线C于点Q，求FQ的最小值.
题后反思　求解圆锥曲线最值问题的两种方法：
1. 几何法：利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．
2. 代数法：将要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、配方法、不等式方法等进行求解．
重点3　范围问题
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本题与【基础活动】的第3题对比，发现：面对圆锥曲线中的范围问题，可先利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解，也可以引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．　
题后反思　求参数范围问题的常用方法
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的取值范围，求出新参数的取值范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
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C
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ACD
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